勾股定理的整理、拓展、归纳辅导.doc

第八章、勾股定理 2
一、知识精读 2
(一）、 勾股定理 2
（二）. 勾股定理的应用. 2
（三）. 勾股定理的证法. 2
（四）.勾股定理的应用 3
（五）.勾股数 3
（六） 勾股定理的历史背景. 4
二、中考考点分析 4
三、经典例题分类精讲 6
题型一：直接考查勾股定理 6
题型二：利用勾股定理测量长度 6
题型三：勾股定理和逆定理并用 7
题型四：利用勾股定理求线段长度 7
题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直 8
题型六：旋转问题： 8
题型七：关于翻折问题 9
题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 9
题型九：关于最短性问题 9
四、常见错解剖析 10
（一）、勾股定理只能在直角三角形中运用 10
（二）、运用勾股定理时要分清斜边和直角边 10
（三）、给定三角形要分形状运用勾股定理 10
（四）、不能正确区分直角边和斜边 11
（六）、不能仅凭模糊记忆 11
（七）、考虑不全造成漏解 12
五、发散思维点拨 13
（一）、方程思想 13
（四）、勾股定理是直角三角形的一个重要性质 15
六、基础练习 16
七、勾股定理的逆定理达标练习 18
八、培优辅导 19
（一）、例题解析 19
（二）、拓展练习 27
本章参考答案 29

第八章、勾股定理
一、知识精读
(一）、 勾股定理
　内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方
（二）. 勾股定理的应用.
　　勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它是把三角形由一个直角的“形”的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范. 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
（三）. 勾股定理的证法.
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
　用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：，，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　
大正方形面积为 所以

方法三：，，化简得证

（四）.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在中，，则，，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
（五）.勾股数
　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等
③用含字母的代数式表示组勾股数：
　（为正整数）；
　　（为正整数）
（，为正整数）
　（六） 勾股定理的历史背景.
我国是最早了解勾股定理的国家之一，商朝数学家商高提出了“勾三、股四、弦五”，被记载于《周髀算经》中．在欧洲，通常把勾股定理称为毕达哥拉斯定理.
　　（七）. 与直角三角形有关的问题.
　　（1） 直角三角形的定义.
　　（2） 直角三角形的性质：直角三角形中两个锐角互余；如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等.
　 （八）、中考视点
　　勾股定理是几何中的一条重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的关系，中考对于这部分的考查主要是勾股定理的运用：
　　（１）运用勾股定理解直角三角形：已知三角形的两边求第三边．
　　（２）利用勾股定理证明一些具有平方的关系式．
　　（３）运用勾股定理在数轴上找到一些和无理数对应的点．
勾股定理的逆定理
●知识概要
　　勾股定理是将直角三角形的形的特征转化为数的特征，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，是由数定形．
　　（1. ）勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
　（　２.）如果两个命题的题设结论正好相反，我们把这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
　　（３.） 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．
二、中考考点分析
　　勾股定理的逆定理是证明一个三角形是直角三角形的重要定理，中考中经常利用它来求角，证明线段的垂直关系以及确定三角形的形状．
教材解读
一、勾股定理的内容
　勾股定理的内容是：如果直角三角形两直角边分别是a、b，斜边是c，那么a2+b2＝c2.
　因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾股定理的适用条件是在直角三角形中；二要注意表达式的灵活变形，即两条直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.
二、正确判定一个三角形是否是直角三角形
　如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形.
　这一识别方法与勾股定理的条件和结论正好相反，即为勾股定理的逆定理.有了直角三角形的这一判别方法可以通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.
　要判断一个三角形是不是直角三角形，一是确定最大边，即斜边c；二是验证c2与 a2+b2是否相等.若c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形.
三、熟练掌握勾股定理在实际生活中的应用
　勾股定理有着广泛的应用.如求线段的长、求角度的大小、说明线段的平方关系问题、求作长为的线段等等.以求作长为的线段为例，利用勾股定理作出长为…的线段，如下左图所示．
　用同样的方法我们可以在数轴上画出表示…的点，如下右图所示.

