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幂零矩阵性质及应用
数本041 严益水 学号：410401109
摘要：
幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。
关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数
一、 预备知识
（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》　李师正　　高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）
（一） 一些概念
1、 令A为阶方阵，若存在正整数，使，A称为幂零矩阵。
2、 若A为幂零矩阵，满足的最小正整数称为A的幂零指数。
3、 设，称为A的转置，
称为A的伴随矩阵。
其中为A中元素的代数余子式
4、 设A为一个阶方阵，A的主对角线上所有元素的和称为A的迹，记为。
5、 主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。
6、 形为

的矩阵称为若当块，其中为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。
7、 称为矩阵A的特征多项式。满足的的值称为矩阵A的特征值。
8、 次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。
（二）、一些引理
引理1：设A，B为阶方阵，则
引理2：分别为矩阵A的特征多项式和最小多项式，则有。
引理3：每一个阶的复矩阵A都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形。
引理4：若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。
引理5：阶复矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A和最小多项式无重根。
引理6：相似矩阵具有相同的特征值。
引理7：设为阶矩阵A的特征值，则有，，且对任意的多项式有的特征值为。
引理8：阶若当块的最小多项式为且有。
引理9：矩阵匠最小多项式就是矩阵A的最后一个不变因子。
引理10：A，B为阶复数域上的矩阵，若，则存在可逆矩阵T，使得。
引理11：任意阶A，B方阵，有。
二、 幂零矩阵的性质
（下面的性质来自《高等代数解题方法与技巧》　李师正　高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社、《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社、《关于幂零矩阵性质的探讨》 谷国梁 铜陵财经专科学校学报、《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报并综合归纳得出关于幂零矩阵的十一条性质）
性质1：A为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0。
证明： 为幂零矩阵
令为A任意一个特征值，则
由引理7知，为的特征值
从而有=0即有
又有，知

为A的特征值。
由的任意性知，A的特征值为0。
的特征值全为0
的特征多项式为
由引理2知，
所以A为幂零矩阵。 得证
性质2：A为幂零矩阵的充分必要条件为。
证明：为幂零矩阵，由性质1，知：
A的特征值全为0 即
由引理7，知 的特征值为
从而有
由已知，(1.1)
令为A的不为0的特征值
且互不相同重数为
由（1.1）式及引理7，得方程组
(1.2)
由于方程组（1.2）的系数行列式为

又互不相同且不为0，
从而知，方程（1.2）只有0解，即
即A没有非零的特征值
的特征值全为0， 由性质1，得 A为幂零矩阵 得证
性质3：若A为幂零矩阵，则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0
证明：A为幂零矩阵， 由性质1，知 A的特征值全为0
由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得

其中阶数为
由引理4，知为J和特征值
又A与J相似，由引理6，知A与J有相同的特征值
所以 即J的主对角线上的元素全为0
由引理8，知
为幂零矩阵 得证
性质4：若A为幂零矩阵，则A一定不可逆但有
证明：为幂零矩阵，
A一定不可逆
由性质1，得 A的特征值为
由引理7，得
的特征值分别为

且有

即 得证
性质5：若为幂零矩阵，则A非退化
证明：令为A的特征值
若A退化，则有
由引理7，得
至少存在=0为A的特征值
又由引理7，得 为的一特征值
这与为幂零矩阵矛盾 得证A为非退化
性质6：若A为幂零矩阵，B为任意的阶矩阵且有，则也为幂零矩阵
证明：为幂零矩阵
又
也为幂零矩阵 得证
性质7：若A为幂零矩阵且，则有

证明：

即
任意，有

即有

性质8：若A为幂零矩阵且，则A不可对角化
但对任意的阶方阵B，存在幂零矩阵N，使得可对角化
证明：为幂零矩阵 且A的特征值全为零
为A的特征多项式且
令为A的最小多项式，则有
从而有
由于，又此时
即A的最小多项式有重根，由引理5，知 A不可对角化
为阶方阵 由引理3，知
在复数域上，存在可逆矩阵T，使得

其中阶数为
令 阶数为
则有阶数为
由引理8，知 即为幂零矩阵
现令

即
又D为对角阵，由（1）式知 可对角化
令N= 且取 则有

即有可对角化且N为幂零矩阵 得证
性质9：阶幂零矩阵的幂零指数小于等于且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若当块的阶数
证明；令A为阶幂零矩阵 由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得

其中阶数为
且
取，则 且有
即
若令为A的幂零指数，则
若，则 且
由（1.5）式，得

这与矛盾。 得证
性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形
证明：令A为幂零矩阵，则A的特征值全为0
若B与A相似 由引理6，得 A与B有相同的特征值
的特征值也全为0，由性质1，知 B也为幂零矩阵
A为幂零矩阵由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得

其中阶数为
且
由性质9，知 为A的幂零指数
又A与B相似，A与J相似 从而有B也与J相似
可逆矩阵P 使得

又由性质9，知 为B的幂零指数
从而有
又 为严格上三角
也为严格上三角形
即A，B都相似于严格上三角形J 得证
性质11：若A为幂零矩阵，则都为幂零矩阵，特别有
证明：为幂零矩阵
由引理1，知

