2014届湖北省宜昌市高三5月模拟考试理科数学试题及答案.doc

宜昌市2014届高三年级五月模拟考试试题
数 学（理工类）
(本试题卷共4页，共22题。满分150分，考试用时120分钟)

★祝考试顺利★
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.若复数是纯虚数，其中是实数，则
A. B. C. D.
2.集合，，，则集合的个
数为
A.8 B.4 C.2 D.0
3.总体由编号分别为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取
方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的
第5个个体的编号为
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A. B. C. D.
4.函数有且仅有一个正实数零点，则实数的取值范围是
A. B. C.或 D.或
5.函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在
上的最小值为
A. B. C. D.
6.给出下列四个结论：①由曲线、围成的区域的面积为； ② “”是“向量与向量平行”的充分非必要条件； ③命题“、都是有理数”的否定是“、都不是有理数”；④函数的最小值等于。其中正确结论的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知直线和双曲线相交于、两点，线段的中点为（与坐标原点不
重合），设直线的斜率为 ，直线的斜率为，则
A. B. C. D.
8.某班班会准备从含有甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加时，丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有
A.种 B.种 C.种 D.种
B
正视图
侧视图
9.在三棱锥中，平面，，为侧棱上的一点，它的正视图和侧视图如图所示：
则下列命题正确的是
A.平面，且三棱锥
的体积为
B.平面，且三棱锥的体积为
C.平面，且三棱锥的体积为
D.平面，且三棱锥的体积为
10.设函数在区间上的导函数为,在区间上的导函数为,若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数” ．已知,若对任意满足的实数，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为
A. B. C. D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．其中15～16题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．
（一）必考题：（11～14题）
11.如图所示的程序框图的输出值，则输入值的取值
范围为________．
12. 若为正实数且满足，则
的最大值为________．
13.过点的直线与曲线相交于两点
，则线段长度的取值范围是________．
14.图中的三角形称为希尔宾斯三角形，在下列四个三角形中，黑
色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继
续对三角形着色.

（1）数列的通项公式_____________；
…
（2）若数列满足，记，则
的个位数字是_________．
（二）选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.
15.（几何证明选讲）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆的半径为，则圆心到的距离为　　　　　　　．
16.（坐标系与参数方程选讲）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若直线和曲线相切，则实数的值为_________．

三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.（本小题满分12分）在△中，是边的中点，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．

18.（本小题满分12分）第22届索契冬奥会期间，来自俄罗斯国际奥林匹克大学的男、女大学生共9名志愿者被随机地平均分配到速滑、冰壶、自由式滑雪这三个岗位服务，且速滑岗位至少有一名女大学生志愿者的概率是．
（1）求冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人的概率；
（2）设为在自由式滑雪岗位服务的男大学生志愿者的人数，求的分布列和期望．

19.（本题满分12分）如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，，， 分别是的中点，记平面与平面的交线为．
（1）求证：直线平面；
（2）直线上是否存在点，使直线分别与平面、
直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存 在，请说明理由．

20.（本小题满分12分）已知数列的通项公式为，且数列的通项公式满足
，．
（1）试确定实数的值，使得数列为等差数列；
（2）当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．

21.（本小题满分13分）设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在
轴上，过的焦点F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标
记录于下表中：

（1）求、的标准方程；
（2）已知是上的两点，若，求证：为定值；反之，当为此定值时，是否成立？请说明理由．

22．(本小题满分14分)已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）若的最小值为0，回答下列问题：
（ⅰ）求实数的值；
…
（ⅱ）已知数列满足,，记[]表示不大于的最大整数，求，求．

宜昌市2014届高三年级五月模拟考试
数学（理工类）参考答案
命题：龚 伟（枝江一中） 审题：孙红波（当阳一中） 胡俊（秭归一中） 向立政（宜昌市教科院）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
D
A
A
D
B
A
C

二、填空题
11、 12、 13、
14、（1） （2） 15、 16、
三、解答题
17.解：（1）在△中，，
∴. ……………… 4分
（2）由（1）知，，且，∴. ……6分
∵是边的中点，∴.
在△中， ……8分
解得. 由正弦定理得，
∴. ………………………………12分
18.解：（1）记至少一名女大学生志愿者被分到速滑岗位为事件，则的对立事件为
“没有女大学生志愿者被分到速滑岗位”，设有女大学生人，，
那么
即女大学生志愿者有3人，男大学生志愿者有6人 ……………………3分
记冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人为事件
则 …………………………………………6分
（2）的所有可能值为

……10分
∴的分布列为

∴ …………………………12分
19．（1）证明：分别为中点，，又
//平面EFA …………………………………………………… 2分
又BC平面ABC，平面EFA∩平面ABC= …………………4分
又BC⊥AC，平面PAC∩平面ABC=AC，平面PAC⊥平面ABC
∴BC⊥平面PAC ∴⊥平面PAC …………………………………6分
（2）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过垂直面的
直线为轴建立空间直角坐标系
则 …………7分
，设，平面的法向量为
则即
令得到平面的一个法向量为 ……………………10分
＜＞|，|＜，＞|=
依题意得=
……12分
20.解：（1）当时，得，同理：时，得； 时，得，则由，得。
而当时，，得由，
故此时数列为等差数列。 …………………………………………6分
（2）由题意知，
则当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以成立；
当时，若，则，不合题意，舍去；
从而必是数列中的某一项，则
Tm=a1+2+…+2+a2+2+…+2+a3+2+…+2+a4+…+ak+2+…+2

b1个 b2个 b3个 bk个
， ………………9分
又，
所以，即，
所以，因为为奇数，
而为偶数，所以上式无解。
即当时，综上所述，满足题意的正整数仅有. …………12分
21．解：（1）在椭圆上，在抛物线上，
： …………4分
（2）①若P、Q分别为长轴和短轴的端点，则= …………6分
②若P、Q都不为长轴和短轴的端点，
设
联立方程，解得 …………8分
同理，联立方程，解得；

综合①②可知为定值 ………10分
反之，对于上的任意两点，当时，
设，，易得
；，
由得，
即，亦即，……12分
所以当为定值时，不一定成立 ………………13分
22．解：（1）函数的定义域为，且．………………1分
当时，，所以在区间内单调递增； …………2分
当时，由，解得；由，解得．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为． ………………3分
综上述：时，的单调递增区间是；
时，的单调递减区间是，单调递增区间是．…4分
（2）（ⅰ）由（1）知，当时，无最小值，不合题意； …………5分
当时， …………………………6分
令，则，
由，解得；由，解得．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
故，即当且仅当x=1时，=0.
因此，． ………………………………………………8分
（ⅱ）因为，所以.
由得于是．因为，所以.
猜想当，时，． ……………………………………10分
下面用数学归纳法进行证明．
①当时，，故成立． ………………………11分
②假设当 (，)时，不等式成立. 则当时，，
由（1）知函数在区间单调递增，
所以，又因为，．
故成立，即当时，不等式成立．
根据①②可知，当，时，不等式成立． ……………13分
…
因此，= ……………………14分