2013年普通高等学校全国招生统一考试数学(新课标海南卷)理科与答案(34).doc

2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)
数学(理科) 试题答案及解析
一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合，，0，1，2，3，则∩
（A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝ （C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}
答案：A
[解析]该题主要考查集合交集运算与不等式的解法，由所以由交集的定义可知
（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （ ）
（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i

答案：A
[解析]本题主要考查复数的基本运算，由题目中的表达式可得
（3）等比数列｛an｝的前n项和为，已知，，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）

答案：C
[解析]本题主要考查等比数列的基本公式的运用，由题中得出，从而就有
，又由
4、已知为异面直线，平面，平面。直线满足，，，，则（ ）
（A）且 （B）且
（C）与相交，且交线垂直于 （D）与相交，且交线平行于
答案：D
[解析]本题主要考查空间线面关系的判定，若，由题中条件可知，与题中为异面直线矛盾，故A错；若则有，与题设条件矛盾，故B错；由于，则都垂直于的交线，而是两条异面直线，可将m平移至与n相交，此时确定一个平面，则的交线垂直于平面，同理也有，故平行于的交线，D正确C错。
（5）已知的展开式中的系数为5，则=
（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1
答案：D
[解析]本题考查二项式展开式中各项系数的确定，因为的展开式中的通项可表示为，从而有中的系数分别为，所以原式中系数为.

（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=
执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

答案：B
[解析]该题考查程序的输出结果，重点是了解算法中循环结构的功能，的计算结果是，是求和的算法语句，结合以上两点，当时，时结束循环，所以应该选B。
（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为

答案：A
[解析]该题考查三视图与空间坐标系综合应用，由点确定的坐标可以确定该图的直观图如下：

从右到左投影到xoz平面的正投影为A。
（8）设，，则
（A）c＞b＞a
（B）b＞c＞a
（C）a＞c＞b
(D)a＞b＞c
答案：D
[解析]本题考查对数比较大小的问题，将题中的条件进行变形可知，
，，
又因为，所以有。

（9）已知a＞0，x，y满足约束条件 ,若z=2x+y的最小值为1，则a=
(A) (B)
(C)1 (D)2
答案：B
[解析]本题考查线性规划的应用，题目给出的可行域含有参数，由于直线过定点且，所以可行域如图所示。当直线2x+y=z过x=1与y=a(x-3)的交点(1,-2a)时z取得最小值1，所以有，

（10）已知函数，下列结论中错误的是
（A）
（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形
（C）若是的极小值点，则在区间（-∞,）单调递减
（D）若是的极值点，则=0
答案：C

[解析]本题主要考查对三次函数图像的理解，该三次函数的大至图像如下图：

当x趋于负无穷大时，函数值为负，当x趋于正无穷大时，函数值为正，而该函数在R是连续的，所以就有，A的说法正确；函数可以由函数经过平移得到，而关于原点对称，故是关于中心对称的图形，B的说法正确；由极值点的定义，D说法正确；由三次函数图像可知，若是的极小值点，则在区间（-∞,）不单调，故C说法错，选C。
（11）设抛物线的焦点为F，点M在C上，|MF|=5若以MF为直径的园过点（0，3），则C的方程为
（A）或 （B）或
（C）或 （D）或
答案：C
[解析]本题是圆的方程与抛物线的综合性问题，设点M（x,y）,圆心B（a,b）如图，

，从而可以得到B的横坐标,所以可以设圆B的方程为，将点（0，2）代入得，从而可以得到点M的坐标为，代入，故答案选C（注：由于图片不清楚，有人写出该题的题设应该是，无论是哪种不会影响方法的正确性）

（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是
（A）（0，1） (B)， ( C)， (D),
答案：B
[解析]设直线y=ax+b与直线BC：x+y=1的交点为D(xD,yD),与x轴的交
点为E,由题意可知，要平均分割三角形，则b>0，所以E点只能处于x轴
负半轴，当E在A点与原点之间时，如图可得△DEB的面积为，联立
直线y=ax+b与线BC：x+y=1得，yD=，所以有整理得
。
当E与A点重合时，直线y=ax+b想平分△ABC的面积，必须过B、C的中点，如下图此时可确定直线y=ax+b的方程为，此时。

