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微积分练习题和答案1

篇一：微积分1期末模仿答案(1)

微积分1期末模仿考试

一、填空题（每题3分，共18分）

ex?1

1． li?；

x?0?x

2.

?()dx?

xsin?x；c

3.设函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)，那么f(x)有_______个极值点;

4.设f(x)的一个原函数为e，那么?f(x)dx? ，?f?

(x)dx? 。

?x

5.函数f(x)?arctanx在?0,1?上满足拉格朗日中值定理的点?? 。

6.设f(x)=sinx, 那么

?f??2x?dx?

?11?7.??2

?x?a(x?a)?

?dx＝ .(附加题，可不做) ?

8.

99

(2x?3)dx?. (附加题，可不做) ?

二、选择题（每题3分，共30分） 1.设?f(x)dx?A、

1?x

?C，那么f(x)?（ B ） 1?x

?22?2x2x

B、 C、 Ｄ、

(x?1)2(x?1)2(x?1)2(x?1)2

2.设f?(x)连续，以下等式错误的选项是（ D ） A、C、

??

?

f(x)dx?f(x)B、

?

?f?(x)dx?f(x)?C

??f(2x)dx

?

??f(2x) D、?f?(2x)dx?f(2x)?C

3.设?f(x)dx?C，那么?xf(x2)dx?（ A ） A、1sinx?C B、1C

22C

、1sin2CD、1sin2x?C 2x

?

x

f(x)dx?sinex?C，那么?f(lnx)?（

C ）

A、sine?C B、sin(lnx)?C 5.设函数f(x)在x?x0处获得极大值，那么必有（D）。

A.f?(x0)=0；C.

f?(x0)?0；

B.f?(x0)?0；

D.f?(x0)=0或者f?(x0)不存在.

6.函数f(x)?lnx及其图形在区间(1,??)上( B )。

A. 单调减少上凹; B.单调增加上凸; C. 单调减少上凸; D.单调增加上凹.

7.假设f(x)?( A ),那么f?(x)?0。

A.arcsinx?arccosx；C.sinx?cosx；

B.sec2x?tanx；

D.lnx?arccosx.

8.函数y?x?arctanx在(??,??)内（ A ）

9.设f(x)?x，那么x?0是f(x)

的（ D ）

23

10. （ C ）

A.asintB.atantC.asectD.

acost

三、 解以下各题（每题4分，共8分）

ex?e?x?2

1.求lim；

x?01?cosx

?1ln(1?x)?

?2.求lim； x?0?xx2?

1

x

3.求lim(cosx)

x?0

2

.(附加题，可不做)

四、求不定积分（每题5分，共30分）

;

1.?1?x

2.

;

3.

34x

(2x?e?cos5x)dx; ?

4.

2

x?lnxdx;

5.

?

;

6.

dx

?x(1?x2);

7.

;(附加题，可不做)

8.

;(附加题，可不做)

1?x?x2

;(附加题，可不做) 9.?2

(1?x)

2

?

(附加题，可不做)

11.设函数f(x)的一个原函数为lnx，求不定积分xf?(x)dx。(附加题，可不做)

?

篇二：微积分 课后习题答案

习题1—1解答 1． 设f(x,y)?xy?

x

11x1

，求f(?x,?y),f(,),f(xy,), yxyyf(x,y)

11xy

1xy

yx

xy

2

2

解f(?x,?y)?xy?

xy

；f(,)??;f(xy,)?x?y;

1f(x,y)

?

yxy

2

?x

2． 设f(x,y)?lnxlny，证明：f(xy,uv)?f(x,u)?f(x,v)?f(y,u)?f(y,v)

f(xy,uv)?ln(xy)?ln(uv)?(lnx?lny)(lnu?lnv)?lnx?lnu?lnx?lnv?lny?lnu?lny?lnv?f(x,u)?f(x,v)?f(y,u)?f(y,v)

3． 求以下函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）f(x,y)?

?x

2

?

2

y?1;

2

（2）f(x,y)?

4x?y

2

ln(1?x?y)

xa

22

2

;

（3）f(x,y)?1??

yb

22

?

zc

22

;

（4）f(x,y,z)?

x?

