北京市海淀区高三数学二模试题-理(含解析)北师大版.doc
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2013年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(5分)(2013•海淀区二模)集合A={x|(x﹣1)(x+2)≤0},B={x|x<0},则A∪B=( ) A. (﹣∞,0] B. (﹣∞,1] C. [1,2] D. [1,+∞) 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求解二次不等式化简集合A,然后直接利用并集运算求解. 解答: 解:由A={x|(x﹣1)(x+2)≤0}={x|﹣2≤x≤1},B={x|x<0}, 所以A∪B={x|﹣2≤x≤1}∪{x|x<0}=(﹣∞,1]. 故选B. 点评: 本题考查了并集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础的运算题. 2.(5分)(2013•海淀区二模)已知数列{an}是公比为q的等比数列,且a1•a3=4,a4=8,则a1+q的值为( ) A. 3 B. 2 C. 3或﹣2 D. 3或﹣3 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用题目给出的已知条件列关于首项和公比的方程组,求解后即可得到a1+q的值. 解答: 解:在等比数列{an}中,由a1•a3=4,a4=8,得 ,②2÷①得:q4=16,所以q=±2. 当q=2时,代入②得,a1=1. 当q=﹣2时,代入②得,a1=﹣1. 所以a1+q的值为3或﹣3. 故选D. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了方程组的解法,是基础题. 3.(5分)(2013•海淀区二模)如图,在边长为a的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m,n,则图形Ω面积的估计值为( ) A. B. C. D. 考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数,得到概率,即得到两者的面积的比值,根据所给的正方形的边长,求出面积,根据比值得到要求的面积的估计值. 解答: 解:∵由题意知在正方形中随机投掷n个点,若n个点中有m点落入X中, ∴不规则图形Ω的面积:正方形的面积=m:n ∴不规则图形Ω的面积=×正方形的面积 =×a2=. 故选C. 点评: 本题考查几何概型,古典概型和几何概型是我们学习的两大概型,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,而不能列举的就是几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到. 4.(5分)(2013•海淀区二模)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A. 180 B. 240 C. 276 D. 300 考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图可知几何体复原后,上部是四棱锥,下部是正方体,利用三视图的数据,求出几何体的表面积即可. 解答: 解:由题意可知几何体复原后,上部是四棱锥,下部是正方体, 四棱锥的底面是边长为6的正方形,侧面斜高为5; 下部是棱长为6的正方体, 所以几何体的表面积为:5个正方形的面积加上棱锥的侧面积, 即:5×6×6+4××4=240. 故选B. 点评: 本题考查几何体与三视图的关系,几何体的表面积的求法,考查计算能力. 5.(5分)(2013•海淀区二模)在四边形ABCD中,“∃λ∈R,使得AB=λDC,AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 证明题. 分析: 根据平行四边形的判定定理:两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:由在四边形ABCD中,“∃λ∈R,使得AB=λDC,AD=λBC”,不能得出AB∥DC,AD∥BC, 如图,AB=2DC,AD=2BC,不得到四边形ABCD为平行四边形. 也就不得到四边形ABCD为平行四边形, 反之,由四边形ABCD为平行四边形,得到AB=DC,AD=BC,从而有:∃λ=1∈R,使得AB=λDC,AD=λBC, 故在四边形ABCD中,“∃λ∈R,使得AB=λDC,AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件. 故选B. 点评: 本题主要考查对平行四边形的判定定理,必要条件、充分条件与充要条件的判断,能灵活运用平行四边形的判定进行证明是解此题的关键,此题是一个比较综合的题目. 6.(5分)(2013•海淀区二模)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,且5不排在百位,2,4都不排在个位和万位,则这样的五位数个数为( ) A. 32 B. 36 C. 42 D. 48 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 2和4需要排在十位、百位和千位,分2排在百位,4排在百位,2和4分别排在十位和千位来考虑,综合可得答案. 解答: 解:由题意可知:2和4需要排在十位、百位和千位. 若2排在百位,则4可以排在十位或千位,剩余的1、3、5可以随意排, 因此有2=12种情况, 同理当4排在百位时,2可以排在十位或千位,同样有2=12种情况. 再考虑2和4分别排在十位和千位的情况,不同的排列有两种情况, 而此时由于5不能排在百位,因此只能从个位和万位中选一个,有两种情况, 最后剩余的1和3可以随意排列,因此共有2×2×=8种情况. 