当E点处于A点左侧时，如图

此时若直线y=ax+b想平分△ABC的面积，则，，且三角形CDF面积为，联立直线y=ax+b与线BC：x+y=1得，联立直线y=ax+b与线BC：x+y=1得，所以有
，解得

综上所述，故答案选B
二、填空题
（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=_______.
答案：2

[解析]如图建立平面直角坐标系

从而有，所以
（14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=________.
答案：8
[解析]本题考查古典概率的计算，由题可知所有基本事件总数为，选出来的正整数要求和为5，则只能是1+4＝5和2+3＝5两种情况，所以有。
（15）设θ为第二象限角，若tan=，则sinθ+cosθ=_________.
答案：
[解析]本题考查同角三角函数基本关系与三角形恒等变换的问题，由得，又因为为第二象限角，利用可求得
所以有
（16）等差数列的前n项和为Sn ，已知，则的最小值为________.
答案：
[解析]本题考查等差数列与导数的综合问题，由，联立后就可以解得，则令，求导后可得，因为，故当时单调递减，当时，单调递增，所以当时取得最小值，又因为n为整数，所以当n=6或n=7时取最小，，，故最小值为
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值。
解析：本题考查正、余弦定理的应用，解题过程如下：
(1)因为 a=bcosC+csinB
所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB
sinBcosC+cosBsinC= sinBcosC+sinCsinB
因为sinC>0,所以有
cosB=sinB
从而有
B=45 º
(2)由余弦定理可知：

所以有
，当且仅当取等号

故面△ABC面积的最大值为。
如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，。
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值。

证明：（1）连接AC1交A1C于点F，则F平分AC1
又因为D为AB的中点，所以有
FD//BC1
FD面A1CD
BC1面A1CD
所以 BC1//平面A1CD
二、 因为AC=CB=/2AB，从而有
AC2+CB2=AB2
所以 ACCB
如图建立空间直角坐标系，设AC＝1
则各点坐标为C（0，0，0）
A1（1，0，1），D（1/2,1/2，0）,B（0，1，0）
E（0，1，1/2）
则

设平面A1CD和平面A1CE的法向量分别为则

解得：，
则二面角D-A1C-E的正弦值为。
（19）（本小题满分12分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以（单位：，）表示市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
（Ⅰ）将表示为的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的的数学期望。
解析：（1）当时，
当时，
所以T与X的函数关系式为
（2）当时，即时，概率P=0.7
（3）X可能的取值为：
X
105
115
125
135
145
P
0.1
0.2
0.3
0.25
0.15
T
45000
53000
61000
65000
65000
所以(元)

(20)(本小题满分12分)
平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于,两点，为的中点，且的斜率为.
(I)求的方程；
(II),为上的两点，若四边形对角线，求四边形面积的最大值.
解析：（1）设将A、B代入得到
，则（1）-（2）得到，
由直线AB：的斜率k=-1
所以，OP的斜率为，所以
由得到
所以M得标准方程为
（1） 若四边形的对角线，由面积公式可知，当CD最长时四边形面积最大，由直线AB：的斜率k=-1，设CD直线方程为，与椭圆方程联立得：
，
则，当m=0时CD最大值为4，
联立直线AB：与椭圆方程得
同理利用弦长公式
。
（21）（本小题满分12分）已知函数。
（Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明。

解：（Ⅰ）
X=0是极值点

即：
（x>-1）
当
X=0处取的极小值
恒成立，即当m≤2时，恒成立。
令：
即g（m）>0在上恒成立
易知，g（m）单调递减 即 g（2）>0
即：恒成立
令
易知 单调递增，设其零点为x0，且x0>—2

且

即 恒成立

请考生在第22、23、24题中任选择一题做答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号.
(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，且,、、、四点共圆
(I)证明：是外接圆的直径；
(II)若,求过、、、四点的圆的面积与外接圆面积的比值.

【答案】

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
已知动点，都在曲线：为参数上，对应参数分别为 与，为的中点.
(I)求的轨迹的参数方程；
(II)将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.
【答案】

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设，，均为正数，且，证明：
(I)；
(II).
【答案】

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