高等数学 第11章 微分方程习题详解.doc

第十一章 微分方程习题详解
第十一章 微分方程
习 题 11—1
1．判断下列方程是几阶微分方程？
（1） （2）
（3） （4）．
解 微分方程中所出现的未知函数导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有：
（1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程；
（3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程．
2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
解 （1）将代入所给微分方程的左边，得左边右边，故是微分方程的解．
（2）将，代入所给微分方程的左边，得
左边右边，
故是微分方程的解．
（3）将，，代入微分方程的左边，得
左边（右边），
故不是所给微分方程的解．
（4）对方程的两边关于求导，得 ，即 ．再对求导，得
，
即，故是所给微分方程的解．
3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件．
（1）， ；
（2），．
解 （1）将，代入微分方程，得

所以，所求函数为．
（2），将，分别代入
和，
得，，所以，所求函数为．
4．能否适当地选取常数，使函数成为方程的解．
解 因为，，所以为使函数成为方程 的解，只须满足，即．而，因此必有，即或，从而当，或时，函数均为方程的解．
5．消去下列各式中的任意常数，写出相应的微分方程．
（1） （2）
（3） （4）．
解 注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程．
（1）由两边对求导，得，代入原关系式，得所求的微分方程为．
（2）由两边对求导，得
，
即 ．而，故所求的微分方程为
，
化简得 ．
（3）由两边对求导，得 ，两边再对求导，得
，
可得所求的微分方程为．
（4）由两边对求导，得
，
将代，并化简得，对上式两边再对求导，得，故所求的微分方程为．

习 题 11—2
1．求下列微分方程的通解或特解：
（1） （2）
（3） （4）
（5）， （6），．
解 （1）分离变量，得，两端积分，得
，
即 ，所以原方程的通解为 ．
注 该等式中的与等本应写为与等，去绝对值符号时会出现号；但这些号可认为含于最后答案的任意常数中去了，这样书写比较简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理．
（2）原方程分离变量，得 ，两端积分，得
，
即 ，故原方程的通解为 ．
（3）原方程可化成 ，分离变量，得 ，两端积分，得
，
即 是原方程的通解．
（4）分离变量，得 ，两边积分，得
，
即 是原方程的通解．
（5）分离变量，得 ，两端积分，得
，
即 ．由定解条件，知
，即，
故所求特解为 ，即．
（6）将方程两边同除以，得 ，两端积分，得
，
积分后得 （其中），从而有
，
代入初始条件，得 ．因此，所求方程满足初始条件的特解为
，
即 ．
2．一曲线过点在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程．
解 设曲线的方程为，过点的切线与x轴和y轴的交点分别为及，则点就是该切线的中点．于是有
，即，且，
分离变量后，有 ，积分得
，
即 ．由定解条件，有，故 为所求的曲线．
3．一粒质量为20克的子弹以速度（米/秒）打进一块厚度为10厘米的木板，然后穿过木板以速度（米/秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比（比例系数为k），问子弹穿过木板的时间．
解 依题意有
，，
即 ，两端积分，得
（其中20克＝0.02千克），
代入定解条件，得，故有．
设子弹穿过木板的时间为秒，则

，
又已知时，米/秒，于是
，
从而，，为此有 ，所以
（秒），
故子弹穿过木板运动持续了（秒）．
4．求下列齐次方程的通解或特解：
（1） （2）
（3） （4）
（5）， （6）， ．
解 （1）原方程变形，得
，
令，即，有，则原方程可进一步化为
，
分离变量，得 ，两端积分得
，
即 ，将代入上式并整理，得原方程的通解为
．
（2）原方程变形，得
，即．
令，即，有，则原方程可进一步化为
，
即 ，两端积分，得 ，将代入并整理，得原方程的通解
（其中）．
（3）原方程变形，得
，即，
令，有，则原方程可进一步化为
，
即 ，两端积分，得
，
即 ，将代入上式并整理，得原方程的通解为
．
（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以为变量的函数，故令，即，有，则原方程可化为
，
整理并分离变量，得
，
两端积分，得
，
即 ．将 代入并整理，得原方程的通解为 ．
（5）原方程可化为
．
令，有，则原方程可进一步化为
，
即 ，两端积分，得 ，将代入，得
，
代入初始条件，得 ．因此，所求方程满足初始条件的特解为
．
（6）原方程可写成
．
令，即，有，则原方程成为
，
分离变量，得 ，两端积分，得
，
即 ，代入并整理，得通解
．
由初始条件，得．于是所求特解为
．
5．设有连结原点O和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围成图形的面积为，求曲线弧的方程．
解 设曲线弧的方程为，依题意有
y
x
O
1
1
A(1,1)
P(x, y)
x
y
y
，
上式两端对x求导，
，
即得微分方程
，
令，有，则微分方程可化为
，即，
积分得
，
因，故有
．
又因曲线过点，故．于是得曲线弧的方程是．
6．化下列方程为齐次方程，并求出通解：
（1）； （2）．
解 （1）原方程可写成
，
令，解得交点为，．作坐标平移变换，，有
，
所以原方程可进一步化为
（※）
这是齐次方程．
设，则，，于是（※）式可化为
，
即
，
变量分离，得
，
两端积分，得
，
即 ，将代入，得原方程的通解为
．
（2）原方程可写成
，
该方程属于类型，一般可令．
令，有，则原方程可化为
，
即 ，积分得
，
将代入上式，得原方程的通解为
．