因此所有的排法总数为12+12+8=32种. 故选A 点评: 本题考查排列组合及简单的计数原理,分类考虑是解决问题的额关键,属中档题. 7.(5分)(2013•海淀区二模)双曲线C的左右焦点分别为F1,F2,且F2恰为抛物线y2=4x的焦点,设双曲线C与该抛物线的一个交点为A,若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,则双曲线C的离心率为( ) A. B. 1 C. 1 D. 2 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线的焦点坐标,即可得到双曲线c的值,利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形, 结合双曲线a、b、c关系求出a的值,然后求出离心率. 解答: 解:抛物线的焦点坐标(1,0),所以双曲线中,c=1, 因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A,若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形, 由抛物线的定义可知,抛物线的准线方程过双曲线的左焦点,所以, c2=a2+b2=1,解得a=,双曲线的离心率e===1+. 故选B. 点评: 本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力. 8.(5分)(2013•海淀区二模)若数列{an}满足:存在正整数T,对于任意正整数n都有an+T=an成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T.已知数列{an}满足a1=m(m>0),则下列结论中错误的是( ) A. 若a3=4,则m可以取3个不同的值 B. 若,则数列{an}是周期为3的数列 C. ∀T∈N*且T≥2,存在m>1,使得{an}是周期为T的数列 D. ∃m∈Q且m≥2,使得数列{an}是周期数列 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用周期数列的定义,分别进行推理证明. 解答: 解:对于选项A,因为, 所以, 因为a3=4,所以a2=5或, 又因为,a1=m,所以m=6或m=或m=,所以选项A正确; 对于选项B,>1,所以;所以,所以, 所以数列{an}是周期为3的数列,所以选项B正确; 对于选项C,当B可知当>1时,数列{an}是周期为3的周期数列,所以C正确. 故错误的是D. 故选D. 点评: 本题主要考查周期数列的推导和应用,考查学生的推理能力. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(5分)(2013•海淀区二模)在极坐标系中,极点到直线ρcosθ=2的距离为 2 . 考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出直线的直角坐标方程,求出极点的直角坐标,即可求得极点到直线ρcosθ=2的距离. 解答: 解:直线ρcosθ=2 即 x=2,极点的直角坐标为(0,0),故极点到直线ρcosθ=2的距离为2, 故答案为 2. 点评: 本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标,点到直线的距离的定义,属于基础题. 10.(5分)(2013•海淀区二模)已知,,,则a,b,c按照从大到小排列为 c>b>a . 考点: 有理数指数幂的化简求值;对数值大小的比较. 专题: 计算题. 分析: 利用对数函数与指数函数及正弦函数的性质可对a,b,c的大小作出判断. 解答: 解:∵a=ln<ln1=0, 0<b=sin≈sin<sin30°=, c===>, ∴c>b>a. 故答案为:c>b>a. 点评: 本题考查有理数指数幂的化简求值,着重考查对数函数与指数函数及正弦函数的性质,属于基础题. 11.(5分)(2013•海淀区二模)直线l1过点(﹣2,0)且倾斜角为30°,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为 . 考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆. 分析: 用点斜式求出两条直线的方程,再联立方程组,解方程组求得直线l1与直线l2的交点坐标. 解答: 解:由题意可得直线l1的斜率等于tan30°=,由点斜式求得它的方程为 y﹣0=(x+2), 即 x﹣3y+2=0. 直线l2过的斜率等于 =﹣,由点斜式求得它的方程为 y﹣0=﹣(x﹣2), 即 x+y﹣2=0. 由 ,解得 ,故直线l1与直线l2的交点坐标为 , 故答案为 . 点评: 本题主要考查用点斜式求直线的方程,两条直线垂直的性质,求两条直线的交点坐标,属于基础题. 12.(5分)(2013•海淀区二模)在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,,则b= 2 ;S△ABC= . 考点: 正弦定理;三角形的面积公式. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据正弦定理的式子,即可解出b==2;由三角形内角和定理,算出∠C=75°,再由正弦定理的面积公式,可以算出S△ABC的大小. 解答: 解:∵△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,, ∴由正弦定理,得b===2 ∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75° ∴S△ABC=absinC== 故答案为:2, 点评: 本题给出三角形两个角和其中一角的对边,求另一边的大小并求三角形的面积.着重考查了用正弦定理解三角形、三角形面积公式等知识,属于基础题. 13.