2014届河北省衡水中学高三下学期期中考试文科数学试题及答案.doc

衡水中学2013--2014学年度第二学期期中考试
高三年级（文科）数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一 选择题 （每小题5分，共60分，且每小题只有一个正确选项）
1、已知复数，则它的共轭复数等于( )
A． B． C． D．
2、已知等差数列中，, 则的值是（ ）
A． 15 B．30 C．31 D．64
3、已知，则( )
A． B． C． D．
4、若向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）
结束

输出
否

是

开始

A． B． C． D．
5、某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值是（ ）
A．63 B．31 C．27 D．15
6、若点在曲线与所围成的封闭区域内
（包括边界），则的最大值为（　　）
　A．－6　　　B．4　　　C．6　　　D．8
7、下列函数中，与函数的奇偶性、单调性
均相同的是（ ）
A． B．
C． D．
8、以下判断正确的是（ ）
.相关系数 ()，值越小，变量之间的线性相关程度越高.
.命题“”的否定是“”.
.命题“在中，若”的逆命题为假命题.
.“”是“函数是偶函数”的充要条件.
9、已知椭圆，双曲线，椭圆的焦点和长轴端点分别是双曲线的顶点和焦点，则双曲线的渐近线必经过点（　　）
　A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
10、已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）

11、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A. B. C. D.
12、若点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为（ ）
A． B. 2 C. D.8
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸上相应位置。
13、已知全集，集合，则的子集个数是 ．
14、在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若，且5sinB=3sinC，则ABC的周长等于 。
15、正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为____________.
16、若数列的通项公式，记，则 _________
三 解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤，只写出最后结果不得分）
17、（本小题满分12分）
若的图像与直线相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列.
(1)求和的值；
(2) ⊿ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。若是函数 图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC面积的最大值。

18、（本小题满分12分）
今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，。。。。。800进行编号：
（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）

（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
人数
数学
优秀
良好
及格
地理
优秀
7
20
5
良好
9
18
6
及格
a
4
b

成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；
（3）在地理成绩为及格的学生中，已知，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率

19、（本小题满分12分）如图,是边长为的正方形，平面，，且.
（1）求证:平面平面
（2）求几何体ABCDEF的体积

20、（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，A、B是椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，且△APB面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线AP与直线交于点D，证明：以BD为直径的圆与直线PF相切．

21、（本小题满分12分）已知函数
( 1)若直线与函数的图象相切，求实数m的值；
(2)证明曲线与曲线有唯一的公共点；
(3)设，比较与的大小，并说明理由。

选做题（本小题满分10分）请在答题卡上将所选题目的题号后面的小方框涂黑，并在答题卡上作答。
22.选修4—1；几何证明选讲．
如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD于点F，证明：

(1)∠BFM＝∠PEF；
(2)PF2＝PD·PC.

23.选修4—4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点 为极点，以x铀正半轴为极轴，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（t为参数，），射线与曲线交于（不包括极点O）三点A、B、C．
(I)求证：；
(Ⅱ)当时，B，C两点在曲线上，求m与的值．

24、选修4—5：不等式选讲
设不等式的解集为M
（1）求集合M；
（2）若,求证：

高三期中文数答案：
1---12 BACCA CADDC BD 13、4 14、 15、 16、
17、解：（1）= ………………3分
由题意，函数的周期为，且最大（或最小）值为，而,
所以， ………… ……………………6分
（2）∵（是函数图象的一个对称中心 ∴
又因为A为⊿ABC的内角，所以 ………… ……………………8分

所以（当且仅当时取等号）……………10分
（当且仅当时取到最大值） ……………12分
18、解：（1）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785,667,199； …………3分
（2）由，得， …………5分
∵，
∴； …………7分
（3）由题意，知，且，
∴满足条件的有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），
（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组，
且每组出现的可能性相同. ….…9分
其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：
（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组. …………11分
∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为. …………12分
19、（1）
，
又，………6分
（2）因为平面∴又∥且=，
，又，
，又，
所以几何体的体积………12分
20．解析：（1）由题意可设椭圆的方程为．

由题意知解得．
故椭圆的方程为．……………………4分
（2）由题意，设直线的方程为.
则点坐标为，中点的坐标为．
由得．
设点的坐标为，则．
所以，．………………………………………6分
因为点坐标为，
当时，点的坐标为，点的坐标为.
直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．…8分
当时，则直线的斜率.
所以直线的方程为．
点到直线的距离．…………10分
又因为 ，所以．故以为直径的圆与直线相切．
综上得，以为直径的圆与直线相切． ………………………………………12分
21、解：（1）
设切点为，则，
代入，得 ……………………….2分
（2）令，则
在内单调递减，……………………….4分
又
所以是函数的惟一的零点。所以点是两曲线惟一的公共点。……….6分
（3），
又因为所以构造函数 ………….8分

在内单调递增…….10分
又当时，时，即
则有成立。即 即………….12分
22、(1)连接OE，
∵PE切⊙O于点E，∴OE⊥PE.
∴∠PEF＋∠FEO＝90°.
又∵AB⊥CD，
∴∠B＋∠BFM＝90°.
又∵∠B＝∠FEO，
∴∠BFM＝∠PEF. -------------5分
(2)∵∠EFP＝∠BFM，
∴∠EFP＝∠PEF.
∴PE＝PF.
又∵PE2＝PD·PC，
∴PF2＝PD·PC. -------------10分

24．（1）① …………………（1分）
②
…………………（2分）
①
…………………（3分）

不等式的解集为 …………………（4分）
(2) …………………（7分）
…………………（9分）

…………………（10分）