都为幂零矩阵

也为幂零矩阵
又为幂零矩阵 即
若，则有A的所有阶代数余子式都为0
则有 从而有
若，则由性质3知，
存在可逆矩阵T，使得

其中阶数为 且
又显然A与J，所以有

即有 (1.3)
又
由（1.3）式及引理1，知
得证
三、 关于幂零矩阵性质的简单应用
（一）、特殊幂零矩阵
（来自《高等代数解题方法与技巧》　李师正　　高等教育出版社）
1、A为实对称矩阵且，则有
证明：令，则由A实对称
且
又为实数 即
2、所有阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都是相似
证明：令A为阶次幂零矩阵 即
的最小多项式
又A幂零矩阵 的特征值全为0
的特征多项式为
由引理9，知
又
从而有
所以所有的阶次幂零矩阵的不变因子都是
所以所有阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都相似
3、所有阶次幂零矩阵相似（为幂零指数）
证明：令A为阶次幂零矩阵， 则
的最小多项式
又A幂零矩阵 的特征值全为0
的特征多项式为
又
又
从而有
所以所有阶次幂零矩阵具有相同不变因子
所以所有阶次幂零矩阵都相似
思考：所有阶次幂零矩阵可分为几类（相似归为一类）？？？？
由于矩阵相似等价于它们不变因子相同，所以我们要找所有阶次幂零矩阵可分为几类即可找所有阶次幂零矩阵不变因子可分几类。又由于阶幂零矩阵的不变因子都是，因此只需找分成份且满足每一份的数小于等于并且这些的和等于有多少种分法。
猜想：这个问题就是求个盒子个球，盒子编号为，且第一个盒子的球数为个，并且满足第个盒子的球数小于等于第个盒子的球数，总共有多少种放球的方法（每个盒子的球数为中任一数且不同盒子球数可相同）。
我想是否可通过编一个程序来求出具体数据，通过对数据的分析得出、与放球方法之间的关系（由于知识有限未能完成这个工作，但作为数学问题这是必要的，希望在经后的学习中能有进一步的认识）。
对这个问题的思考得出以下结论：阶幂零矩阵（为一些特殊的数据）（采用排列组合的思想只是做了一些简单的归纳）
：只有一类
：分为两种情况：当为偶数时有类
当为奇数时有类
：分为两种情况：当为偶数时又分为三种情况
当时，有类
当时，有类
当时，有类
当为奇数时又分为三种情况
当时，有类 当时，有类
当时，有类：只有三类
：只有两类
（这些结论是我自己归结出来的，本想找相关资料验证但没找到，所以正确与否不可知，今后若能找到这一部分的内容再做进一步的补充）
：只有一类
：只有一类
（二）、有关幂零矩阵的应用
（例题来自《高等代数解题方法与技巧》　李师正　　高等教育出版社及《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报）
1、设阶方阵，求证：（1）存在，使得
（2）存在，而且 ，
证明：（1）、由引理3，知 在复数域上，可逆矩阵T 使得
(1.4)
其中 阶数为
令 为的若当块
为的若当块
由于 由引理8，得
且

即可逆
有
由（1.4）式，知A与J相似，且

从而，得与相似，
综上可得，
且
即得证
（2）、由（1）知，
使得
又已知
得证
特别当时，可得
2、A，B为阶方阵，B为幂零矩阵且，则有
证明：由引理10，在复数域上，存在可逆矩阵T，使得

又B为幂零矩阵 所以B的特征值全为0，即

又可逆
由知为A的特征值
由引理7，得
从而得证
3、A为阶方阵，求证，B可对角化，C为幂零矩阵且
证明：由性质3，知
存在幂零矩阵N，使得可对角化
即存在可逆T，使得
即有
由性质11，知 N幂零矩阵则也幂零矩阵
又与D相似，可对角化
令 ，则有
可对角化 为幂零矩阵
又为对角阵
得证
4、A，B，C为阶方阵，且，证明：存在自然数
证明：由于，

由引理11，得

由性质2，得 C为幂零矩阵
由性质9，知 得证
5、在复数域上，阶方阵A相似于对角阵等价于对于A的任一特征值，有 与的秩相同。
证明：因为A对角化，则存在可逆矩阵T，使得

从而有

所以与相同
即 与的秩相同
由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得

其中阶数为
若不全为对角阵，则不妨令不可对角化，且有，有

从而知的秩大于的秩，即有的秩大于的秩
也即 的秩大于的秩，这与已知矛盾
所以所有为对角阵，从而得证A相似于对角阵
（三）、幂零矩阵在求逆的应用
（例题来自《幂零矩阵性质的一个应用》 姜海勤 泰州职业技术学院学报）
1、可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆
例 求
解：
其中
且有

2、主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆
例 求
解
其中 且有

3、可表为若当块的幂的矩阵和逆
例 求
解：
其中

希望通过上面的总结对幂零矩阵有一定的认识。

参考文献：
1、《高等代数解题方法与技巧》　李师正　　高等教育出版社　　2006.5
2、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组
高等教育出版社 2003.4
3、《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社 2005.1
4、《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社 2004.4
5、《关于幂零矩阵性质的探讨》 谷国梁 铜陵财经专科学校学报
2001年第4期
6、《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报 2003年第4期
7、《幂零矩阵性质的一个应用》 姜海勤 泰州职业技术学院学报 2004年2月