盐城市2013年高三第二次模拟测试数学试题.doc

盐城市2013届高三年级第二次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
第6题
开始
a←1,b←1
a<4
输出b
a←a+1
b←2b
结束
Y
N
1. 若集合, ,且，则实数的值为 ▲ .
2. 若复数满足（为虚数单位），则= ▲ .
3. 现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，
从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为 ▲ .
4. 已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积
是 ▲ ．
5. 若，是两个单位向量，，，且
，则，的夹角为 ▲ .
6. 如图，该程序运行后输出的结果为 ▲ .
7. 函数，的单调递增区间为 ▲ .
8. 若等比数列满足且（且），则的值为 ▲ .
9. 过点（2,3）且与直线和都相切的所有圆的半径之和为 ▲ ．
10. 设函数满足对任意的，且．已知当时，有，则的值为 ▲ ．
11. 椭圆（）的左焦点为，直线与椭圆相交于,两点,若的周长最大时，的面积为，则椭圆的离心率为 ▲ ．
12. 定义运算，则关于非零实数的不等式的解集为 ▲ .
13. 若点为的重心，且,则的最大值为 ▲ ．
14. 若实数、、、满足，则的最小值为
▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15. (本小题满分14分)
已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值．

16．(本小题满分14分)
A
C
D
E
P
B
如图，在四棱锥中，，为的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求证:平面平面.

17．(本小题满分14分)
如图，在海岸线一侧处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了、两个报名点，满足、、中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作:
先将、两处游客分别乘车集中到之间的中转点处（点异于、两点），然后乘同一艘游轮前往岛．据统计，每批游客处需发车2辆，处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元．设，每批游客从各自报名点到岛所需运输成本为元．
（1）写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；
D
C
B
A
（2）问中转点距离处多远时，最小？

18. (本小题满分16分)
如图，圆与离心率为的椭圆：（）相切于点．
（1）求椭圆与圆的方程；
（2）过点引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点、与点、（均不重合）．
M
O
y
x
A
C
B
D
① 若为椭圆上任一点，记点到两直线的距离分别为、，求的最大值;
② 若，求与的方程．

19．(本小题满分16分)
设函数．
（1）若，求在上的最大值和最小值；
（2）若对任意，都有，求的取值范围；
（3）若在上的最大值为，求的值．

20．(本小题满分16分)
设是各项均为非零实数的数列的前项和，给出如下两个命题：
命题：是等差数列；命题：等式对任意的恒成立，其中，是常数．
（1）若是的充分条件，求，的值；
（2）对于（1）中的与，问是否为的必要条件，请说明理由；
（3）若为真命题，对于给定的正整数和正数，数列满足条件，试求的最大值．

盐城市2013届高三年级第二次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲）
A
B
C
DD
E
O
如图，AB是⊙O的直径，C、E为⊙O上的点，且CA平分∠BAE，DC是⊙O的切线，交AE的延长线于点D. 求证：CD⊥AE.

B.（选修4—2：矩阵与变换）
求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中，．

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知圆的参数方程为（为参数）, 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为, 求直线截圆所得的弦长．

D．(选修4-5：不等式选讲）
若，证明.

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22．（本小题满分10分）
正三棱柱的所有棱长都为4，为的中点.
B
C
A1
A
D
B1
C1
（1）求证面；
（2）求二面角的余弦值.

23．（本小题满分10分）
已知数列满足，.
（1）证明：；
（2）证明：.

高三数学第 12 页 共 4 页
盐城市2013届高三年级第二次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 4 2. 3. 4. 5. 6. 16 7. 8.16
9. 42 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．解：（Ⅰ）
………………………………………………………………………………………2分
……………………………………………………………………………………………4分
所以……………………………………………………………………………………………7分
（Ⅱ）因为，所以……………………………………………………9分
所以，所以，当即时，，
当即时，，……………………………………………………………14分
16.证明(1)连接交于,连接
∵四边形是菱形, ∴是中点, ……………………………………………………………2分

又为中点.∴∥………………………………………………………………………………4分
又,∴∥平面……………………………………………………7分

(2)在△中,易得∴,∴………………………9分

∴在△中可求得,同理在△中可求得
∴在△中可得,即⊥………………………………………………………11分

又,为中点, ∴⊥……………………………………………………………12分
⊥面,又面∴平面平面………………………………………14分

17．解: (1)由题在中，．
由正弦定理知，得……………3分

……………………………………………………………………7分
(2)，令，得……………………………………………………10分
当时，；当时，，当时取得最小值………………12分
此时，
中转点距处千米时，运输成本最小……………………………………………………14分
18．解: (1)由题意知: 解得可知:
椭圆的方程为与圆的方程…………………………………………………4分
(2)设因为⊥,则,因为
所以,………………………………………………7分
因为 所以当时取得最大值为，此时点…………9分
(3)设的方程为,由解得；
由解得………………………………………………………………11分
把中的置换成可得，………………………………12分
所以，
，
由得解得…………………………………………15分
所以的方程为，的方程为
或的方程为，的方程为…………………………………………………16分
19．解(1) …………………………………………………… 2分
∴在内, ，在
∴在内, 为增函数，在内为减函数,
又∵，
∴函数的最大值为，最小值为………………………………4分
（2）∵对任意有，∴
从而有∴………………………………………………………………………………6分
又∴在内为减函数，在内为增函数,只需，则
∴的取值范围是……………………………………………………………………………10分
（3）由知：①，②，
①加②得，又∵∴，∴………………………………14分
将代入①②，得∴…………………………………………………………………16分
20．解：（1）设的公差为，则原等式可化为
所以，
即对于恒成立，所以…………………………………………………4分
（2）当时，假设是否为的必要条件，即“若①对于任意的恒成立，则为等差数列”.………………………………………………………………6分
当时，②，由①-②得，
，即③.
当时，，即、、成等差数列，
当时，④，即.所以为等差数列，即是否为的必要条件. ……………………………………………………………………………………………………10分
(3)由，可设，其中.
设的公差为，则，所以，
所以，
，所以的最大值为……………16分

A
B
C
DD
E
O

附加题答案
21. A、【证明】连结OC，所以∠OAC=∠OCA，又因为CA平分∠BAE，
所以∠OAC=∠EAC，于是∠EAC=∠OCA，所以OC//AD.
又因为DC是⊙O的切线，所以CD⊥OC， CD⊥AE………………… 10分
B．解：MN==，………………………………4分
设是曲线上任意一点，点在矩阵MN对应的变换下变为点，
则有，于是，.……………………………………8分
代入得，
所以曲线在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为………………………10分
C．圆的方程为 ；直线的方程为 .
故所求弦长为.…………………………………………………………………………10分
D．证明：由柯西不等式可得
…………………7分
又，所以.…………………10分
22. 解：取BC中点O，连AO，∵为正三角形，
∴，
∵在正三棱柱中，平面ABC平面,∴平面，
取中点为,以O为原点，,,的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.∴,
∵,.
∴，,∴面………………………………………………………5分（2）设平面的法向量为,。
，∴，∴，，令，得为平面的一个法向量，由（1）知面，
∴为平面的法向量，，
∴二面角的余弦值为……………………………………………………………………10分
23.（1）因为所以……………………………………………………1分
假设当时， ，则………………………………2分
那么，当时，有.
这就是说，当时，结论也成立.所以当时.…………………………………………5分
（2）当时，显然成立，
由（1）知，当时，得，
所以所以即
所以，以此类推，得，问题得证. …………10分