2

y?

2

z

2

.

?x?y?z

解（1）D?{(x,y)x?1,y?1

?

（2）

D?(x,y)0?x2?y2?1,y

?

222

??xy （3）

D??(x

,y)2?2?ab?

（4）D?(x,y,z)x?0,y?0,z?0,x2?y2?z2?1

4．求以下各极限： （1）lim

1?xyx?y

2

2

??

1?00?1

?1

x?0y?1

=

（2）lim

ln(x?ex?y2?

2

y)2

x?1y?0

?

ln(1?e)?0(2?

?ln2

（3）lim

xy?4xy

x?0y?0

?lim

xy?4)(2?xy(2?

xy?4)

x?0y?0

xy?4)

??

14

（4）lim

sin(xy)y

x?2y?0

?lim

sin(xy)xy

x?2y?0

?x?2

5．证明以下极限不存在： （1）lim

x?0y?0

x?yx?y

; （2）lim

xy

2

2

22

2

x?0y?0

xy?(x?y)

（1）证明 假设动点P(x,y)沿y?2x趋向(0,0) 那么lim

x?yx?y

x?2xx?2x

??3；

x?0

y?2x?0

?lim

x?0

假设动点P(x,y)沿x?2y趋向(0,0)，那么lim

x?yx?y

y?0

x?2y?0

?lim

3yy

y?0

?3

因此极限不存在。

（2）证明 假设动点P(x,y)沿y?x趋向(0,0)

xy

2

2

2

2

2

那么lim

x?0y?x?0

xy?(x?y)

?lim

xx

44

x?0

?1；

假设动点P(x,y)沿y?2x趋向(0,0)，那么lim因此极限不存在。

6．指出以下函数的连续点： （1）f(x,y)?

y?2xy?2x

2

xy

2

2

22

2

x?0

y?2x?0

xy?(x?y)

?lim

4x

4

4

2

x?0

4x?x

?0

； （2）z?lnx?y。

解 （1）为使函数表达式有意义，需y2?2x?0，因此在y2?2x?0处，函数连续。 （2）为使函数表达式有意义，需x?y，因此在x?y处，函数连续。 习题1—2 1．（1）z?

?z?x

xy

?

yx

,

?z?x

?

1y

?

yx

2

，

?z?y

?

1x

?

xy

2

.

(2)?ycos(xy)?2ycos(xy)sin(xy)?y[cos(xy)?sin(2xy)]

?z?y

?xcos(xy)?2xcos(xy)sin(xy)?x[cos(xy)?sin(2xy)]

(3)

?z?x

?y(1?xy)

y?1

y?y(1?xy)

2y?1

,

1?zz?y

x1?xy

,

lnz=yln，两边同时对y求偏导得?ln(1?xy)?y

?z?y

?z[ln1(?xy)?

xy1?xy

]?(1?xy)[ln1(?xy)?

y

xy1?xy

];

(4)

?z?x

1??x?

2yxx

y3

1

y

2

?

x?2yx(x?y)

3

3

?z

,?y

?

xx?

2

yx

2

?

;3

x?y

1

?u

(5)?x

?

yz

x

z

?1

,

?u?y

?

1z

y

x

z

lnx,

?u?z

??

yz

2

y

x

z

lnx

;

(6)

?u?x

?

z(x?y)

z?12z

1?(x?y)

,

?u?y

??

z(x?y)

z?12z

1?(x?y)

,

?u?z

?

(x?y)ln(x?y)1?(x?y)

2z

z

;

2.(1)

zx?y,zy?x,zxx?0,zxy?1,zyy?

;

(2) zx?asin2(ax?by),zy?bsin2(ax?by),

zxx?2acos2(ax?by),zxy?2abcos2(ax?by),zyy?2bcos2(ax?by).

2

2

3 fx?y?2xz,fy?2xy?z,fz?2yz?x,fxx?2z,fxz?2x,fyz?2z,

fxx(0,0,1)?2,fxz(1,0,2)?2,fyz(0,?1,0)?0.