四、勾股定理逆定理的推导
勾股定理告诉我们，如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a２＋b２＝c２，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．反之如果我们已知一个三角形的三条边长分别为a、b、c，边长之间满足关系a２＋b２＝c２，那么我们是否能够据此确定三角形的形状呢？
　　下面是３组三角形边长的数据以及根据各组数据画出的三角形，
　　（１）a＝６，b＝８，c＝１０；
　　（２）a＝５，b＝１２，c＝１３；
　　（３）a＝１５，b＝２０，c＝２５．

　　我们观察上面给出的三组三角形的边长就会发现，上面三个三角形的边长都满足关系a２＋b２＝c２，我们再观察上面三个根据已知边长画出的三角形，我们发现三个三角形都是直角三角形．根据我们现在所掌握的这些个例的情况，我们可以先进行大胆的猜测：
　　如果一个三角形的三边长a、b、c满足a２＋b２＝c２，那么这个三角形是直角三角形．
　　我们的猜测是否正确呢？要确定我们根据几个特殊情况猜测得出的结论是否正确，我们必须要在一般情况中对其加以证明．
　　【例题】 已知△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝a、ＡＣ＝b、ＡＢ＝c且满足条件a２＋b２＝c２，试判断△ＡＢＣ是否为直角三角形．

　　【思考与分析】 根据前面学习的勾股定理，我们知道如果一个直角三角形以a、b为直角边，那么它的斜边c必满足c２＝a２+b２，那么这个直角三角形的三边就与△ＡＢＣ的三边分别对应相等，所以说如果△ＡＢＣ是直角三角形，那么它必与以a、b为直角边的直角三角形全等．
　　解：我们作Ｒt△Ａ′Ｂ′Ｃ′，∠Ｃ′＝９０°，Ａ′Ｃ′＝b，Ｂ′Ｃ′＝a．
　　根据勾股定理：Ａ′Ｂ′２＝a２＋b２．
　　又∵　△ＡＢＣ的三边a、b、c满足条件a２+b２＝c２，
　　∴　ＡＢ＝c＝Ａ′Ｂ′．
　　又∵在△ＡＢＣ中ＢＣ＝a、ＡＣ＝b、ＡＢ＝c，
　　∴　△ＡＢＣ≌ Ｒt△Ａ′Ｂ′Ｃ′（ＳＳＳ）．
　　∴　△ＡＢＣ是直角三角形，∠Ｃ＝９０°．
　　【小结】探索勾股定理的逆定理的过程遵循了从特殊到一般这样一条认识事物的规律,首先我们是通过已掌握的几个有限个例来归纳猜想出结论,然后就其成立与否再在一般情况下进行证明.
中考考点指导
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．
三、经典例题分类精讲
题型一：直接考查勾股定理
例１.在中，．
　⑴已知，．求的长
⑵已知，，求的长分析：直接应用勾股定理
解：⑴
⑵
题型二：利用勾股定理测量长度
例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！
根据勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.
例题2 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。
标准解题步骤如下（仅供参考）：
解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2
设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5
x2+1.52=（ x+0.5）2
解之得x=2.
故水深为2米.
题型三：勾股定理和逆定理并用
例题3 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且那么△DEF是直角三角形吗？为什么？
解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。
详细解题步骤如下：
解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2
同理EF2=5a2, DF2=25a2
在△DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2
∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.
注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
题型四：利用勾股定理求线段长度
例题4 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。
详细解题过程如下：
解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF
∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE
设CE=xcm，
则DE=EF=CD－CE=8－x
在Rt△ABF中由勾股定理得：
AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，
∴BF=6cm
∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)
在Rt△ECF中由勾股定理可得：
EF2=CE2+CF2，即(8－x) 2=x2+42
∴64－16x+x2=2+16
∴x=3(cm),即CE=3 cm
注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。
题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直
例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？
解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。
①如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；
②如果MN=a≠15,则92+122=81+144=225, a2≠225,即92+122≠ a2，所以∠A不是直角。利用勾股定理解决实际问题——
例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。
题型六：旋转问题：
例1、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。
变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的边长.
分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，
根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.

