数列知识点归纳.doc
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数列 一、等差数列性质总结 1. 等差数列的定义式:(d为常数)(); 2.等差数列通项公式: , 首项:,公差:d 推广: . 从而; 3.等差中项 (1)如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:或 (2)等差中项:数列是等差数列 4.等差数列的前n项和公式: (其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数时,是项数为2n-1的等差数列的中间项 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若或(常数) 是等差数列. (2) 等差中项:数列是等差数列. (3) 数列是等差数列(其中是常数)。 (4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若或(常数) 是等差数列 等差中项性质法:. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、、、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项 ②奇数个数成等差,可设为…,…(公差为); ③偶数个数成等差,可设为…,,…(注意;公差为2) 8.等差数列的性质: (1)当公差时, 等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差; 前和是关于的二次函数且常数项为0. (2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。 (3)当时,则有,特别地,当时,则有. (4)若、为等差数列,则都为等差数列,其中 (5) 若{}是等差数列,则 ,…也成等差数列 (6)数列为等差数列,每隔k (k)项取出一项()仍为等差数列 (7)设数列是等差数列,d为公差,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和 当项数为偶数时,则 当项数为奇数时,则 (其中是项数为2n-1的等差数列的中间项). (8)、的前和分别为、,则. (9)等差数列的前n项和,前m项和,则前m+n项和 则 (10) 求的最值 法一:因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性。 法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和 即当 由可得达到最大值时的值. (2) “首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。 即 当 由可得达到最小值时的值. 或求中正负分界项 注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于和的方程; ②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量. 二、等比数列性质总结 1、等比数列的定义: , 注意:(1).公比一定是由后项比前项(相邻的两项)所得,而不能用前项比后项来求; (2).由公比知,等比数列{}中的每一项都不为零; (3). 在等比数列中, 当,q >1时,数列是递增数列; 当,,数列是递增数列; 当,时,数列是递减数列; 当,q >1时,数列是递减数列; 当时,数列是常数列; 当时,数列是摆动数列. (4)若一个数列既为等差数列又为等比数列为非零常数列. (5)等比数列的奇数项的符号相同;偶数项的符号相同. 2、等比数列的通项公式: 推广为: 注意:(1)等比数列的计算问题中,首项和公比是基本量; (2) 有以下几种方法可以计算公比 ① ② ③ 其中,若公式②③中的指数,为偶数,开方求公比,要根据题意选取正确的符号。 3、等比中项:若,,是等比数列,则叫做与的等比中项. 由等比数列的定义可知:. 注意:(1)同号;也是的等比中项;均为非零常数; (2)任意两数的等比中项不一定存在且不唯一;所以,是,,成等比数列的必要非充分条件; 4、等比数列的性质: (1) 下标和性质:下标和相等,则对应项的积相等; 使用条件:等式两边项的个数相同,且项数之和相同. 在等比数列, ① 若且,则;反之是否成立?No! 若,则成立吗? NO! 若,则成立吗? YES! ② 从等比数列中抽取等距离(即下标成等差)的项组成的新数列仍是等比数列,如:; (2) ①若是以为公比的等比数列,则数列,,等也为等比数列,公比分别为,但不一定是等比数列. ② 若数列、为项数相同的等比数列,则也是等比数列. 5、等比数列的判定方法: (1) 定义法:对于任意,验证为同一常数; (2) 等比中项法:验证成立; (3) 通项公式法:验证,其中都为非零常数, . 6、等比数列设元技巧: (1)三数成等比:设三数为; (2)四个同符号的数成等比:设四数为 7、等比数列前项和公式: 注意: (1) 等比数列前项和公式要注意分和两种情况; (2) 等比数列的通项公式与前项和公式共涉及5个量,,,,,知道其中任意3个量就可求出另外2个量,注意前提条件是; 8、等比数列前项和的的性质: 公比不为-1的等比数列的依次项之和构成的新数列仍为等比数列,如:,,, . 9、等比数列前项和的函数特性:当时,等比数列的前项和公式,其中; 数列为非常值等比数列的充要条件是. 10、等差数列与等比数列间的联系 (1)若是各项为正的等比数列,则是等差数列(); (2)若是等差数列,则是等比数列() 11、等差数列与等比数列的类比 等差数列 等比数列 加法 乘法 减法 除法 乘法 乘方 除法 开方 0 1 三、递推数列求通项 类型1 解法:把原递推公式转化为,利用累加法求解。 类型2 解法:把原递推公式转化为,利用累乘法求解。 类型3 (其中均为常数,)。 解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。 类型4 递推公式为与的关系式(或). 解法:这种类型一般利用 与消去 或与消去进行求解。 四、数列求和 在解数列求和问题时,要注意观察所给数列的通项,由通项形式上的特点来选取合适的方法进行解答,也要注意分类讨论思想的运用。 第1类:错位相减法(等差等比) 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列的前n项和,其中,分别是等差数列和等比数列。 第2类:裂项相消法 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)裂成两项(或若干项),使之按某规律组合后,能消去若干项,最终达到求和的目的,通项一般可分解(裂项)如: 1、乘积形式,如: 2、根式形式,如: 第3类:分组求和法(等差等比) 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列通项适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将每组的和合并即可。 五、数列极限 定义:一般地,如果当项数无限增大时,无穷数列的项无限趋近于某个常数(即无限趋近于),那么就说数列以为极限.记作. 注:(1)不是所有无穷数列都有极限,但如果有极限,则必是一个唯一确定的常数; (2)改变数列的有限项,不会影响数列的极限存在性. 2、几个常用的数列极限: (1)C= (C为常数); (2)= ; (3) 3、数列极限的四则运算法则: 如果,,那么 ; ; 特别地,如果是常数,那么, 注:(1)运算法则使用的前提:1)、每一个已知数列都存在极限;2)、这些数列的个数必须是有限的。 (2)上述结论可推广到有限个数列的情形; (3)数列极限的运算性质的实质:四则运算与极限运算可交换. 4. 常见数列极限类型及求法: 类型1:分式型 ,其中 f(n),g(n) 都是关于 n 的多项式 方法:分子,分母同除以 n 的最高次幂,再利用 结论: 类型2:指数型数列极限 方法:分子,分母同除以绝对值最大的底数的 n 次方,再利用, 类型3、和(积)式型(由于有无穷多项,所以无法用数列极限的四则运算法则) 方法:对无穷多项的和(或积)求极限一般采用先化简即求和(或积)再求极限 类型4:根式型 方法:分子,分母有理化,再利用 5、当,无穷等比数列存在各项和: - 6 -- 配套讲稿:
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