222

4

zx??2sin2(x?

t2

),zt?sin2(x?

t2

y

t2

),zxt?2cos2(x?

t2)?0.

t2

),ztt??cos2(x?

t2

)

2ztt?zxt??2cos2(x?

)?2cos2(x?

5.(1) zx??

12

yx

2

y

e, zy?

x

1x

ex,dz??

yx

2

y

edx?

x

1x

y

exdy;

(2) z?ln(x

2

?y),zx?

2

xx?y

2

2

,zy?

yx?y

2

2

,dz?

xx?y

2

2

dx?

yx?y

2

2

dy;

(3)zx

2

yx

???2 , zy?2

y2x?y1?()1?

x

?

y1

?ydx?xdyxx

?2dz? ,; 222

y2x?yx?y()x

yz

(4) ux?yzx

yz?1

,uy?zx

yz?1

yz

lnx,uz?yx

yz

lnx, lnxdz.

du?yzxdx?zxlnxdy?yx

yz

6. 设对角线为z,那么z?

22

x?y,zx?

xx?y

2

2

,zy?

yx?y

2

2

, dz?

xdx?ydyx?y

2

2

当x?6,y?8,?x?0.05,?y??0.1时,?z?dz?

6?0.05?8?(?0.1)

6?8

2

2

=-0.05(m).

7. 设两腰分别为x、y,斜边为z,那么z?zx?

xx?y

2

2

x?y,

22

，zy?

yx?y

2

2

, dz?

xdx?ydyx?y

2

2

,

设x、y、z的绝对误差分别为?x、?y、?z,

当x?7,y?24,?x??x?0.1,?y???z?dz?

7?24

2

2

y

?0.1时, z?7?24

22

?25

z的相对误差

?zz

?

?0.496%.

8. 设内半径为r，内高为h，容积为V，那么

V??rh,Vr?2?rh,Vh??r,dV?2?rhdr??rdh,

2

2

2

当r?4,h?20,?r?0.1,?h?0.1时,

?V?dV?2?3.14?4?20?0.1?3.14?4?0.1?55.264(cm).

2

3

习题1—3

y

x

? )

2

1.

dudx

?

?fdx?xdx

?

?fdy?ydx

?

?fdz?zdx

?

1?(

zxyz

ax4

1?(

2

2

zxyz

?

xyzxyz

2

?ae)

2

ax

?

1?(

?2a(ax?1)

)

2

=

y[z?axz?2axy(ax?1)]

z?xy??f?????x

3

2

2

2

=

(ax?1)e(1?ax)

2

2ax

(ax?1)?xe

.

3

4

2.

?z?x

?

?f?????x

=

?

??

2

22

?x?x?y

2

2

?arcsin??

4x

4

x?y

=

4xarcsin

4

?x?y

4

x?y

?z?y

??f?????y

?

?

xln(x?y)(1?x?y)(x?y)

2

2

2

2

44

4y

4

3

4

?f?????y

2

=

?

??

2

?y?x?y

42

2

?arcsin??

x?y

=

4yarcsin

4

3

?x?y

4

2

x?y

?

yln(x?y)(1?x?y)(x?y)

2

2

2

2

4

.

3. (1)

?u?x?u?x?u?x

=2xf1?ye

xy

f2,

?u?y

=?2yf1?xe

1z

xy

f2.

(2) =

1y

?f1,

?u?y

=?

xy

2

?f1?f2,

?u?z

=?

yz

2

?f2.

(3)

=f1?yf2?yzf3,

?u?y

=xf2?xzf3,

?u?z

=xyf3.

篇三：微积分测

微积分测试题答案

一、选择题(每题2分)

1、设??x?定义域为（1,2），那么??lgx?的定义域为（） A、（0,lg2）

B、（0，lg2?

C、（10,100） D、（1,2）

2、x=-1是函数??x?=x2?xxx2?1的（）

A、腾跃连续点 B、可去连续点 C、无穷连续点 D、不是连续点

3

、试求

x?0A、?1

4

B、0 C、1 D、? 4、假设

yx?x

y

?1，求y?等于（） A、

2x?y2y?xB、y?2x2y?xC、2y?xx?2y

2x?y

D、2x?y

5、曲线y?