变式2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，
试探究间的关系，并说明理由.
题型七：关于翻折问题
例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.
变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.

题型八：关于勾股定理在实际中的应用：
例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

题型九：关于最短性问题
例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？
四、常见错解剖析
（一）、勾股定理只能在直角三角形中运用
　　【例1】 在△ABC中，AC=3，BC=4，则AB的长为（      ）.
　　　A. 5　　　　B. 10
　　　C. 4　　　　D. 大于1且小于7
　　常见错误： A.
　　错误分析： 题意是已知三角形的两边求第三边，解题者错误地用直角三角形代替了任意三角形进行求解，没有注意题目中并没有给出直角三角形的前提条件，所以不能用勾股定理，只能用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断出AB的范围.
　　正确答案： D.
（二）、运用勾股定理时要分清斜边和直角边
　　【例2】 在Ｒt△ABC中，AC=9，BC=12，则AB2=      　　.
　　常见错误： 在Ｒt△ABC中，利用勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2=225.
　　错误分析： 没有区分要求的AB是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件，对此我们应该分情况讨论，如果AB是斜边，则利用勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2=225；如果AB是直角边，因为BC>AC，所以BC为斜边，则利用勾股定理，得AB2＝BC2－AC2＝63.
　　∴ AB2为225或63.
　　正确答案： 225或63.
（三）、给定三角形要分形状运用勾股定理
　　【例3】 在△ＡＢＣ中，ＡＢ=13，ＡＣ=15，高ＡＤ=12，求△ＡＢＣ的周长．
　　常见错误：根据勾股定理，
　　ＢＤ2＝ＡＢ2-ＡＤ2
　　　 ＝１３2－１２2
　　　 ＝２５，
　　ＣＤ2＝ＡＣ2-ＡＤ2
　　　 ＝１５2－１２2
　　　 ＝８１，
　　∴　ＢＤ＝５，ＣＤ＝９， ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝５＋９＝１４．
　　此时，△ＡＢＣ的周长为
　　ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝１３＋１４＋１５＝４２．

　　错误分析：△ＡＢＣ可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.错误答案是只讨论了△ＡＢＣ是锐角三角形而忽视了它还可能为钝角三角形的情况.
　　正确答案：应该分情况讨论，当△ＡＢＣ是锐角三角形时，解法如上.
　　当△ＡＢＣ是钝角三角形时，其图如下，
　　根据勾股定理，
　　ＢＤ2＝ＡＢ2-ＡＤ2
　　　 ＝１３2－１２2
　　　 ＝２５，
　　ＣＤ2＝ＡＣ2-ＡＤ2＝１５2－１２2＝８１，
　　∴　ＢＤ＝５，ＣＤ＝９，ＢＣ＝ＣＤ－ＢＤ＝９－５＝４.
　　此时，△ＡＢＣ的周长为：
　　ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝１３＋４＋１５＝３２．
　　故△ＡＢＣ的周长为42或32.