(5分)(2013•海淀区二模)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则的取值范围是 [0,1] . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 建立空间直角坐标系,求出有关点的坐标可得、、、的坐标,再由 =1﹣λ∈[0,1],可得的取值范围. 解答: 解:以所在的直线为x轴,以所在的直线为y轴,以所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系. 则D(0,0,0)、C(0,1,0)、A(1,0,0)、B(1,1,0)、D1(0,0,1). ∴=(0,1,0)、 (﹣1,﹣1,1). ∵点P在线段BD1上运动,∴=λ•=(﹣λ,﹣λ,λ),且0≤λ≤1. ∴=+=+=(﹣λ,1﹣λ,λ), ∴=1﹣λ∈[0,1], 故答案为[0,1]. 点评: 本题主要考查两个向量坐标形式的运算,两个向量的数量积公式,属于中档题. 14.(5分)(2013•海淀区二模)在平面直角坐标系中,动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点P的轨迹为曲线为W. (Ⅰ)给出下列三个结论: ①曲线W关于原点对称; ②曲线W关于直线y=x对称; ③曲线W与x轴非负半轴,y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于; 其中,所有正确结论的序号是 ②③ ; (Ⅱ)曲线W上的点到原点距离的最小值为 . 考点: 轨迹方程;命题的真假判断与应用. 分析: 根据动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,可得曲线方程,作出曲线的图象,即可得到结论. 解答: 解:∵动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离, ∴|x|+|y|= ∴|xy|+x+y﹣1=0 ∴xy>0,(x+1)(y+1)=2或xy<0,(y﹣1)(1﹣x)=0 函数的图象如图所示 ∴曲线W关于直线y=x对称;曲线W与x轴非负半轴,y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于; 由y=x与(x+1)(y+1)=2联立可得x=﹣1,∴曲线W上的点到原点距离的最小值为= 故答案为:②③; 点评: 本题考查轨迹方程,考查数形结合的数学思想,求出轨迹方程,正确作出曲线的图象是关键. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(13分)(2013•海淀区二模)已知函数. (Ⅰ)求函数f(x)的定义域; (Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间. 考点: 二倍角的余弦;正弦函数的定义域和值域;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由分母不为0,得到sin(x﹣)≠0,利用正弦函数的性质即可求出函数f(x)的定义域; (Ⅱ)函数解析式第二项分子利用二倍角的余弦函数公式化简,第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简,约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的单调性即可求出函数的单调递增区间. 解答: 解:(I)∵sin(x﹣)≠0, ∴x﹣≠kπ,k∈Z, 则函数的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}; (II)∵f(x)=1﹣=1+(cosx+sinx)=1+sinx+cosx=1+sin(x+), 又∵y=sinx的单调递增区间为(2kπ﹣,2kπ+),k∈Z, 令2kπ﹣<x+<2kπ+, 解得:2kπ﹣<x<2kπ+, 又注意到x≠kπ+, 则f(x)的单调递增区间为(2kπ﹣,2kπ+),k∈Z. 点评: 此题考查了二倍角的余弦函数公式,正弦函数的定义域和值域,以及正弦函数的单调性,熟练掌握公式是解本题的关键. 16.(13分)(2013•海淀区二模)福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:(1)该福利彩票中奖率为50%;(2)每张中奖彩票的中奖奖金有5元,50元和150元三种;(3)顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p,获得50元奖金的概率为2%. (Ⅰ)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (Ⅱ)为了能够筹得资金资助福利事业,求p的取值范围. 考点: 离散型随机变量及其分布列;互斥事件与对立事件;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (I)利用对立事件概率求解公式,可求至少有一张彩票中奖的概率; (Ⅱ)确定福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金的取值,求出相应的概率,可得其分布列与期望,利用期望大于0,即可求得结论. 解答: 解:(I)设至少一张中奖为事件A,则P(A)=1﹣0.52=0.75…(4分) (II)设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ,则ξ可以取5,0,﹣45,﹣145…(6分) 故ξ的分布列为 ξ 5 0 ﹣45 ﹣145 P 50% 50%﹣2%﹣p 2% p …(8分) 所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×(50%﹣2%﹣p)+(﹣45)×2%+(﹣145)×p=2.5﹣90%﹣145p…(11分) 所以当1.6﹣145p>0时,即…(12分) 所以当时,福彩中心可以获取资金资助福利事业…(13分) 点评: 本题考查对立事件的概率公式,考查随机变量的分布列与期望,考查学生的计算能力,属于中档题. 