一阶系统的微分方程.doc

2-12 试分析几种简单系统（对象）的数学模型，以说明它们之间的相似性。
    ⑴水力系统； ⑵电系统；
    ⑶机械系统； ⑷传热系统；
    ⑸气动阻容组件； ⑹溶液制备系统。
    解 ⑴图2-9表示一个水槽，假定水槽的截面积为A ，输出阀的线性阻力系数为R ，则根据物料平衡有：

    式中V 表示水槽内水的蓄存量， 。另外，经过线性化后 与h 成线性关系，即
，将 v与 代入原始方程并整理后有：

    令T=RA,K=R，则有：
    其相应的传递函数为：

          图2-9 水槽                      图2-10 RC电路        图2-11 弹簧阻尼器系统
    ⑵图2-10是一 电路，根据基本电路定律有：

    两式联立，可得：
    令T=RC ，则上式可写为：
    其相应的传递函数为：
    ⑶图2-11所示这一弹簧阻尼器系统。在弹簧的上端有一位多 ，其下端就会有一位移 。
    由于弹簧所受的力与变形成正比，故有：F=k(x-y)
    式中F为力， 为弹簧的刚度。
    对于阻尼器来说，假设其产生的摩擦力与运动速度成正比，有：

    式中 为阻尼器的粘性摩擦系数。
    由于作用在阻尼器上的力与作用在弹簧上的力是相等的，所以有：

    可写成：
    其相应的传递函数为

    如果令，则：

    ⑷图2-12所示为一水银温度计。为了建立温度计的测量值与被测温度之间的数学模型，我们忽略温度计玻璃本身的热容，只考虑温度计内水银的热容。水银具有的热量Q为：Q=McT
    式中 M——水银的重量；
         c——水银的比热容。
    单位时间由周围环境（温度为 ）传给水银温度计的热量应该等水银内蓄存热量的变化率，因此可写成下列式子：

    式中 a——水银温度计的等效导热系数；
         F——水银温度计的外表面积。
    上述方程式可改写为：

    如令 ，则有：
    其相应有传递函数G(s)为：
            图2-12 水银温度计

    ⑸图2-13所示为一气动阻容组件，由一个气阻R与一个气容C组成。当输入压力 增加时，气体将通过气阻慢慢进入气室，使气室内的压力也逐渐增加，直至为止。
    当气压变化不大，气流气量不大时，通过气阻的气流量将与气阻两端的压差成正比，即：

    式中 R——气阻值； 图2-13 气动阻容组件
         G——通过气阻的气体质量流
    由于气体进入气室，将使气室中的气体密度增加，根据物料平衡，单位时间进入气容的气体量应该等于气室中气体蓄存量的变化率，即：
                （2-2）
    式中 V——气室体积；
         P——气室内气体密度。
    因为气体压力不高，气室中的气体可近似看做理想气体，故符合理想气体状态方程，即：
                （2-3）
    式中 n——气室中气体分子的摩尔数；
        ——通过气体常数；
        ——气室中气体的绝对温度；
        ——气室中气体的绝对压力。
    气室中气体密度等于单位体积中的气体质量，即：

    式中 M——气室中气体的平均分子量。
    将式（2-3）代入上式并求导得：
        （2-4）
    将式（2-4）和式（2-1）同时代入式（2-2），可得：

    或
    令 ，则有： （2-5）
    式中T ——时间常数。
    ⑹图2-14所示为一溶液制备槽。 x为单位时间加入的溶质量， q为单位时间加入的溶剂量。槽中溶液由溢流管引出，因此槽中的溶液体积为一常数 。考虑到加入的溶擀很少，故流出量等于溶剂的加入量 由于搅拌均匀，故流出液的浓度等于槽中溶液浓度c ，而流入液的浓度假设为0。根据物料平衡，单位时间进入槽中的溶质量减去单位时间流出槽的溶质量应该等于槽中溶质蓄存量的变化率，因此有：

     （2-6）
    如果流入流出量 q为一常数，且令：

    则有：
    式中 T——时间常数；
         K——放大系数。
图2-14 溶液制备槽
    以上通过机理推导的方法分别建立了六个系统（或对象）的数学模型。尽管这些系统的物理过程很不相同，但导得的数学模型却是惊人的相似。如果以 x表示输入的变化量，y 表示输出的变化量，则描述x,y 之间的关系的都是一阶微分方程式，即：

    其传递函数亦具有相同的形式，即：

    这是一个典型的一阶惯性环节。
    由于各种物理过程的相似性，所以给系统的模拟与仿真提供了方便与可能。同时，通过建立数学模型，也有得于进行系统的研究和分析。
2-13 图2-16是一个有源四端网络，试建立网络的下列形式的数学模型。
    ⑴微分方程式；
    ⑵传递函数；
图2-16 有源四端网络
    解：⑴要建立该网络的微分方程数学模型，一般应按下列步骤进行。
    ①根据题意，确定模型输入、输出变量。本例可选 为输入变量，电阻R上的压降 作为输出变量，目的是要建立起能够描述变化时， 是如何变化的数学模型。
    ②根据基本的物理、化学规律列写原始方程式。本列中可根据电路基本规律列写下列方程：
    （2-12）
    （2-13）
    （2-14）
    ③消去中间变量，使方程式中只含输入变量与输出变量。本例中就要设法消去中间变量 ，使方程式中只含 与 ，消中间变量的步骤可以这样进行，先由式（2-12）、式（2-13）消去 得：
    （2-16）
    由式（2-13）求导，可得：

    将式（2-14）代入上式可得

    求导可得： （2-17）
    将式（2-17）代入（2-16），可得

    将式（2-15）代入上式并整理可得：
（2-18）
    式（2-18）就是描述 与 关系的微分方程式。
    ⑵为了求得输入输出之间的传递函数，可以将式（2-18）在零初始条件下两取拉氏变换，可得：

    式中 分别为 的位氏变换。于是可得传递函数为：
    （2-19）
    为了避免推导微分方程式中消去中间变量的繁琐过程，可以通过画方块图的方法直接求出输入输出之间的传递函数，为此，将四个原始方程式（2-12）、式（2-13）、式（2-14）、式（2-15）分别在零初始条件下取拉氏变换，得：
    （2-20）
    （2-21）
    （2-22）
    （2-23）

    根据上述四个方程，可以分别画出其方块图如图2-17（a）、(b)、(c)、(d)所示。然后根据信号的传递关系将图2-17中的各方块用信号线连接起来，便成为整个网络的方块图，如图2-18