三角形全等易错分析.doc

三角形全等易错题分析与纠错策略探究

作为一名初中数学教师，我时常发现有些做过多次的题，学生会一错再错。通过了解，我发现这不是个别现象，要想纠正这些易错题，必须分清原因，并采取相应的纠正措施。
　　很多数学教师都发现，一些做过多次的题，学生会一错再错。这类题目我们暂且叫它易错题。易错题产生的原因各不相同。要想纠正这些易错题，必须分清原因，并采取相应的纠正措施。下面我将结合自身的初步探索，以全等三角形为知识载体举几个纠正易错题的例子，探讨纠错过程，形成我的纠错策略，与大家共勉，．
全等三角形的判定和性质及其应用是初中几何的重点内容之一，也是中考所要考查的重要内容之一．由于对概念、判定、性质的理解不清或对问题的考虑不周密，往往会出现各种错误．
　　一、寻找全等三角形的对应边和对应角时出错
　　例1　如图，已知：△ABC≌△EFD,∠C=∠D,AE=BF,指出其他的对应边和对应角。

　　错解　对应边BC与DF,AE 与BF,对应角∠DEF和 ∠ABC.
　　错解分析：识图能力差，不能看出两个三角形如何重合的，不能正确识别对应边和对应角。
正解　对应边AB=EF,AC=ED,BC=DF；对应角∠A=∠EEF, ∠ABC=∠F.
策略探究：像本例的错误，反应了学生对图形的识别能力不强，教师教学时应尽量多展示一些有关全等三角形的图形，让学生进行适当的对应边，对应角的识别训练，从而提高学生的识图能力，达到学生不犯或少犯类似错误的目的。
　　例2　如图所示，若△ABC中的∠A=300，∠B=700，AC=17cm；如图2（2）所示，若△DEF的∠D=700，∠E=800，DE=17cm，那么△ABC与△DEF全等吗？为什么？

