高中数学必修一函数概念定义域值域-教学方案.doc

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函数的概念
函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的函数，记作， xA
其中叫自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合（B）叫做函数y=f(x)的值域.

对函数概念的理解需注意以下几点：
①函数首先是两个数集之间建立的对应，A、B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。
②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应
③认真理解的含义：是一个整体，并不表示f与x的乘积，它是一种符号，它可以是解析式，也可以是图像，也可以是表格
④函数符号表示“y是x的函数”，有时简记作函数.
【例1】判断下列对应能否表示y是x的函数：
（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。

【练1】判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
x
y
0
(A)
x
y
0
(D)
x
y
0
(C))
x
y
0
(B)

区间的概念和记号
设a,bR ,且a<b.我们规定：
①满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；
③满足不等式ax<b 或a<xb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) ,(a，b].
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.

在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：
定 义
名 称
符 号
数 轴 表 示
{x|axb}
闭区间
[a，b]

{x|a<x<b}
开区间
(a，b)

{x|ax<b}
左闭右开区间
[a，b]

{x|a<xb}
左开右闭区间
(a，b)

这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足xa，x>a，xb，x<b的实数x的集合分别表示为[a，+，（a，+）,(- ,b,(- ,b).
注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；
②有两个区间端点，且左端点小于右端点；
③两个端点之间用“，”隔开.
④无穷大是一个符号，不是一个数
⑤以“-”或“+”为区间一端时，这一端必须是小括号。
【练】试用区间表示下列实数集：
（1）{x|5≤x<6}；（2）{x|x≥9} ；（3）{x|x≤-1}∩{x|-5 ≤x<2}；（4）{x|x<-9}∪{x|9<x<20}。

函数的三要素：定义域、对应关系和值域
函数的定义域：
函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围
函数y=f(x)的定义域的求法：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r与圆面积S的函数关系为S=πr的定义域为{r︱r>0}
⑥=x0的定义域是{x∈R︱x≠0}
注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。

【例1】求下列函数的定义域：
① ；② ；③ .

【练1】求下列函数的定义域：
（1） （2） （3） （4）

表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。
【例1】若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围

【练1】已知函数的定义域为，求实数的范围

复合函数
1.复合函数定义
定义：设函数，，则我们称是由外函数和内函数复合而成的复合函数。其中被称为直接变量，被称为中间变量。复合函数中直接变量的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量的取值范围，即是的值域，是外函数的定义域。
设 f(x)=2x-3，g(x)=x2+2，则称 f[g(x)] =2(x2+2)-3=2x2+1（或g[f(x)] =(2x-3)2+2=4x2-12x+11）为复合函数，这样把两个函数,或者几个函数套在一起,就称为复合函数.
做复合函数的题目,一定要分清几个函数叠套的关系,知道什么是真正的自变量.

2.定义域问题
复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。
题型一、已知的定义域，求的定义域。

［例1］已知函数f（x）的定义域为(0，1)，求f（x2）的定义域.

题型二、已知的定义域，求f(x)的定义域。
［例2］f(2x+1) 定义域为[2,5]，求f(x)的定义域。

题型三、已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域
［例3］已知函数f（x＋1）的定义域为[－2，3]，求f（2x2－2）的定义域.

【配套练习】
1． 若的定义域为，则的定义域为_____________

2 设函数的定义域为，则函数的定义域为__________

3.已知函数y＝f（x）的定义域为[0，1]，求f（x－1）的定义域.

4.已知函数y＝f（x－1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域.

5.已知函数y＝f（x－2）的定义域为[1，2]，求y＝f（x＋3）的定义域

函数的对应法则：
①对应关系是函数关系的本质特征，的意义是：y就是x在关系下的对应值，而是“对应”得以实现的方法和途径。如=3x+4，表示3倍的自变量加上4，（8）=3x8+4=28
②与的区别
表示在x=a时的函数值，是常量；而是x的函数，通常是变量.是的一个特殊值。如一次函数=3x+4，当x=8时，（8）=3x8+4=28是一个常量。
【例1】已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).

函数的值域：对于， xA，与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数y=f(x)的值域。

题型2 函数的值域
1.一次函数 　　
【例1】求的值域
2.二次函数（配方法）
特征：对策：
① 先找二次函数的对称轴，
② A、若对称轴在定义域内，的两个最值点分别出现在顶点处及距对称轴较远处
B、若对称轴不在定义域内，则将定义域两端点代入函数，即得的两个最值点
【例1】求函数y=-2x+5的值域。

【例2】的值域

【例3】的值域。

【练1】函数的值域是 （ ）
Ａ． Ｂ．　　 Ｃ．　 　Ｄ．
【练2】函数的值域是

【练3】，的最大值是

【练4】函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【练5】若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ）
A B C D
【练6】若函数的定义域和值域都是,则实数的值为 ___________

