《2.5-离散型随机变量的均值与方差》-导学案-2.doc

《2.5 离散型随机变量的均值与方差》 导学案 2
学习目标
1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.
2.理解公式“E(aX+b)=aEX+b”，以及“若X~B(n，p)，则EX=np”.
3.了解方差公式“D(aX+b)=a2DX”，以及“若X~Β(n，p)，则DX=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.
4.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.
重点
条件的判断、合理选择公式进行运用.
难点
根据条件及问题，能快而准地进行求解.
学习过程
一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩:凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表:
摸5个球
中彩发放奖品
有5个白球
1顶帽子(价值20元)
恰有4个白球
1张贺卡(价值2元)
恰有3个白球
纪念品(价值0.5元)
其他
同乐一次(无任何奖品)

　　你能用学过的数学知识计算摸一次能获得20元奖品吗，按摸10000次统计，这个人能否赚钱？
问题1:在求解有关随机变量X的分布列问题，应注意:在分布列中，X的取值行中　无重复数　，概率行中各项必须　非负　，且各项之和一定等于　1　. 
问题2:利用随机变量的分布列求概率时，离散型随机变量的概率分布列的性质指的是表中的第二行概率的特点，而且离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内　多个值的概率之和　. 
问题3:一般地，若离散型随机变量X的分布列为:
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

　　那么如何推导公式E(aX+b)=aEX+b呢？
设Y=aX+b，则Y也是随机变量.因为P(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1，2，…，n，所以Y的分布列为:
Y
ax1+b
ax2+b
…
axi+b
…
axn+b
P
p1
p2
…
pi
…
pn

　　则EY=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=　aEX+b　. 
问题4:利用随机变量的分布列解决实际应用问题时，常用方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按　定义(公式)　求解；(2)已知随机变量X的期望、方差，求X的线性函数Y=aX+b的期望、方差和标准差，可直接用　X的期望、方差的性质　求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接利用它们的　期望、方差公式　求解. 
1.已知随机变量X的期望和方差，求aX+b的期望和方差，可直接用公式求解.
2.随机变量的期望是刻画随机变量取值的平均水平，而方差是衡量取值的集中程度，只有两个变量的期望一样的情况下，才有比较方差的必要.
3.对于两个随机变量X1和X2，在EX1和EX2相等或很接近时，比较DX1和DX2可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要.
学习交流
1.已知X的分布列为:
X
-1
0
1
P

则在下列式子中:①EX=-；②DX=；③P(X=0)=.正确的个数是(　　).
A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3
【解析】EX=(-1)×+1×=-，故①正确.DX=(-1+)2×+(0+)2×+(1+)2×=，故②不正确.由分布列知③正确.
【答案】C
2.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　).
A.100　　　　　 B.200　　　 C.300　　　　　 D.400
【解析】记不发芽的种子数为ξ，则ξ~B(1000，0.1)，
∴Eξ=1000×0.1=100.
又X=2ξ，∴EX=E(2ξ)=2Eξ=200.
【答案】B
3.某射手射击所得环数X的分布列如下:
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y

已知X的期望EX=8.9，则y的值为　　　　. 
【解析】由已知得x+0.1+0.3+y=1，即x+y=0.6.①
又7x+0.8+2.7+10y=8.9，化简得7x+10y=5.4.②
由①②联立解得x=0.2，y=0.4.
【答案】0.4
4.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用X表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
(1)求X的分布列及期望；
(2)记“f(x)=2Xx+4在[-3，-1]上存在x0，使f(x0)=0”为事件A，求事件A的概率.
【解析】(1)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1、A2、A3，已知A1、A2、A3相互独立，且P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.6.游客游览的景点数可能取值为0、1、2、3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3、2、1、0，
∴X的可能取值为1、3，则P(X=3)=P(A1A2A3)+P(　　)=P(A1)·P(A2)·P(A3)+P()·P()·P()=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P(X=1)=1-0.24=0.76，
∴分布列为:
X
1
3
P
0.76
0.24