（四）、不能正确区分直角边和斜边
　　【例4】 已知一个三角形的三边长a=5，b=13，c=12，这个三角形是直角三角形吗？
　　错解： 不是.在三角形中，利用勾股定理，a2＋b2＝194，c2＝144. a2＋b2≠c2，故此三角形不是直角三角形.
　　错解分析：本题中虽然a2＋b2≠c2，但我们不能因此就认定这个三角形不是直角三角形，我们应该首先分析一下这三个边，边长最长的应为斜边，即b为斜边，b2＝169，a2＋c2＝25＋144＝169，即a2＋c2＝b2，故这个三角形为直角三角形.因此我们在做题时，先找到最长边，即确定斜边，可以让我们少走弯路.
　　正确答案： 是.
　　【反思】勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理，我们在做题的时候一定要正确区分哪条为直角边哪条为斜边.
（五）、考虑不全面造成漏解
　　【例5】已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状.
　　错解：∵ a2c2－b2c2＝a4－b4 （1）
　　∴ c2（ a2－b2）＝（ a2＋b2） （a2－b2）（2）
　　∴ c2＝a2＋b2 （3）　∴ △ABC是直角三角形.
　　错解分析：本题在由第（2）步到第（3）步的化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的数，从而导致了错误．
　　正解：∵ a2c2－b2c2＝a4－b4
　　∴ c2（ a2－b2）＝（ a2＋b2） （a2－b2）
　　（1）当a2－b2≠0时，化简后得c2＝a2＋b2
　　∴ △ABC是直角三角形.
　　（2）当a2－b2＝0时，a＝b
　　∴ △ABC是等腰三角形.
　　【反思】本题结合因式分解的知识，综合考查了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同时还考查了等式的性质2：在等式两边不能同时除以一个可能为0的数，这往往是我们最容易忽视的地方，应引起大家的注意.

（六）、不能仅凭模糊记忆
　　【例6】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则（   ）
　　　A.∠A为直角       B.∠C为直角   
　　　C.∠B为直角       D.不是直角三角形
　　错解：选B
　　错解分析：在解这道题的时候导致错误的原因在于对已知条件粗略地分析得出存在平方关系之后就习惯性地认为边c的对角∠C一定表示直角.该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据这一关系进行判断.
　　正解：∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2.
　　∴ a边所对的角∠Ａ为直角. 故选A.
　　【反思】我们在判断直角三角形哪一个角是直角的时候不能因为思维定势看到数量的平方关系就得到某个角是直角的结论.
（七）、考虑不全造成漏解
　【例7】已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.
　错解：第三边长为
　错解剖析：因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边.
　正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为
　（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.
（八）、理解流于形式，造成思维定势
　【例8】已知三角形的三边为，c=1，这个三角形是直角三角形吗？
　错解： ∵ a2＝，b2＝，c2＝1，而a2＋b2≠c2，
    ∴该三角形不是直角三角形.
　错解剖析：虽然a2＋b2≠c2，但不能急于否定这个三角形就不是直角三角形，因为我们发现有a2＋c2＝b2，所以这个三角形是直角三角形.
　正解：这个三角形是直角三角形．
（九）、混淆勾股定理与逆定理
　【例9】 在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东６0°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
　错解:甲船航行的距离为BM=8×2＝16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2＝30（海里）.
　∵＝34 （海里）且MP=34（海里）
　∴△MBP为直角三角形．
　∴∠MBP＝90°.
　∴乙船是沿着南偏东30°方向航行.
　错解剖析：虽然最终判断的结果也是对的，但忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明，犯了运用上的错误.
　正解：甲船航行的距离为BM=8×2＝16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2＝30（海里）.
　∵ 162＋302＝1156，342＝1156，
　∴ BM2＋BP 2＝MP2.
　∴ △MBP为直角三角形.
　∴ ∠MBP＝90°.
　∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.
五、发散思维点拨
（一）、方程思想
　　【例1】 如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30cm2，那么△AED的面积为______.

　　【分析与解】 由△ABF的面积为30cm2，
　　可得BF=12cm.
　　则在Rt△ABF中，AB=5cm，BF=12cm，
　　根据勾股定理可知AF=13cm.
　　再由折叠的性质可知AD=AF=13cm.
　　所以FC=1cm.
　　可设DE=EF=x，则EC=5-x.
　　在Rt△EFC中，可得：
　　12+（5-x）2=x2.
　　解这个方程，得x=.
　　所以S△AED=××13=16.9（cm2）.
　（2）、化归思想
　　【例2】 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为（    ）

　　【分析与解】 求几何体表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.
　　如上右图，可得展开图中的AB′的长为4π÷2＝2π，B′S′的长为4÷2＝2.
　　在Rt△AB′S′中，根据勾股定理，
　　得AS′=.
　　所以动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为.故选A.
　（三）、分类讨论思想
　　【例3】 在△ABC中，AB=15，AC=20，AD是BC边上的高，AD=12，试求出BC边的长.
　　【分析与解】 此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，所以其高的位置应分两种情况来求.如下图所示，△ABC有两种情况.