2x

1?x

2

的渐近线条数为（） A、0B、1 C、2 D、3 6、以下函数中，那个不是映射（）

A、y2

?x (x?R?

,y?R?

) B、y2

??x2

?1

C、y?x2

D、y?lnx (x?0)

二、填空题（每题2分） 1

、__________2、

、设 （(n?)1x

fx)?milx??nx2?1

，那么() fx的连续点为__________

3、已经明白常数 a、b,lim

x2?bx?a

x?11?x

?5，那么此函数的最大值为__________ 4、已经明白直线 y?6x?k是 y?3x2

的切线，那么 k?__________ 5、求曲线 xlny?y?2x?1，在点（，11）的法线方程是__________ 三、推断题（每题2分）

1、函数y?x2

1?x

2

是有界函数( )2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( )

3、假设lim

?

??，就说?是比?低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) ?

5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点( )

sin1x

四、计算题（每题6分）1、求函数 y?x

1

的导数 2、已经明白f(x)?xarctanx?ln(1?x2），求dy

2

tanx?sinx

2x?0xsinx

3、已经明白x2?2xy?y3?6，确定y是x的函数，求y?4、求lim

x(cosx)5

、计算 6、计算lim ?x?0五、应用题

1、设某企业在消费一种商品x件时的总收益为R（x)?100x?x，总本钱函数为C(x)?200?50x?x，征询政府对每件商品征收物资税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数y?x?

2

1

22

1

的图形（12分） x

1x

六、证明题（每题6分）

f()?A 1、用极限的定义证明：设limf(x)?A,那么lim?

x???

x?0

2、证明方程xe?1在区间（0,1）内有且仅有一个实数

一、选择题

1、C 2、C3、A4、B5、D 6、B 二、填空题

1、x?0 2、a?6,b??7 3、18 4、35、x?y?2?0 三、推断题

1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、

x

y??（x?（e

sin

1

x

)?)?

1sinlnxx

1111??

?ecos(?2)lnx?sin??xxxx??

1sin

1111x

?x(?2coslnx?sin)

xxxx

1

sinlnxx

dy?f?(x)dx

112x

?(arctanx?x?)dx22

1?x21?x

?arctanxdx

3、 解：

2x?2y?2xy??3y2y??0

2x?3y

?y??2

2x?3y

?y???

4、

解：

2)2

(2?3y?)(2x?3y2)?(2x?2y)(2?6yy?)

(2x?3y

x2

?当x?0时，x?tanx?sinx,1?cosx?

2

12xxtanx(1?cosx)1?原式=lim?lim3?2x?0x?0xsinxx2

5、

解：

令x?t6dx?6t5原式?

?（1?t

2

)t3

t2?6?

1?t2

t2?1?1?6?

1?t2

1

?6?(1?)2

1?t

?6t?6arctant?C??6arctan

?C

解：

1

原式?limex

?

x?0

2

lncosx

?e

x?0?

lim

1xlncosx

其中：

1

lncosx2

x?0x

lncosx

?lim 2

x?0?x

1

(?sinx)

?limx?0?2x

?tanx1

?lim??x?0?2x2lim?

?原式?e

五、应用题

1、解：设每件商品征收的物资税为a，利润为L(x)

?1

2

L(x)?R(x)?C(x)?ax

?100x?x2?(200?50x?x2)?ax??2x2?(50?a)x?200

L?(x)??4x?50?a

50?a

令L?(x)?0,得x?,如今L(x)获得最大值

4a(50?a)

税收T=ax?

4

1

T??(50?2a)

4

1

令T??0得a?25T?????0

2

?当a?25时，T获得最大值

2、 解：

D????，0???

0,???连续点为x?0y??2x?

1

x2

令y??0那么x?y???2?

2x3

令y???0那么x??1

渐进线：

limy???y无水平渐近线

x??x?0

limy?0?x?0是y的铅直渐近线yx?1

lim?2???y无斜渐近线x??xx

3

图象