习 题 11—3
1．求下列微分方程的通解：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
解 （1）

．
（2）原方程可化为
，
故通解为
．
（3）原方程可化为
，
故通解为

．
（4）所给方程的通解为

．
（5）方程可化为 ，即 ，故通解为

．
（6）．
2．求下列微分方程的特解：
（1），； （2），；
（3），．
解 （1）
，
代入初始条件，得．故所求特解为 ．
（2）
，
代入初始条件，得，故所求特解为
，
即 ．
（3）

，
代入初始条件，得，故所求特解为
．
3．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于．
解 设曲线方程为，依题意有，即．从而有

．
由，，得．故所求曲线的方程为
．
4．设曲线积分在右半平面（）内与路径无关，其中可导，且，求．
解 依题意及曲线积分与路径无关的条件，有
，
即 ．记，即得微分方程及初始条件为
，．
于是，

．
代入初始条件 ，得，从而有 ．
5．求下列伯努利方程的通解：
（1） （2）
（3） （4）．
解 （1）方程可以化为
．
令，则，即．代入方程，得，即
，
其通解为
，
所以原方程的通解为 ．
（2）原方程化为
．
令，则，即．代入方程，得，即
，
其通解为

．
所以原方程的通解为 ．
（3）原方程化为
．
令，则，于是原方程化为，其通解为

，
所以原方程的通解为 ．
（4）原方程化为
，即．
令，则，则原方程化为，其通解为

，
所以原方程的通解为 ，或写成
．

习 题 11—4
1．求下列全微分方程的通解：
（1） （2）
（3） （4）．
解 （1）易知，，．因为，所以原给定的方程为全微分方程．而

，
于是，所求方程的通解为 ．
（2）易知，，．因为
，
所以原给定的方程为全微分方程．而

，
于是，所求方程的通解为 ．
（3）易知，，．因为 ，原方程为全微分方程．将原方程的左端重新组合，得
，
于是，所求方程的通解为 ．
（4）原方程可化为
，
易知，，．因为 ，原方程为全微分方程．方程的左端重新组合，得
，
，
于是，所求方程的通解为 ．
2．用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：
（1） （2）．
解 （1）用乘方程，便得到了全微分方程
，
将方程左端重新组合，得
．
于是，通解为 ．
（2）原方程可化为
，
即，用乘方程，便得到了全微分方程
，
，
于是，原方程的通解为 ．
3．用积分因子法解下列一阶线性方程：
（1）； （2）．
解 （1）将原方程写成
，
此方程两端乘以后变成
，
即 ，两端积分，得
，
于是，原方程的通解为 ．
（2）方程两端乘以，则方程变为
，
即 ，两端积分，得
，
于是，原方程的通解为 ．

习 题 11—5
1．求下列微分方程的通解：
（1）； （2）； （3）．
解（1），
．
（2），
，
．
（作为最后的结果，这里也可以直接写成）．
（3）令，则有，可知，从而有
，
再逐次积分，即得原方程的通解
．
2．求下列微分方程的通解：
（1） （2）
（3） （4）．
解 （1）令，则，且原方程化为
．
利用一阶线性方程的求解公式，得