　　错解：△ABC与△DEF全等．
　　在△DEF中，因为∠D=700，∠E=800，
　　所以∠F=1800-∠D-∠E=1800-700-800=300．
　　在△ABC中，因为∠A=300，∠B=700，
　　所以∠A=∠F，∠B=∠D．
　　又因为AC=17cm，DE=17cm，
　　所以AC=DE．
　　在△ABC与△DEF中，
　　∴△ABC≌△DEF．
　　错解分析：AC是∠B的对边，DE是∠F的对边，而∠B≠∠F，所以这两个三角形不全等．
　　正确解法：△ABC与△DEF不全等．
因为相等的两边不是相等的两角的对边，不符合全等三角形的识别法．
策略探究：　概念是对事物进行判断和推理的基础，其重要性可想而知。在数学学习的过程中，有些学生不注重对数学概念的理解，对该透彻掌握的概念一知半解，模糊不清，导致了一系列的错误。本例体现了学生对于全等中对应这一概念掌握不透彻造成的错误。所以在概念教学中，要通过具体的例子使学生对抽象的概念有一个具体的感性的认识。在此基础之上，再举一些反例，通过暴露错误，纠正学生头脑中的错误信息，从而加深对数学概念内涵和外延的理解。
　　二、利用三个角对应相等说明全等出错
　　例3　如图，∠CAB=∠DBA，∠C=∠D，E为AC和BD的交点.△ADB与△BCA全等吗?说说理由.
　　错解　△ADB≌△BCA.
因为∠C=∠D, ∠CAB=∠DBA，∠DAB=CBA,所以△CBE≌△DAE（AAA）.
　　错解分析　两个三角形全等是对的，但说明的理由不正确.三个角对应相等不能作为三角形全等的识别方法.因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
　　正解　△CAB≌△DBA.
因为∠CAB=∠DBA,∠C=∠D,AB=BA(公共边),
△CAB≌△DBA(AAS).
　　策略探究：在探究三角形全等的判定时，教师应多让学生动手操作，充分利用尺规作图来判断满足某些条件的三角形是否唯一确定，让学生理解唯一确定与不唯一确定说明了什么问题，从而达到彻底理解三角形全等的判定的目的。
三、利用两边及一边对应相等说明全等出错
　　例4　如图,已知△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点，且CD=BE，△ADC与△AEB全等吗？说说理由.
　　错解　△ADC≌△AEB.
因为AB=AC,BE=CD,∠BAE=∠CAD,所以△ADC≌△AEB（SSA）.
　　错解分析　错解在把SSA作为三角形全等的识别方法,实际上，SSA不能作为三角形全等的识别条件.因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等.
　　正解　△ADC≌△AEB.
　　因为AB=AC,D、E为AB、AC的中点，所以AD=AE.
　　在△ADC和△AEB中,
因为AB=AC,AD=AE,CD=BE,所以△ADC≌△AEB（SSS）
策略探究：本例中除了要利用尺规作图让学生理解SSA做出的三角形的不确定性外，也要要求学生掌握这一作图，它对于今后学习圆及解直角三角形.也有很好的作用。
　　四、利用部分当整体说明全等出错
　　例5　如图，已知AB=AC，BD=CE,试说明△ABE与△ACD全等的理由.
　　错解:因为AB=AC,所以∠B=∠C,
在△ABE和△ACD中,
因为AB=AC,∠B=∠C,BD=CE,
所以△ABE≌△ACD（SAS）.
　　错解分析　错解在把三角形边上的一部分当作说明的条件,这不符合三角形全等的识别方法.
　　正解　△ABE与△ACD全等.
　　因为AB=AC,所以∠B=∠C,
因为BD=CE,
所以BD+DE=CE+DE,即BE=CD.　　　　　　
　　在△ABE和△ACD中,
　　因为AB=AC,B=C,BE=CD,所以△ABC≌△ACF（SAS）.
　　策略探究：把部分当作整体，很多学生容易犯这样的错误，教学时教师应强调，必要时可让学生进行一些由部分推导整体的训练，以加深学生的印象。　
五、利用减法运算说明全等出错
　　例6　如图，已知AC、BD相交于点0，∠A=∠B，∠ACD=∠BDC，AD=BC.
试说明△AOD≌△BOC.
　　错解　在△ADC和△BCD中，
因为∠A=∠B，∠ACD=∠BDC，DC=CD，
所以△ADC≌△BCD（AAS），所以△ADC-△DOC=△BCD-△DOC，即△A0D≌△B0C.
　　错解分析　错解在将等式的性质盲目地用到三角形全等中，实际上，三角形全等是不能根据等式的性质说明的.
　　正解　在△ADO和△BCD中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，AD=BC，
所以△AOD≌△BOC(AAS).
策略探究：对于数量关系可以用等式的性质进行运算，而图形关系不能用等式的性质进行逻辑运算，教师要多做强调，以免学生再犯类似错误。
　　六、仅据图形的直观印象就视为条件来参与证明出错
　　例7　如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F．求证：BE=CF．
　　错证一：认为DE=DF，并以此为条件，
　　在Rt△BDE与Rt△CDF中，
　　因为DE=DF，BD=CD，
　　所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
所以BE=CF（全等三角形的对应边相等）．　　　　　　 　
　错证二：认为AD⊥BC，并以此为条件，通过证明△ABD≌△ACD，得AB=AC．再由Rt△AED≌Rt△AFD，得AE=AF，从而得到：BE=CF．
　　错证分析：错证一中认为DE=DF，并直接作为条件应用，因而产生错误；错证二中，认为AD⊥BC，没有经过推理，而直接作为条件应用，因而也产生错误．产生上述错误的原因是审题不清，没有根据题设，结合图形找证题方法，推论过程不符合全等的判定方法．
　　正确证法：在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS）．
　　∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）．
　　在Rt△BDE与Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
策略探究：这是学生应用知识解决问题的过程中经常发生的错误，教学时要让学生明白不能根据图形的直观就视为题目条件参与证明。
七、观察图形出现重复或遗漏出错
　　例8　如图所示，在等边△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA上一点（不是中点），且AD=BE=CF，图中全等三角形组数为（　　）.
　　　Ａ.3组　　　Ｂ.4组　　　Ｃ.5组　　　Ｄ.6组
　　　错解：A.

错解分析　学生审题时急躁、不细心，没有灵活运用所给条件，只是直接运用了已知条件就做出判断.全等三角形共有6组，分别是：△ABE≌CAD，△ABE≌BCF，△CAD≌BCF，△ABF≌CAE，△ABF≌BCD，△CAE≌BCD.
　　正解：C.
　　策略探究：　正确的审题是做对数学题目的前提。有的学生在做题过程中急于求成，审题意识不强，拿到题目之后匆忙看一眼就动笔答题，很容易因为审题时错看漏看条件，对题目条件挖掘不充分，出现失之毫厘，谬以千里的局面。
对这类问题平时学习要多观察多总结，充分地用上所给条件，逐步找出所有的全等三角形，培养学生仔细读题，深入思考，不急于下结论的习惯。做题时要全面考虑，充分挖掘题目的隐含条件。
　 教师可以通过对学生易错题的研究，弄清错误后面学生所欠缺的能力，采取相应的纠正措施，并指导学生找出原因，在改正错题的过程中掌握数学知识，积累解题经验，提高解题能力。