17.(14分)(2013•海淀区二模)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=2,AD=4.把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置,如图2所示,使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上,连接PB,点E,F分别为线段PA,PB的中点. (Ⅰ)求证:平面EFH∥平面PBC; (Ⅱ)求直线HE与平面PHB所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱PA上是否存在一点M,使得M到P,H,A,F四点的距离相等?请说明理由. 考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;平面与平面平行的判定;直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)依题意,可证得△ADC(即△PDC)是等边三角形⇒H是AC的中点,从而可知HE∥PC,可知同理EF∥PB,利用面面平行的判断定理即可证得结论; (Ⅱ)在平面ABC内过H作AC的垂线,以H为坐标原点建立空间直角坐标系,继而可求得A,P,B,E的坐标,设平面PHB的法向量=(x,y,z),由可求得,通过对x赋值,可求得=(,﹣3,0),利用向量的数量积即可求得cos<,>,即HE与平面PHB所成角的正弦值; (Ⅲ)在直角三角形PHA中,EH=PE=EA=PA=2,在直角三角形PHB中,PB=4,EF=PB=2,从而可知E为M即可. 解答: 解:(Ⅰ)∵点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上, 所以PH⊥平面ABC,所以PH⊥AC,…1分 ∵在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=2,AD=4, ∴AC=4,∠CAB=60°, ∴△ADC是等边三角形,故H是AC的中点,…2分 ∴HE∥PC…3分 同理可证EF∥PB, 又HE∩EF=E,CP∩PB=P, ∴平面EFH∥平面PBC;…5分 (Ⅱ)在平面ABC内过H作AC的垂线,如图建立空间直角坐标系,则A(0,﹣2,0),P(0,0,2),B(,1,0)…6分 因为E(0,﹣1,),=(0,﹣1,),设平面PHB的法向量=(x,y,z), ∵=(,1,0),=(0,0,2), ∴,即, 令x=,则y=﹣3, ∴=(,﹣3,0)…8分 cos<,>===…10分 ∴直线HE与平面PHB所成角的正弦值为…11分 (Ⅲ)存在,事实上记点E为M即可…12分 因为在直角三角形PHA中,EH=PE=EA=PA=2…13分 在直角三角形PHB中,PB=4,EF=PB=2, 所以点E到P,H,A,F四点的距离相等…14分 点评: 本题考查平面与平面平行的判定,考查直线与平面所成的角,考查点、线、面间的距离计算,突出考查空间向量在空间几何中的应用,考查逻辑推理与证明的能力,属于难题. 18.(13分)(2013•海淀区二模)已知函数f(x)=ex,A(a,0)为一定点,直线x=t(t≠0)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M,N,记△AMN的面积为S(t). (Ⅰ)当a=0时,求函数S(t)的单调区间; (Ⅱ)当a>2时,若∃t0∈[0,2],使得S(t0)≥e,求a的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先根据题意得到函数S(t)的解析式,再由导数与函数单调性的关系解不等式即可求函数S(t)的单调区间; (Ⅱ)当a>2时,若∃t0∈[0,2],使得S(t0)≥e,转化为S(t)在[0,2]上的最大值一定大于等于e.先求,令S'(t)=0,得t=a﹣1.下面对字母a进行分类讨论:a﹣1≥2;a﹣1<2.可得出关于a的不等关系,从而可求出a的范围; 解答: 解:(I) 因为,其中t≠a…(2分) 当a=0,,其中t≠0 当t>0时,,, 所以S'(t)>0,所以S(t)在(0,+∞)上递增,…(4分) 当t<0时,,, 令,解得t<﹣1,所以S(t)在(﹣∞,﹣1)上递增 令,解得t>﹣1,所以S(t)在(﹣1,0)上递减 …(7分) 综上,S(t)的单调递增区间为(0,+∞),(﹣∞,﹣1),S(t)的单调递增区间为(﹣1,0) (II)因为,其中t≠a 当a>2,t∈[0,2]时, 因为∃t0∈[0,2],使得S(t0)≥e,所以S(t)在[0,2]上的最大值一定大于等于e, ,令S'(t)=0,得t=a﹣1…(8分) 当a﹣1≥2时,即a≥3时对t∈(0,2)成立,S(t)单调递增, 所以当t=2时,S(t)取得最大值 令,解得 , 所以a≥3…(10分) 当a﹣1<2时,即a<3时对t∈(0,a﹣1)成立,S(t)单调递增,对t∈(a﹣1,2)成立,S(t)单调递减, 所以当t=a﹣1时,S(t)取得最大值, 令,解得a≥ln2+2, 所以ln2+2≤a<3…(12分) 综上所述,ln2+2≤a…(13分) 点评: 本题考查了应用导数研究函数的单调性,以及函数在闭区间上的最值问题,同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想. 19.