．
即，再积分，得通解
．
（2）令，则，且原方程化为
，
分离变量，得 ，积分得
，
即 ，再积分，得通解 ．
（3）令，则，且原方程化为
，
分离变量，得 ，积分得 ，故
，
再分离变量，得
．
由于，故上式两端积分，
，即，
两边平方，得
．
（4）令，则，且原方程化为，即
．
若，则．是原方程的解，但不是通解．
若，由于的连续性，必在的某区间有．于是
，
分离变量，得 ，积分得
，
即，亦即 ．积分得
．
即 ，也可写成
．
由于当时，，故前面所得的解也包含在这个通解之内．
3．求下列初值问题的解：
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，．
解 （1）易知，，．
由初值条件，知，得；由，知，得．故特解为
．
（2）令，则，且原方程化为
，
变量分离，得 ，两端积分，得 ．再两端积分，得
．
由初值条件，有，解得，，由初值条件，有
，
解得，，故所给初值条件的微分方程的特解为 ．
（3）令，则，且原方程化为
，即，
两端积分得
．
代入初始条件，，得 ，从而
，即，
亦即 ．分离变量后积分
，
即 ，得
，
代入初始条件，得．于是，符合所给初值条件的特解为
，
即 ．
（4）令，则，且原方程化为
，
分离变量，得 ，两端积分，得
，
代入初始条件，，得 ．从而，
，即，
再分离变量，得
，即．
两端积分，得，代入初始条件，得，从而有满足所给初始条件的特解为
，即，
或写成 ．
4．试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线．
解 由于直线在处的切线斜率为，依题设知，所求积分曲线是初值问题
，，
的解．由，积分得，再积分，得
，
代入初始条件，，解得 ，，于是所求积分曲线的方程为
．
5．对任意的，曲线上的点处的切线在轴上的截距等于
，
且存在二阶导数，求的表达式．
解 设曲线的方程为，其中有二阶导数，则在点处的切线方程为
，
令，知切线在轴上的截距为，据题意，有
，即．
两端求导，得
，
即，已知，故有
，
令，则，且原方程化为
，
分离变量，得，两端积分，得
，即．
再对两端积分，得
，即．

习 题 11—6
1．下列函数组中，在定义的区间内，哪些是线性无关的．
（1）， （2），
（3）， （4），．
解 （1）因为，满足：
常数，
所以函数组，是线性无关的．
（2）因为，满足：
，
所以函数组，是线性相关的．
（3）因为，满足：
常数，
所以函数组，是线性无关的．
（4）因为，满足：
常数，
所以函数组，是线性无关的．

2．验证及都是方程的解，并写出该方程的通解．
证明 由，得，；
由，得，．
可见，
，
故及都是方程的解．
又因为常数，故与线性无关．于是所给方程的通解为
．
3．验证及都是微分方程的解，并写出该方程的通解．
证明 由，得，；
由，得，．
因为
；
，
所以及都是方程的解．
又因为常数，故与线性无关，于是所给方程的通解为
．

4．若，，都是方程

的特解，当，，都是连续函数时，求此方程的通解．
解 因为，，所以及都是方程对应齐次方程的特解．又因为常数，所以与线性无关．因此，所给方程的通解为
．

习 题 11—7
1．求下列微分方程的通解．
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）．
解 （1）所给方程对应的特征方程为，解之，得，，所以原方程的通解为
．
（2）所给方程对应的特征方程为解之，得，，所以原方程的通解为
．
（3）所给方程对应的特征方程为解之，得 ，所以原方程的通解为
．
（4）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，，所以原方程的通解为
．
（5）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，，所以原方程的通解为
．
（6）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，，所以原方程的通解为
．

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解 （1）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，，所以原方程的通解为
，
从而，，代入初始条件，得

解得 故所求特解为
．
（2）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，所以原方程的通解为
，
从而，
，
代入初始条件，得

解得， 故所求特解为
．
（3）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，所以原方程的通解为
，
从而，，代入初始条件，得

解得， 故所求特解为
．
（4）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，所以原方程的通解为
，
从而，，代入初始条件，得

解得 故所求特解为
．

3．设圆柱形浮筒，直径为0.5米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2秒，求浮筒的质量．
解 设x轴的正向铅直向下，原点在水面处．平衡状态下浮筒上一点A在水平面处，又设在时刻t，点A的位置为，此时它受到的恢复力的大小为（是浮筒的半径），恢复力的方向与位移方向相反，故有
，
其中m是浮筒的质量．
记，则得微分方程．其对应的特征方程为，解得，故
，，．
由于振动周期，故，即 ，从中解出浮筒的质量为
（千克）．