　　EX=1×0.76+3×0.24=1.48.
(2)∵f(x)=2Xx+4在[-3，-1]上存在x0，使得f(x0)=0，
∴f(-3)·f(-1)≤0，即(-6X+4)(-2X+4)≤0，
解得≤X≤2.
∴P(A)=P(≤X≤2)=P(X=1)=0.76.
5. 离散型随机变量的期望与方差
将一枚硬币抛掷6次，求正面次数与反面次数之差X的概率分布列，并求出X的期望EX与DX.
【方法指导】根据条件，正确运用公式计算.
【解析】设正面的次数是Y，则Y服从二项分布B(6，0.5)，概率分布为P(Y=k)=0.56，k=0，1，…，6，且EY=3，DY=1.5.而反面次数为6-Y，X=Y-(6-Y)=2Y-6.
于是X的概率分布为
P(X=2k-6)=P(Y=k)=0.56，k=0，1，…，6.
故EX=E(2Y-6)=2EY-6=2×3-6=0，DX=D(2Y-6)=4DY=4×1.5=6.
【小结】要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法.计算期望、方差时，注意性质E(aX+b)=aEX+b，D(aX+b)=a2DX的应用.
6. 二项分布的期望与方差
A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察3个试验组，用X表示这3个试验组中甲类组的个数，求X的分布列和数学期望.
【方法指导】根据条件，正确判断事件的类型和随机变量ξ服从那种分布，并运用公式计算.
【解析】(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2.
依题意有
P(A1)=2××=，P(A2)=×=，
P(B0)=×=，P(B1)=2××=.
所求的概率为
P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)
=×+×+×=.
(2)X的可能值为0，1，2，3，且X~B(3，).
P(X=0)=()3=，
P(X=1)=××()2=，
P(X=2)=×()2×=，
P(X=3)=()3=.
所以X的分布列为:
X
0
1
2
3
P

　　数学期望EX=0×+1×+2×+3×=.
【小结】(1)准确理解事件“甲类组”的含义，把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和表示出来；
(2)第(2)小题首先判断随机变量X服从二项分布，再求其分布列和均值.
7. 离散型随机变量期望与方差的应用
购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1-0.99.
(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；
(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).
【方法指导】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，投保人中出险人数X~B(104，p)，进而利用二项分布的有关性质求解.
【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为X，则X~B(104，p).
(1)记A表示事件:保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则发生当且仅当X=0，
P(A)=1-P()=1-(1-p，
又P(A)=1-0.99，故p=0.001.
(2)该险种总收入为10 000a元，支出是赔偿金总额与成本的和，支出10000X+50000.
盈利Y=10000a-(10000X+50000)，
盈利的期望为EY=10000a-10000EX-50000，
由X~B(104，10-3)知EX=104×10-3=10，
EY=104a-104EX-5×104
=104a-15×104.
EY≥0⇔104a-15×104≥0
⇔a-15≥0⇔a≥15(元).
故每位投保人应交纳的最低保费为15元.
【小结】离散型随机变量的分布列、期望、方差是概率的自然延伸，离散型随机变量的应用题取代了传统意义的应用题，成为新高考的热点问题.这部分试题的综合性强、应用性广，对考生的基础知识、能力要求较高，应注意阅读能力和运算能力的训练.本题以购买保险为背景考查了离散型随机变量的分布列与期望等，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
例题应用
例一 编号1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.
(1)求随机变量X的分布列；
(2)求随机变量X的数学期望和方差.
【解析】(1)P(X=0)==；P(X=1)==；P(X=3)==.
∴随机变量X的分布列为:
X
0
1
3
P

　　(2)EX=0×+1×+3×=1，
DX=(1-0)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1.
例二 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间X的分布列及期望.
【解析】(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为
P(A)=(1-)×(1-)×=.
(2)由题意可得X的可能取值为0，2，4，6，8(单位:min).事件“X=2k”等价于事件“该学生在上学路上遇到k次红灯”(k=0，1，2，3，4)，所以P(X=2k)=()k()4-k (k=0，1，2，3，4)，
即X的分布列是
X
0
2
4
6
8
P

　　所以X的期望是
EX=0×+2×+4×+6×+8×=或EX=2×4×=.
例三 因冰雪灾害，某柑橘基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施.若实施方案一，预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令Xi(i=1，2)表示方案i实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数.
(1)写出X1、X2的分布列；
(2)实施哪种方案，两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？
(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑橘产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元.问实施哪种方案的平均利润更大？
【解析】(1)X1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，
X2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.
X1、X2的分布列分别为:
X1
0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15

X2
0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08

　　(2)令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑橘产量超过灾前产量这一事件，
P(A)=0.15+0.15=0.3，P(B)=0.24+0.08=0.32.
可见方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大.
(3)令Yi表示方案i的预计利润，则
Y1
10
15
20
P
0.35
0.35
0.3

Y2
10
15
20
P
0.5
0.18
0.32

　　所以EY1=14.75，EY2=14.1，可见方案一的预计平均利润更大.