(14分)(2013•海淀区二模)已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60°的菱形的四个顶点. (Ⅰ)求椭圆M的方程; (Ⅱ)直线l与椭圆M交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线经过点,求△AOB(O为原点)面积的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)依题意,可求得a=,b=1,从而可得椭圆M的方程; (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),依题意,直线AB有斜率,可分直线AB的斜率k=0与直线AB的斜率k≠0讨论,利用弦长公式,再结合基本不等式即可求得各自情况下S△AOB的最大值. 解答: 解:(Ⅰ)因为椭圆+=1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60°的菱形的四个顶点, ∴a=,b=1,椭圆M的方程为:+y2=1…4分 (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB的垂直平分线经过点(0,﹣),显然直线AB有斜率, 当直线AB的斜率为0时,AB的垂直平分线为y轴,则x1=﹣x2,y1=y2, 所以S△AOB=|2x1||y1|=|x1||y1|=|x1|•==, ∵≤=, ∴S△AOB≤,当且仅不当|x1|=时,S△AOB取得最大值为…7分 当直线AB的斜率不为0时,则设AB的方程为y=kx+t, 所以,代入得到(3k2+1)x2+6ktx+3t2﹣3=0, 当△=4(9k2+3﹣3t2)>0,即3k2+1>t2①,方程有两个不同的实数解; 又x1+x2=,=…8分 所以=,又=﹣,化简得到3k2+1=4t② 代入①,得到0<t<4,…10分 又原点到直线的距离为d=, |AB|=|x1﹣x2|=•, 所以S△AOB=|AB||d|=••, 化简得:S△AOB=…12分 ∵0<t<4,所以当t=2时,即k=±时,S△AOB取得最大值为. 综上,S△AOB取得最大值为…14分 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查椭圆的标准方程,着重考查方程思想分类讨论思想与弦长公式,基本不等式的综合运用,考查求解与运算能力,属于难题. 20.(13分)(2013•海淀区二模)设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可); 1 2 3 ﹣7 ﹣2 1 0 1 表1 (Ⅱ) 数表A如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数a的所有可能值; a a2﹣1 ﹣a ﹣a2 2﹣a 1﹣a2 a﹣2 a2 表2 (Ⅲ)对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 考点: 切变变换. 专题: 计算题;图表型. 分析: 解:(I)根据题中一次“操作”的含义,将原数表改变第4列,再改变第2行即可;或者改变第2行,改变第4列也可得(写出一种即可) (II) 每一列所有数之和分别为2,0,﹣2,0,每一行所有数之和分别为﹣1,1;①如果操作第三列,第一行之和为2a﹣1,第二行之和为5﹣2a,列出不等关系解得a,b;②如果操作第一行,可解得a值; (III) 按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和),由负整数变为正整数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大,从而也就使得数阵中mn个数之和增加,且增加的幅度大于等于1﹣(﹣1)=2,但是每次操作都只 是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,数表中mn个数之和必然小于等于,可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数,故结论成立. 解答: 解:(I) 法1: 1 2 3 ﹣7 ﹣2 1 0 1 改变第4列得: 1 2 3 7 ﹣2 1 0 ﹣1 改变第2行得: 1 2 3 7 2 ﹣1 0 1 法2: 1 2 3 ﹣7 ﹣2 1 0 1 改变第2行得: 1 2 3 7 2 ﹣1 0 ﹣1 改变第4列得: 1 2 3 7 2 ﹣1 0 1 法3: 1 2 3 ﹣7 ﹣2 1 0 1 改变第1列得: ﹣1 2 3 7 2 1 0 ﹣1 改变第4列得: ﹣1 2 3 7 2 1 0 ﹣1 (写出一种即可) …(3分)(II) 每一列所有数之和分别为2,0,﹣2,0,每一行所有数之和分别为﹣1,1; ①如果操作第三列,则 a a2﹣1 a ﹣a2 2﹣a 1﹣a2 ﹣a+2 a2 则第一行之和为2a﹣1,第二行之和为5﹣2a, ,解得a=1,a=2.…(6分) ②如果操作第一行 ﹣a ﹣a2+1 a a2 2﹣a 1﹣a2 a﹣2 a2 则每一列之和分别为2﹣2a,2﹣2a2,2a﹣2,2a2 解得a=1 …(9分) 综上a=1 …(10分) (III) 证明:按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和) 由负整数变为正整数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大, 从而也就使得数阵中mn个数之和增加,且增加的幅度大于等于1﹣(﹣1)=2, 但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值, 显然,数表中mn个数之和必然小于等于, 可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数,故结论成立 …(13分) 点评: 本题主要考查了进行简单的演绎推理,以及新定义的理解和切变变换的应用,同时考查了分析问题的能力,属于难题. 17- 配套讲稿:
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