　　当BC边上的高AD在△ABC的内部时，如图1.
　　由勾股定理，分别在Rt△ABD和Rt△ADC中，得BD2=AB2-AD2=152-122=81，
　　则BD=9.
　　CD2=AC2-AD2=202-122=256，
　　则CD=16.
　　所以BC=9+16=25.
　　当BC边上的高AD在△ABC的外部时，如图2.
　　同样由勾股定理可得BD=9，CD=16.
　　这时BC=16-9=7.
　　综上可得BC边的长为25或7.
【例4】 如图所示，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，BC＝１4，ＡＣ＝１３． 求△ＡＢＣ的面积.

　　【思考与分析】 要求△ＡＢＣ的面积，现在已经知道三边的长，我们只要再知道一边上的高就可以了，这就需要作一边的垂线．构造直角三角形ＡＢＤ和直角三角形ＡＣＤ，然后利用勾股定理求出高ＡＤ，进而求出△ＡＢＣ的面积.
　　解法一： 过点A作ＡＤ⊥ＢＣ于D，
　　则∠ADB=∠ADC=90°．
　　设DC=x，则ＢＤ＝14－x．
　　在Ｒt△ＡＢＤ中，由勾股定理得：ＡＤ２＝ＡＢ２-ＢＤ２＝１５２-（14－x）２．　①
　　在Ｒt△ＡＤＣ中，由勾股定理得：ＡＤ２＝１３２－x２.　②　　由①＝②，解得x=5.
　　所以ＡＤ２＝１３２－x２＝169－25＝144，故ＡＤ＝１２．
　　所以Ｓ△ＡＢＣ＝ＢＣ·ＡＤ＝×１２×１４＝８４．
　　解法二： 设AD＝x，则在Ｒt△ＡＢＤ中，由勾股定理得：BＤ２＝ＡＢ２-AＤ２＝１５２-x２．
　　在Ｒt△ＡＤＣ中，由勾股定理得：CＤ２＝１３２－x２，
　　再根据题意，知 BC=BD+DC，

（四）、勾股定理是直角三角形的一个重要性质
这个定理反映了直角三角形三条边之间的关系，它是把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．下面就让我们通过一道例题来体会一下.
　　【例5】 已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm.则△ABC是等腰三角形吗？
　　【思考与分析】 先画出图形，如图，求出BD=5cm，利用直角三角形的判定方法，说明AD⊥BC，然后在△ADC中，利用勾股定理求出AC，从而得到AB=AC.
　　解： 由 AD是BC边上的中线，
　　得 BD=CD=BC=×10=5（cm）.（由形到数）
　　在△ABD中，有AD2+DB2=122+52=132 =AB2，
　　所以△ABD是直角三角形，
　　其中∠ADB=90°，
　　∠ADC=90°. （由数到形）
　　在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=122+52=169，
　　又因为AC>0，所以AC=13（cm）.（由形到数）
　　即AB=AC.   故△ABC是等腰三角形.（由数到形）

　　【反思】 此题综合运用了勾股定理及直角三角形的判定方法，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的数形结合的思想，从中你可以体会到数形结合的奥妙.
【例6】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（     ）
　A. 2m
　B. 2.5m
　C. 2.25m
　D. 3m