习 题 11—8
1．求下列微分方程的特解的形式（不必求出待定系数）．
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）．
解 （1）属于型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为．易知，不是特征方程的根，所以特解的形式为
（这里A、B和C为待定系数）．
（2）属于型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为．易知，是特征方程的一个单根，所以特解的形式为
（这里A和B为待定系数）．
（3）属于型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为，易知，是特征方程的二重根，所以特解的形式为
（其中A为待定系数）．
（4）属于型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为，易知，是特征方程的一个单根，所以特解的形式为
（其中A为待定系数）．
（5）属于型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为，易知，是特征方程的一个单根，所以特解的形式为
（其中A和B为待定系数）．
（6）是型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为，易知，是不是特征方程的根，所以特解的形式为
（其中A、B和C为待定系数）．
（7）属于型（其中，，，）．对应齐次方程的特征方程为，易知，不是特征方程的根，所以应设其特解为
（其中A、B为待定系数）．
（8）属于型（其中，，，）．对应齐次方程的特征方程为，易知，是特征方程的根，所以应设其特解为
（其中A和B为待定系数）．
（9）由属于型（其中，，，），对应齐次方程的特征方程为，易知，不是特征方程的根，所以应设其特解为
（其中A、B、C和D为待定系数）．
（10）属于型（其中，，，）．对应齐次方程的特征方程为，易知，是特征方程的根，所以应设其特解为
（其中A、B、C和D为待定系数）．

2．求下列各微分方程的通解．
（1） （2）
（3） （4）．
解 （1）是型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为，解得 ，，故对应齐次方程的通解为
．
因为不是特征方程的根，所以特解的形式为，代入原方程得
．
消去，有，即 ，故原方程的通解为
．
（2）是型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为 ，解得 ，，故对应齐次方程的通解为
．
因为是特征方程的单根，所以特解的形式为
，
代入原方程并消去，得
．
比较系数，得，，即 ，故原方程的通解为
．
（3）是型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为 ，解得 ，故对应齐次方程的通解为
．
因为是特征方程的二重根，所以特解的形式为
，
代入原方程并消去，得．比较系数，得，，即
，
故原方程的通解为
．
（4）原方程对应的齐次方程的特征方程为，解得，故对应齐次方程的通解为
．
因，对应于方程，可设特解为；对应于方程（是特征方程的根）可设特解为，故由叠加原理，设原方程的特解为
，
代入原方程，得
，
比较系数，得，，，即 ，故原方程的通解为
．

3．已知函数所确定的曲线与轴相切于原点，且满足，
试求．
解 显然函数满足初值条件：
，，，
可解得方程的通解为
．
由定解条件，，有解得 所求的曲线为
．

4．设函数连续，且满足，求．
解 由于函数连续，故可导，从而有
，
，
．
于是，有初值问题：，，．可解得方程的通解为
．
由定解条件，，可解得，故所求的函数为
．

习 题 11—9
1．对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型．
（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术人数成正比，推广是无限的；
（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低；
（3）在（2）的前提下考虑广告媒体的传播作用．
解 设时刻采用新技术的人数为．
（1）指数模型：．
（2）Logistic模型：，为总人数．
（3）广告等媒介在早期作用比较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有
．
（2）和（3）的区别见下图．

（3）

（3）
（2）
（2）

2．侦察机搜索潜艇．设t＝0时艇在O点，飞机在A点，OA＝6里．此时艇潜入水中并沿着飞机不知道的某一方向以直线形式逃去，艇速20里/时，飞机以速度40里/小时按照待定的航线搜索潜艇，当且仅当飞到艇的正上方时才可发现它．
（1）以O点为原点建立极坐标系，A点位于的向径上，见右图．分析图中由P、Q、R组成的小三角形，证明在有限时间内飞机一定可以搜索到潜艇的航线，是先从A点沿直线飞到某点，再从沿一条对数螺线飞行一周，而是一个圆周上的任一点．给出对数螺线的表达式，并画出一条给出对数螺线的表达式，并画出一条航线的示意图；

（2）为了使整条航线是光滑的，直线段应与对数螺线在点相切，找出这条光滑的航线；
（3）在所有一定可以发现潜艇的航线中哪一条航线最短，长度是多少，光滑航线的长度又是多少？
解 （1）证明 记飞机速度40里/小时，艇速20里/时．设是所求航线上的一段，即当潜艇沿航行时飞机、潜艇在相遇（图1），那么当潜艇沿航行时，二者必在相遇，记弧长为，则，注意到，即可得到，这是一条对数螺线，是满足的任意一点的坐标，而位于以为圆心、半径为4里的圆周上．
飞机从沿直线飞至，再沿螺线飞行，最远飞行一圈至，总能发现潜艇（图2中实线为飞机航线，虚线为潜艇航线）．

