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函数思想在解题中的应用
化育中学 张萍

摘要：函数思想就是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：函数的单调性、奇偶性、周期性、连续性、最大值和最小值、图像变换等。挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和巧妙运用函数的性质，这是函数思想应用的关键。
关键词：函数思想；解题；构造函数
函数是指两个变量x，y之间有一定的关系，相对于x的变域中的各个值，y均有一个值与之对应，确定了这一原则，就称定义出了x的函数y。
所谓函数思想是指一种考虑对应的、运动变化的、相依的关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过度到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系，函数思想就是构造函数从而利用函数的性质解题。
函数思想的应用特点是函数思想可以看成是运用运动变化和集合对应的观点去分析和研究问题中的熟练关系、建立函数模型并应用函数的性质求解函数模型从而使问题获得解决的一种思想。函数思想是构造函数（规定思想）从而利用函数的性质（已知、未知、规定思想）解题。经常利用的性质是：函数的单调性、奇偶性、周期性、连续性、最大值和最小值、图像变换等。
函数思想在数列中的应用
例1：设都是正数，证明对任意正整数n，下面的不等式成立：.
证明：下面的不等式对任意的 ：
，
即：.
构造二次函数.
，
得.
注意：本题是柯西不等式的一个特例，还有其他的证法，但是唯有辅助函数法是最简捷的、最透彻的证法。
以上例子，我们可以看到，在解题时要从各种复杂的函数中划分出基本函数类，这些基本函数是最常见的 、最有用的、最基本的函数，研究和总结基本函数图象、性质及其解题的模式（方法），然后把实际问题或者其他复杂函数规划为基本函数来解决，这就是基本函数模型方法。
函数思想在不等式中的应用

例2：求使不等式2x—1>m对于的一切实数m都成立的x的取值范围。
分析：我们习惯把x当作自变量，构造函数，于是问题转化为：当时，y<0恒成立，求x的取值范围.解决这个等价问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的。
如果把m看作自变量，x视为参数，构造函数，则y是m的一次函数，就非常简单，既令.函数的图象是一条线段，要使<0恒成立，当且仅当，解这个不等式组即可求得x的取值范围是。本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它划归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的。
解：构造函数，

本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它划归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的。这是利用变量相对的观点来构造辅助函数的，从中可以看到数学的自由思考的特点。
函数思想在初等数学中的应用
正数满.
证明：令

又

即
本题直接看上去与函数没有多大关系,但我们利用所给的条件构造出
一个函数,再应用函数的性质进行讨论求解,就使问题显得十分简单了,除此还可以运用函数的对称性,奇偶性,周期性,连续性,而这些往往是解题的关键所在.
函数思想在几何中的应用
回顾数学发展的历史,法国数学家笛卡儿就曾提出过所谓“万能方法”,这种方法就是把函数思想应用到几何中去.首先,把几何问题转化为代数问题,再把代数问题归结为函数问。
已知双曲线以两条坐标轴为对称轴,焦点在Y轴上.它的实轴长为又这双曲线上任意一点到定点的最短距离为,求该双曲线离心率的取值范围。
解：设双曲线方程为.

的最小值为
因此

而其中知
故即
解题的首要环节是以点P的坐标为变量建立||PM的函数表达式,并用b,sinθ表示其最小值,而后由题设可建立b和sinθ之间的关系式,把离心率e表示成b或sinθ的函数,研究它的取值范围。
函数思想在高等数学中的应用
实际上,函数思想自始至终贯穿在高等数学的教材中.很好的掌握函数思想,用函数的方法来解决高等数学中的一些问题,往往可以起到良好的效果.运用函数的方法,引入辅助函数,化静为动,化离散为连续,将所讨论的问题转化为函数的问题加以解决,从而在更“一般”的角度上来解决“特殊”问题.这也正说明了用函数的思想来解决问题,探索数学世界发展规律的现实意义.在初等数学中主要是应用函数的基本性质,而在高等数学中主要应用的是连续性,可微性,可积性等解析性质,这就需要我们从实际问题中找到对应函数并灵活运用这些性质
已知，且的值
解：，
即
而
故.
本题通过对已知函数变形构造奇函数来达到求值的目的。
函数思想在数学建模中的应用
数学建模就是对复杂现象进行分析,用数学语言来描述其中的关系或规律,抽象出恰当的数学关系,把这种关系用函数思想表达出来,这样以来就把实际问题转化成了函数问题,再运用函数的各种性质进而得解.下文从函数思想在日常生活,社会工作及投资理财三个方面的应用进行分析.
如何预报人口的增长？
说明：我们清楚在人口增长的问题中,应用函数思想,转换成以时间（年月日）为变量的函数关系问题,计算得出离散的数据.但要清楚地预测,离散的模型是不十分明确的,这时我们要用连续函数来解决这种局限性.
预报人口的增长常用的离散函数公式：
设：今年的人口为,年增长率为r
则k年后的人口为但用连续函数后成为这样公式：
设：人口增长率r是常数，是t时刻的人口，
有

可见,下一公式比上一公式更能体现精确性.所以在社会工作中应用函数思想解决实际问题时,要根据工作的需要选择合适的函数关系,才能得出精确的答案。上述例子来自于日常生活，其背景我们都非常熟悉，从中我们能学会数学发现与探索的一般方法，体验数学建模的过程。
结束语
对于简单的题目，我们可以把封闭的题目改编成开放的题，如让学生根据所给的两个条件补一个题目，或给一个条件和题目，让学生补上另一个条件。这个范围所蕴含的思想就是函数中的定义域和值域。我们看到这种开放不是简单形式上的开放，而是建立在函数思想上的有目的的开放。函数思想的应用还体现在个领域。比如在与其他的数学思想方法的结合中、在解析几何学的研究中、在空间与图形的领域中、在物理上各种运动曲线中都应用了函数的思想。

参考文献：
[1]权平健一郎 神原武志。《函数在你身边》。科学出版社，1995（15）：12-13
[2]石学凯。函数思想 常放光芒——谈谈“函数思想”在解题中的应用。
数学教学通讯，2004-05-05.期刊：1-2
[3]李吉宝。有关函数概念教学的若干问题。数学教育学报，2003-05-25期刊1-2.
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Function in the application of problem solving ideas
Zhang Ping
(School of Mathematics and Information , China West Normal University)
Functions thoughts is the constructor of the nature of the problem solving, often used are: the nature of monotonicity of function, parity and periodicity, continuity, the maximum and the minimum, image transformation, etc. Mining implied in the topic condition, constructs the function analytical type and the nature of the clever apply function, it is the key to the application function thought.
Key words : Function thought; solve problems; The constructor