高三文科月考试卷.doc

浏阳市第五中学2013届高三5月底测试
数学试题(文科)
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，满分45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
.

2．已知i是虚数单位，则复数i（1+i）的共轭复数为（ B ）
A．－1+i B． －1-i C． 1+i D． 1-i
3．命题“”的否定是（ C ）
A． B．
C． D．
侧（左）视图
正（主）视图
俯视图
4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ C ）
． ． ． ．
5．若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为(　A　)
A. B.
C. D.
6．已知平面向量、满足，，且与垂直，则与的夹角是 （ B ）
A． B． C． D．
7.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（ C ）
A．　 B．2　 C．4　 D．
8．函数f（x）=1nx－的图像大致是( B )

9．已知定义在R上的奇函数，设其导函数，当时，恒有，令，则满足的实数x的取值范围是（ A ）
A．（-1，2） B． C． D．（-2，1）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上．
10.在中，则等于 ；
11.在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线
于A、B两点，则= ;
12.已知等比数列中，，则数列的前项和
为
13．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是　729　　．
14. 设不等式组在直角坐标系中所表示的区域的面积为，则当时，的最小值为　　　　　　．32
15. 有以下四个命题：
①中，“”是“”的充要条件；
②不等式在上恒成立；；
③若命题，则
④设有四个函数其中在上是增函数的函数有3个.
其中真命题的序号 ①②④ .
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
某学校组织500名学生体检，按身高（单位：cm）分组：第1组[155，160），第2组[160，165），第3组[165，170），第4组[170，175），第5组[175，180]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）下表是身高的频数分布表，求正整数m,n的值；

（2）现在要从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，第1，2，3组应抽取的人数分别是多少？
（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率。

17.(本小题满分12分)
在中，分别是角的对边，向量，，且 .
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）设，且的最小正周期为，求在区间上的最大值和最小值.
解: （Ⅰ）由，得， ……………………2分
由正弦定理，
得 ………………………………4分
…………………… 6分
（Ⅱ）由题知，
由已知得，， …………………………9分
当时， ………………… 10分
所以，当时，的最大值为；当时，的最大值为…12分

18.(本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，,平面，，在上，且,是的中点，
(Ⅰ)证明：平面平面；
(Ⅱ)求证：平面
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
(Ⅰ)证明：连接交于,因为底面ABCD是菱形，所以,又平面
所以,面,于是平面平面
(Ⅱ) 取的中点,连,,由是的中点，是的中点,得
CE,所以平面平面,故平面
（Ⅲ）

19.（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,数列的前项和为,求的取值范围.
(1)当时,,解得 ……………1分
当时,……① ……② ……………3分
②-①得 即 ……………5分
数列是以2为首项,2为公比的等比数列 ……………6分
(2) ……………7分
……………8分
= ……………10分
……………12分

20．（本小题满分13分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值.
解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，∴ ……………………………1分
又椭圆离心率，∴，……………2分
所以椭圆的方程为 ……………………………5分
（Ⅱ）设点，则，连交轴于点，
由对称性知： ………………………7分
由 得： …………………9分
， …………………10分
（当且仅当即时取等号） …………11分

面积的最大值为. ………………13分

21.（本小题满分13分）
已知函数，其图象为曲线,点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当点时，的方程为，求实数和的值；
（Ⅲ）设切线、的斜率分别为、，试问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）当时，
则，解得或； …………1分
，解得 ………………………………………………2分
∴函数的单调递增区间是和；单调递减区间是…4分
（Ⅱ）由题意得，即， ……………………………………6分
解得 …………………………………………………………8分
∴实数和的值分别是和. …………………………………………………9分
（Ⅲ）设，则，
联立方程组
由②代入①整理得 ………………………………10分
设，则由韦达定理得，∴………11分
由题意得；
假设存在常数使得，则，
即,∴，解得 ………13分
所以当时，存在常数使得；
当时，不存在，使得 ………………………………14分