课堂练习
1.已知离散型随机变量X的分布列为:
X
1
2
3
P

则X的数学期望EX=(　　).
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1
【解析】EX=1×+2×+3×==，故选C.
【答案】C
2.某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X~B(5，)，则E(2X+1)等于(　　).
A.　　　 B.　 C.3　　　　 D.
【解析】∵X~B(5，)，∴EX=，∴E(2X+1)=2EX+1=2×+1=，故选D.
【答案】D
3.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=，则随机变量X的数学期望EX=　　　　. 
【解析】 由题意知P(X=0)=(1-p)2=，∴p=.随机变量X的分布列为:
X
0
1
2
3
P

　　∴EX=0×+1×+2×+3×=.
【答案】
4.某社区举办2014年世博会知识宣传活动，并进行现场抽奖，抽奖规则是:盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案，参加者每次从盒中抽取两张卡片，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖.
(1)活动开始后，一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说:我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是.求抽奖者获奖的概率；
(2)现有甲、乙、丙、丁四个人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用X表示获奖的人数，求X的分布列及EX，DX.
【解析】(1)设“世博会会徽”卡有n张，
则由题意得=，解得n=6，故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为=.
(2)由题意知，符合二项分布，且X~B(4，)，则X的分布列为:

X
0
1
2
3
4
P
()4
()3
()2()2
()3()
()4

　　由X的分布列知，EX=4×=，DX=4××(1-)=.
　　5. (2014年·辽宁卷)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望EX及方差DX.
【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”.因此
P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6，
P(A2)=0.003×50=0.15，
P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为
P(X=0)=·(1-0.6)3=0.064，
P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288，
P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432，
P(X=3)=·0.63=0.216.
X的分布列为:
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216

　　因为X~B(3，0.6)，所以期望EX=3×0.6=1.8，方差DX=3×0.6×(1-0.6)=0.72.

课后练习
1.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为X，则DX等于(　　).
A.0.2　　　　B.0.8　　　　C.0.196　　　D.0.804
【解析】显然X~(10，0.02)，则DX=10×0.02×0.98=0.196.
【答案】C
2.设服从二项分布X~B(n，p)的随机变量X的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为(　　).
A.n=4，p=0.6 B.n=6，p=0.4
C.n=8，p=0.3 D.n=24，p=0.1
【答案】B
3.设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差，随机变量X等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差DX=　　　　. 
【解析】EX=x10，DX=(92+82+…+12+02+12+…+92)=30d2.
【答案】30d2
4.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX、DX.
X
-1
0
1
P

1-2q
q2

　　【解析】因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以解得q=1-.
于是X的分布列为:
X
-1
0
1
P

-1
-

　　所以EX=(-1)×+0×(-1)+1×(-)=1-，
DX=[-1-(1-)]2×+(1-)2×(-1)+[1-(1-)]2×(-)=-1.

5.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则EX为(　　).
A.1　　 B.1.5　 C.2　 D.2.5
【解析】X可取0，1，2，3，P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=3)==，P(X=2)=，故EX=0×+1×+2×+3×=1.5.
【答案】B
6.若p为非负实数，随机变量X的分布列如下表，则EX的最大值为(　　).
X
0
1
2
P
-p
p

　　A.1　 B.　　　 C.　　 D.2
【解析】由p≥0，-p≥0得0≤p≤，EX=p+1≤.
【答案】B
7.设离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4.P(X=k)=ak+b(k=1，2，3，4).又X的均值EX=3，则a+b=　　　　. 
【解析】离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4.
P(X=k)=ak+b (k=1，2，3，4)，所以
a+b+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1，即10a+4b=1，
又X的均值EX=3，则a+b+2(2a+b)+3(3a+b)+ 4(4a+b)=3，即30a+10b=3，∴a=，b=0，∴a+b=.
【答案】
8.某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求X的分布列；
(2)求此员工月工资的期望.
【解析】(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4.则P(X=i)=(i=0，1，2，3，4).
即X的分布列为:
X
0
1
2
3
4
P

　　(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500.
则P(Y=3500) =P(X=4)=，
P(Y=2800)=P(X=3)=，
P(Y=2100)=P(X≤2)=.
EY=3500×+2800×+2100×=2280.
所以此员工月工资的期望为2280元.
9.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则+的最小值=　　　　. 
【解析】由已知得3a+2b+0×c=2，即3a+2b=2，其中0<a<，0<b<1.
又+=(+)=3+++≥+2 =，
当且仅当=，即a=2b时取“等号”，又3a+2b=2，即当a=，b=时，+的最小值为.
【答案】
10.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，数学期望EX=3，标准差为.
(1)求n，p的值并写出X的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.
【解析】(1)X~B(n，p)，由EX=np=3，()2=np(1-p)=，得1-p=，从而p=，n=6，则X的分布列为:
X
0
1
2
3
4
5
6
P

　　(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)=P(X≤3)，
得P(A)==或 P(A)=1-P(X>3)=1-=.