　【思考与分析】为了顺利解决此题，我们首先要根据题中叙述的条件画出草图如上，则有BD=1.5m，AF=CE=0.5m，AD=BF=BE=水深，在Rt△ABD中，设河水的深度BF=xm，则有AB=（0.5+x）m，AD=xm，BD=1.5m，根据勾股定理，列方程（0.5+x）2=1.52+x2，解之即可.
　解：如上图所示，在Rt△ABD中，　设河水的深度BF=xm，则有AB=（0.5+x）m，AD=xm，　BD=1.5m．
　根据勾股定理，列方程：（0.5+x）2=1.52+x2，解得x=2. 所以河水的深度为2m.　故答案选A.
【小结】本题是数学问题在生活中的实际应用，我们首先要通过分析，画出草图，把实际问题转化成数学问题，运用我们所学的数学知识来求解.这种通过分析题意，画出图形，将实际问题抽象成纯数学问题来求解的数学思想方法，我们一般称为建模的数学思想方法.本题在画出草图，把题意抽象成纯数学问题后，实际上就是建立起“解直角三角形的数学模型（如上图）”，在此基础上，借助勾股定理来进行求解.解这种实际应用题的一般策略为：

　另外，在此题中还运用了方程的数学思想，勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长度时，可通过设未知数，建立方程进行求解，运用方程思想，有时可大大简化求解过程.
六、基础练习
一．填空题，
1、 在Rt△ABC中∠C= 则 （1）a=5 b=12 则 c=______
(2) b=8 c=17 则 a=______
2、 如果梯形低端离建筑物9m 那么15m长的梯形可达到建筑物的高度是________
3、 直角三角形的两直角边长分别为3m 4m 则斜边长为________ 斜边上的高为_______
4、 在Rt△ABC中∠C= 若 a:b=3:4 c=20 则a=________ b=_______
D
B
C
A

5、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米
６、如图所示，要从电线杆高4m 的点
处向地面斜拉一根长5m的缆绳 固
定点A到电线杆底部B的距离AB=_____

7、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续的偶数，则它的周长是__________
8、 一个三角形的三边长分别是 、 2m 、 则三角形中最大的角是________
9、 若三角形的三边a b c满足 则边______所对的角是直角
10、 在三角形ABC中 若三边分别是 9 、 12 、 15 则以两个这样的三角形所拼成的矩形面积为_________
二 选择题
1、 下列各组数为勾股数的是（ ）
A 7 、12、 13 B 3、 4 、7 C 8、 15、 17 D 1.5 、2 、2.5
2、下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（　　）
A、a=1.5， b=2, c=3 B、a=7, b=24, c=25
C、a=6, b=8, c=10 D、a=3, b=4, c=5
3、若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（　　）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
4、如果Rt△ABC两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（　　）
A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169
5、如果Rt△的两直角边长分别为n2－1、2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2+1
6、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2
7、 在三角形ABC中 AB=15 AC=13 高AD=12 则三角形ABC的周长为（ ）
A 42 B 32 C 42或 32 D 37 或 33
8、 若直角三角形中 有两边长是12和5 则第三边的平方为（ ）
A 169 B 169或119 C 13或15 D 15
9、 直角三角形有一直角边长为11 另外两条边长是两个连续的自然数 则周长是（ ）
A 132 B 121 C 120 D 123[来源:Zxxk.Com]
10、 三角形ABC的三边分别为a=1.2cm b=1.6cm c=2cm 则∠C是（ ）
A 锐角 B 直角 C 钝角 D 以上三种都有可能
三 解答题
1、 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4阴影部分的面积是______.
2、 某菜农修建一个塑料大棚（如图），若棚宽a=4m，高b=3m，长d=35m，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积.

3、 如图，正方形的面积为25cm，测量出=12cm,=13cm,问、、三点在一条直线上吗？为什么？
4、 已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
5、 如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长7m的电缆，求地面电缆固定点A到电线杆底部B的距离.
A
D
E
B
C

A
B
C
D

6、 如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km
七、勾股定理的逆定理达标练习
(一)、基础·巩固
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5
2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

图18－2－4