图 2
图 1

（2）考察对数螺线上任一点的切线与该点的向径夹角（图3），有，对于，夹角，而螺线起始点所在的圆周上只有点使与的夹角也是（图4），所以沿的航线是光滑的．

图 3

6

图 4

（3）一定可以发现潜艇的航线是，直线段加上螺线一圈（图2）．显然最短的航线是取点为（2，0），沿螺线飞行至点．点的向径即为潜艇的航程，因为，故飞机最短航线的长度为里．
同理，光滑航线的长度为里．
如果计算螺线的长度，则需代入求积分．

复习题A
1．填空题
（1）已知及是微分方程的解（其中、都是已知的连续函数）则该方程的通解为____________；
（2）若曲线过点，且曲线上任意一点处的切线的斜率为，则____________；
（3）微分方程的特解的形式为______________；
（4）若，，都是微分方程的解（其中，，都是已知的连续函数），则此微分方程的通解为________．
解 （1）因为与线性无关，所以所求通解为；
（2）因为，所以

，
由定解条件，知，故有
．
（3）是型（其中，，），对应齐次方程的特征方程为
．
易知，是特征方程的二重根，所以特解的形式为
（这里A和B为待定系数）．
（4）因为，都是对应齐次方程的解，并且线性无关，故对应齐次方程的通解为
，
取所给方程的一个特解为，于是所给方程的通解为
．

2．选择题
（1）函数(、为任意常数）是方程的（ ）．
（A）通解； （B）特解；
（C）不是解； （D）是解，既不是通解，又不是特解．
（2）方程是（ ）．
（A）一阶线性齐次方程； （B）一阶线性非齐次方程；
（C）齐次方程； （D）可分离变量的方程．
（3）下列微分方程中，具有特解，，的三阶常系数齐次线性微分方程是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）．
（4）微分方程的一个特解应具有形式（式、为常数）（ ）．
（A） （B） （C） （D）．
解 （1）因为，它实际只含有一个任意常数，所以它既不是通解，又不是特解．而满足所给方程，所以是所给方程的解．应选（D）．
（2）方程可变形为
，
它是典型的齐次方程，故选（C）．
（3）由于，，可知，是特征方程的二重根且．于是所给方程对应的齐次方程的特征方程为
，
故所求的微分方程应为
．
本题应选（B）．
（4）原方程对应的齐次方程的特征方程的根为．相对于方程，因，是特征方程的（单）根，故该方程的特解应形如．
又相对于方程，因，不是特征方程的根，故该方程的特解应形如．
按微分方程解的叠加原理，原方程的特解应形如
．
本题应选（B）．

3．求下列微分方程的通解：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）．
解 （1）所给方程可以化为
，
令，则，．方程就化成线性方程：
．
其通解为
．
因此，原方程的通解为 ．
（2）原方程可以化为
，
解此线性方程，有通解

．
（3）令，则，从而方程可化为
，
解得，
．
故原方程的通解为 ．
（4）原方程可化为
，
或
，
令，则，代入有，解得
．
故原方程的通解 ．
（5）由于，故原方程可表示为
，
即 ．所以原方程的通解为 ．
（6）原方程对应的齐次方程的特征方程为，有根，，，故对应齐次方程的通解为．
对于方程，因，其中是特征方程的（单）根，故可令其特解为，代入方程中并消去，得
，
比较系数得
解得
于是有．
对于方程，因，其中是特征方程的（单）根，故可令其特解为，代入方程中，得
，
比较系数得
解得
于是有．
根据线性方程解的叠加原理得原方程的特解，故原方程的通解为
．

4．求下列微分方程满足初值条件的特解：
（1），；
（2），，；
（3），，；
（4）,,．
解 （1）所给方程可以化为
，即．
令，则，即，代入上面的方程，有
，
解得此线性方程的通解为
，
即 ．由定解条件，可得，所求的特解为
，即．
（2）令，则，代入原方程有
，即，
积分得
，或，
即 ，将初值条件代入上式，可得，从而有
，
再积分，得．将初值条件代入上式，可得，故满足初值条件的特解为．
（3）令，，代入原方程，得
，即．
积分得
．
将初值条件，代入上式，可解得．从而有
，即，
分离变量，得 ，两端积分，得
，或．
将初值条件代入上式，可解得，故满足初值条件的特解为
，或．
（4）属于型（其中，，，）．对应齐次方程的特征方程为，解得，对应齐次方程的通解为
，
因为不是特征方程的根，所以可设其特解为
．
从而有，，代入原方程，得
，
即 ，比较系数，得
，，
故 ．
因此，原方程的通解为
，
从而，将初值条件,代入以上两式，得