【练7】已知函数，当时，，当时，
（1） 求上的值域。
（2） 当c取何值时，恒成立。

带参数的二次函数：函数中带有参数或定义域里有参数，均已讨论对称轴在区间的位置为方向
【例1】（1）求函数的值域；

【例2】对于二次函数，当时，求出函数的最小值。

【练1】已知函数，当时，恒成立，求的最小值．

【练2】设函数，求的最小值的解析式．

3.反比例函数　
【例1】上的值域

【练1】上的值域。

4.分离常数法
【练1】（1） （2）

5.打勾函数法
【例1】（1） （2）

【练1】已知求的最小值为_________

【练2】求的值域。

【练3】当时，求的最小值是___________

6．一次根式函数换元法：
解题方法：换元法，取，则，将原函数改写为二次函数求值域，记得写新定义域
【例1】求函数的值域。

【练1】求函数求函数的值域

7．带绝对值或分段函数
【例】求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

【练1】求函数的值域；

【练2】求分段函数的值域

函数的解析式
1、待定系数法
【例】（1）已知二次函数满足，，图象过原点，求；

【练1】已知y1= f(x)表示过（0，-2）点的一条直线，y2= g(x)表示过（0，0）点的另一条直线，又f[g(x)]= g[f(x)]=3x-2,求这两条直线的交点坐标。

【练2】已知f（f（x））＝2x－1，求一次函数f（x）

【练3】设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式。

【练4】 已知为常数，若，，则 ．
【练5】已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。
（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；
（2）若的最大值为正数，求的取值范围。

2、代入法
【练1】已知，，求和.

3、 配凑法
【例】已知，求. 【例】已知，求函数的解析式。

【练1】已知，求． 【练2】已知，求。

4.换元法
【例】已知，求的解析式。

【练1】已知f（x＋1）＝x2＋3x＋4，求f（x） 【练2】已知，求

5、构造方程法：若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出
【例】已知满足，求.

【练1】已知满足，求的解析式。

【练2】已知，求。
【配套练习】
1.已知函数=4x+3，g(x)=x，求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]。

2.设函数，求．

3.已知f（2x＋1）＝，求f(x)的解析式.

4.已知f（x－1）＝x2－3x＋4，求f（2x－3）的解析式。

5.已知，求和．

6.已知f（x＋）＝x2＋，求f（x）的解析式

7.已知函数满足.的解析式

8.已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式.

相同函数的判定：
只有当对应法则、定义域、值域，这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数
下列函数中哪个与函数是同一个函数？
【例1】⑴；⑵；⑶

【练1】下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．

【练2】下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）

作业
1. 求下列函数的值域：
（1） （2）；   （3） y=x+

2.判断题：
（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应 （ ）
（2）函数的定义域和值域一定是无限集合； （ ）
（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定； （ ）
（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； （ ）
（5）对于不同的x , y的值也不同； （ ）
（6）f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量。 （ ）

2.给出如下3个等式：，，，则函数① ② ③ ④ 都满足上述3个等式的是D
A B C D
6.若函数ｙ＝ｆ(ｘ)的定义域是{}，则函数Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ＋)＋ｆ(２ｘ＋)（０＜＜１）　的定义域是（　　A）
　A．{}　　B．{}　Ｃ．{} Ｄ．{}
3.函数在的最大值为3，最小值为2，则实数的取值范围是
10.函数在的值域是，则的最大值为 7 .
4.是关于的一元二次方程的两个实根，又，求的
解析式及此函数的定义域

5.对于任意实数，函数恒为正值，求的取值范围

6.已知函数在有最大值和最小值，求、的值

7.设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域

8.已知函数，当时，恒成立，求的最小值．

9.若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；

10．若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；

11．已知定义域是，求定义域．

12．已知 求的解析式

13．已知 ，求的解析式
14．已知 ，求的解析式

15．已知，求的解析式

16 .已知为常数，若则求的值

17、若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是 。

18．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，摇匀后再倒出一升，再用水填满，这样继续进行，如果倒k次(k³1)后共倒出纯酒精x升，倒第k+1次后共倒出纯酒精f(x)升，则函数f(x)的表达式为 。

19.二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，的图象恒在直线上方，试确定实数的取值范围.

20.设函数，函数，其中为常数且，令函数。
（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域；
（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集
合；若不存在，试说明理由。

解：（1），其定义域为； ………2分
（2）令，则且
∴ ………5分
∴
∵在上递减，在上递增，
∴在上递增，即此时的值域为 ………8分
（3）令，则且∴
∵在上递减，在上递增，
∴y=在上递增，上递减， ………10分
时的最大值为， ………11分
∴，又时
∴由的值域恰为，由，解得：或 ………12分
即的值域恰为时， ………13分
所求的的集合为。 ………14分

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