三角函数知识点归纳.doc
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(完整版)三角函数知识点归纳 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. 角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角. 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在轴上的角的集合为 终边在轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 (2)终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k∈Z).终边与角相同的角的集合为 (3)弧度制 ①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度. ③半径为的圆的圆心角所对弧的长为,则角的弧度数的绝对值是 ④若扇形的圆心角为,半径为,弧长为,周长为,面积为,则,,. 2.任意角的三角函数定义 设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为,那么角α的正弦、余弦、正切分别是:sin α=,cos α=,tan α=.(三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦) 3.特殊角的三角函数值 角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 —1 0 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 —√3/2 —1 0 1 tana 0 √3/3 1 √3 —√3 -1 -√3/3 0 0 二、同角三角函数的基本关系与诱导公式 A。基础梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1;(在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号) (2)商数关系:=tan α. (3)倒数关系: 2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α, 其中k∈Z. 公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α,. 公式四:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α,。 公式五:sin=cos_α,cos=sin α. 公式六:sin=cos_α,cos=-sin_α. 诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式.口诀:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称要变(正弦变余弦,余弦变正弦);若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指:把α看成锐角时,根据k·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号,最后作为结果符号. B.方法与要点 一个口诀 1、诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 2、四种方法 在求值与化简时,常用方法有: (1)弦切互化法:主要利用公式tan α=化成正、余弦. (2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化. (、、三个式子知一可求二) (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ= sin=tan (4)齐次式化切法:已知,则 三、三角函数的图像与性质 学习目标: 1会求三角函数的定义域、值域 2会求三角函数的周期 :定义法,公式法,图像法(如与的周期是)。 3会判断三角函数奇偶性 4会求三角函数单调区间 5知道三角函数图像的对称中心,对称轴 6 知道,,的简单性质 (一) 知识要点梳理 1、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数和余弦函数图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为0,的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、正弦函数、余弦函数的性质: (1)定义域:都是R。 (2)值域:都是, 对,当时,取最大值1;当时,取最小值-1; 对,当时,取最大值1,当时,取最小值-1. (3)周期性:,的最小正周期都是2; (4)奇偶性与对称性: ①正弦函数是奇函数,对称中心是,对称轴是直线; ②余弦函数是偶函数,对称中心是,对称轴是直线;(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线,对称中心为图象与轴的交点)。 (5)单调性: 上单调递增,在单调递减; 在上单调递增,在上单调递减.特别提醒,别忘了! 3、正切函数的图象和性质: (1)定义域:。 (2)值域是R,无最大值也无最小值; (3)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是,特别提醒:正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与轴的交点,另一类是渐近线与轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。 (4)单调性:正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性. 4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质 函 数 性 质 图象 定义域 值域 最值 当时,;当 时,. 当时, ;当 时,. 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数;在 上是减函数. 在上是增函数;在 上是减函数. 在 上是增函数. 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 5、研究函数性质的方法:类比于研究的性质,只需将中的看成中的。 函数y=Asin(wx+j)(A>0,w>0)的性质。 (1)定义域:R (2)值域:[-A, A] (3)周期性: ①和的最小正周期都是. ②的最小正周期都是。 (4)单调性:函数y=Asin(wx+j)(A>0,>0)的 单调增区间可由2k-≤wx+j≤2k+,k∈z解得; 单调减区间可由2k+≤wx+j≤2k+,k∈z解得。 在求的单调区间时,要特别注意A和的符号,通过诱导公式先将化正。 如函数的递减区间是______ (答: 解析:y=,所以求y的递减区间即是求的递增区间,由得 ,所以y的递减区间是 四、函数的图像和三角函数模型的简单应用 一、 知识要点 1、 几个物理量: ①振幅:;②周期:;③频率:;④相位:;⑤初相:. 2、 函数表达式的确定:A由最值确定;由周期确定;由图象上的特殊点确定. 函数,当时,取得最小值为 ;当时,取得最大值为,则,,. 3、函数图象的画法:①“五点法”――设,令=0,求出相应的值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。 4、函数y=sinx的图象经变换可得到的图象 y=sinx y=sinxXXXxxx 横坐标 伸(缩)倍 左(右)平移 纵坐标 伸(缩)A倍 y=sinx 左(右) 平移 纵坐标 伸(缩)A倍 横坐标 伸(缩)倍 左(右) 平移 横坐标 伸(缩)倍 横坐标 伸(缩)倍 纵坐标 伸(缩)A倍 横坐标 伸(缩)倍 纵坐标 伸(缩)A倍 左(右) 平移 左(右) 平移 纵坐标 伸(缩)A倍 5、函数的图象与图象间的关系:①函数的图象向左(〉0)或向右(<0)平移个单位得的图象;②函数图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到函数的图象;③函数图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到函数的图象;④函数图象向上()或向下()平移个单位,得到的图象。 要特别注意,若由得到的图象,则向左或向右平移应平移个单位, 如要得到函数y=sin(2x-)的图象,只需将函数y=sin2x的图象( ) (A)向左平移 个单位 (B)向右平移个单位 (C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位 6、函数y=Acos(wx+j)和y=Atan(wx+j)的性质和图象的变换与y=Asin(wx+j)类似. 三角恒等变换 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴;⑵; ⑶;⑷; ⑸ (); ⑹ (). 如 ; (答案: ) 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴. 如cos2+cos2+coscos的值等于 ; (答案: ) ⑵ 升幂公式 降幂公式,. ⑶. 3、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数:,其中. 4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换,灵活运用三角公式,掌握运算化简的方法.常用的方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,寻找条件与结论中角的关系,运用角的变换,使问题获解,对角的变形如: ①是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍; ②;问: ; ; ③;④;⑤;等等。 如[1] 。 (答案: ) [2]若cos(α+β)=,cos(α-β)=-,且<α-β<π,<α+β<2π,则cos2α=_____,cos2β=_____. (答案:-,-1) [3]已知 则 ; (答案: ) (2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名(二弦归一). 如 ; (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有: (4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有: ; 。有时需要升幂,常用升幂公式有: ; .如对无理式常用升幂化为有理式. (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:;; ;; ;; ;; ; ; ; ; ;(其中 ;) (6)三角函数式的化简运算基本规则:复角化单角,异角化同角,见切化弦,二弦归一,高次化低次,特殊值与特殊角的三角函数互化。 8- 配套讲稿:
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