解得，．于是满足初始条件的特解为 ．

5．设可导函数满足，求函数．
解 对所给的等式两边求导，得
，
即 ，且有．故

．
由初值条件，有，故所求的特解为 ．

6．求下列欧拉方程的通解．
（1）； （2）．
解 （1）设，即，则有
，，
代入方程，有
，
即 ，有通解 ．
（2）设，即，则有
，，
代入方程，有
，
即 ，对应齐次方程的通解为
，
由于自由项中，不是特征方程的根，故令特解为，代入方程后，求出．故所给方程的通解为
．

复习题B
1．填空题
（1）微分方程的通解为____________；
（2）微分方程的通解为____________；
（3）设（、为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该微分方程为____________；
（4）过点且满足关系式的曲线方程为__________．
解 （1）此方程对应的齐次方程的特征方程为，其根为．又因自由项，是特征方程的单根，故令是原方程的特解，代入原方程可得，于是原方程的通解为 ．
（2）原方程可变形为 ，两端积分，得
，
即 ，故所给方程的通解为
，（其中）．
（3）由所给通解的表达式知，是所求微分方程的特征方程的根，于是特征方程为，故所求微分方程为 ．
（4）将所给关系式改写成
，
由一阶线性微分方程的通解公式，得
，
即 ，代入初始条件，，得，故所求曲线的方程为
．
2．选择题
（1）设线性无关的函数，，都是二阶非齐次方程的解，、为任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）．
（2）设是微分方程的解，且，则在（ ）．
（A）的某邻域内单调增加； （B）的某邻域内单调减少；
（C）处取得极小值； （D）处取得极大值．
（3）设曲线积分与积分路径无关，其中具有一阶连续导数，且，则等于（ ）．
（A） （B）
（C） （D）．
解 （1）因与是对应的齐次方程的解，且由，，线性无关可推知与线性无关，而是非齐次方程的特解，故

是非齐次方程的通解．所以本题应选（D）．
（2）因，即是的驻点，又因为是微分方程的解，故有
．
这说明是的极小值点，所以本题应选（C）．
（3）由曲线积分与路径无关的充要条件，可得微分方程
，
其通解为
．
由可得，于是，故本题应选（B）．

3．求微分方程满足初始条件的特解．
解法一 用伯努利方程的解法，将原方程化为
，
令，则，且原方程可化为
，
解得

，
即原方程的通解为
．
由，得，故所求特解为 ．

解法二 将原方程化为
，即．
令，即，则，原方程进一步化为
．
分离变量后积分
．
得 ．代入，得原方程的通解为
．
由，得，故所求特解为 ，即 ．

4．设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解．
解 将代入原方程，可得
，即．
于是，原方程可化为
，
当时，消去得，于是，通解

．
由初始条件，得，即，故所求特解为 ．

5．设，其中为连续函数，求．
解 因，代入，得，且
，
即，代入，得．又．记，则有初值问题

上述微分方程对应的齐次方程的特征方程有根，而自由项为
，
故，，而是特征方程的根，从而可令原方程的一个特解为
，
代入微分方程并比较系数，得，，即．于是得通解
，
且．由，得
即
故 ．
6．求微分方程的通解，其中为实数．
解 原方程对应的齐次方程的特征方程为，解得，故齐次方程的通解为
．
对于自由项，当时，可令原方程的一个特解为
，
代入原方程，可得，即；当时，可令原方程的一个特解为
，
代入原方程，可得，即．故原方程的通解为

y
O
x
A
B
－1
1
7．设物体A从点出发，以常速率沿轴正向运动，物体B从点与A同时出发，其速率为，方向始终指向A．试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件．
解 设物体B的运动轨迹的方程为 ，且在时刻t，
物体B位于点处，此时物体A位于点．按题意，
则如右图所示，有
，
即
（1）
又此刻，物体B从点行至的路程为
（2）
由（1）式与（2）式消去，得．两端对x求导，得
，
即 ．初始条件为 ，．

8．在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的．设该人群的总人数为N，在时刻已掌握新技术的人数为，在任意时刻已掌握新技术的人数为（将视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数，求．
解 根据题意，可得初值问题
，．
分离变量得
，
两端分别从到和从0到积分，得初值问题的解：
，
左端为
，
由 解得
．
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