高考中抽象函数的技巧与方法.doc

高考中抽象函数的技巧与方法
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：
一、求表达式：
1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ,求.
解：设,则∴∴
2.凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知，求
解：∵又∵
∴，(||≥1)
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知二次实函数，且+2+4,求.
解:设=，则
=比较系数得∴
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
例4.已知=为奇函数,当 >0时,,求
解:∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式。∵->0,∴,
∵为奇函数，∴∴当<0时∴
例5．一已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.
解：∵为偶函数，为奇函数，∴,,
不妨用-代换+= ………①中的,
∴即－……②
显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式
例6：设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求
解：∵的定义域为N，取=1,则有
∵=1,∴=+2,……
以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴
二、利用函数性质，解的有关问题
1.判断函数的奇偶性：
例7 已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。
证明：令=0, 则已知等式变为……①
在①中令=0则2=2∵ ≠0∴=1∴∴∴为偶函数。
2.确定参数的取值范围
例8：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。
解：由得，∵为函数，∴
又∵在（-1，1）内递减，∴
3.解不定式的有关题目
例9：如果=对任意的有,比较的大小
解：对任意有∴=2为抛物线=的对称轴
又∵其开口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，为增函数
∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)
五类抽象函数解法
　　1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设，∵当，∴，
∵，
∴，即，∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，
∴　f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，
∴ f（x）的值域为［－4，2］。
例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，∵当，∴，则，
即，∴f（x）为单调增函数。 ∵， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴， 即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
2、指数函数型抽象函数
例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：
（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
解：（1）令y＝0代入，则，∴
。若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。
例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。
分析：由题设可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：
（1）x＝1时，∵，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确。
（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确。
综上所述，x为一切自然数时。
3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：

（1）f（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。
分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。
解：（1）∵，∴f（1）＝0。
（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），
即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故
，解之得：8＜x≤9。
例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。
解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。
4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。
试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。
（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。
分析: 由题设知f（x）是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。
解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有
，∴在定义域中。∵
，
∴f（x）是奇函数。
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。
又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，
，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即
f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。
5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若，求a的取值范围。
分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。
解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴
f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。
（2）设，∴，，
∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。
（3）∵f（27）＝9，又，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，又，故。
抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、定义域问题
例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足
从而函数f(x)的定义域是［1，4］
评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。
例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得
所以函数的定义域是
评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。
二、求值问题
例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。
解：取，得
因为，所以
又取
得
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题
例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。
解：令，得，即有或。
若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。
由于对任意均成立，因此，对任意，有

下面来证明，对任意
设存在，使得，则
这与上面已证的矛盾，因此，对任意
所以
评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
四、解析式问题
例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。
解：在中以代换其中x，得：

再在(1)中以代换x，得

化简得：
评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
五、单调性问题
例6. 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。
证明：在中取，得
若，令，则，与矛盾
所以，即有
当时，；当时，
而
所以
又当时，
所以对任意，恒有
设，则
所以
所以在R上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题
例7. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。
解：取得：，所以
又取得：，所以
再取则，即
因为为非零函数，所以为偶函数。
七、对称性问题
例8. 已知函数满足，求的值。
解：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。
所以
将上式中的x用代换，得
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。
八、网络综合问题
例9. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0<f(x)<1。
（1）判断f(x)的单调性；
（2）设，
，若，试确定a的取值范围。
解：（1）在中，令，得，因为，所以。
在中，令
因为当时，
所以当时
而
所以
又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。
设，则
所以
所以在R上为减函数。
（2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以
即有
又，根据函数的单调性，有
由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得。
评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。

定义在R上的函数满足：且，求的值。
解：由，
以代入，有，
为奇函数且有
又由

故是周期为8的周期函数，

例2 已知函数对任意实数都有，且当时，
，求在上的值域。
解：设
且，
则，
由条件当时，

又

为增函数，
令，则
又令
得
，
故为奇函数，
，
上的值域为

二. 求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例3 已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。
解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，
在上是减函数，
由得。
（1）当时，
，不等式不成立。
（2）当时，

（3）当时，

综上所述，所求的取值范围是。

例4 已知是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。
解：
对恒成立
对恒成立

对恒成立，

三. 解不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。
例5 已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。
解：设且
则
，
即，

故为增函数，
又

因此不等式的解集为。

四. 证明某些问题
例6 设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。
分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出（T为非零常数）则为周期函数，且周期为T。
证明：

得
由（3）得
由（3）和（4）得。
上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。

例7 已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。
证明：对一切有。
且，令，得，
现设，则，，
而

，
设且，
则

，
即为减函数。

五. 综合问题求解
抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。
例8 设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。
（1）证明；
（2）证明：在R上是增函数；
（3）设，
，若，求满足的条件。
解：（1）令得，
或。
若，当时，有，这与当时，矛盾，
。
（2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由

（3）由得
由得 （2）
从（1）、（2）中消去得，因为
，
即

例9 定义在（）上的函数满足（1），对任意都有，
（2）当时，有，
（1）试判断的奇偶性；（2）判断的单调性；
（3）求证。
分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。
解：（1）对条件中的，令，再令可得
，所以是奇函数。
（2）设，则
，
，由条件（2）知，从而有，即，故上单调递减，由奇函数性质可知，在（0，1）上仍是单调减函数。
（3）

抽象函数问题分类解析

我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。
1. 求定义域
这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解。
例1. 函数的定义域为，则函数的定义域是___。
分析：因为相当于中的x，所以，解得
或。

例2. 已知的定义域为，则的定义域是______。
分析：因为及均相当于中的x，所以

(1)当时，则
(2)当时，则
2. 判断奇偶性
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。
例3. 已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。
分析：在中，令，
得
令，得
于是
故是偶函数。

例4. 若函数与的图象关于原点对称，求证：函数
是偶函数。
证明：设图象上任意一点为P（）
与的图象关于原点对称，
关于原点的对称点在的图象上，

又

即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。
3. 判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例5. 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。

图1

例6. 已知偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图2所示，易知在上是增函数，证明如下：
任取
因为在上是减函数，所以。
又是偶函数，所以
，
从而，故在上是增函数。

图2
4. 探求周期性
这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。
例7. 设函数的定义域为R，且对任意的x，y有
，并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。
分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。

故是周期函数，2c是它的一个周期。
5. 求函数值
紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
例8. 已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。
分析：在条件中，令，得
，

又令，
得，

例9. 已知是定义在R上的函数，且满足：，
，求的值。
分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是
，

所以
故是以8为周期的周期函数，从而

6. 比较函数值大小
利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。
例10. 已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。
分析：且，

又时，是增函数，

是偶函数，

故
7. 讨论方程根的问题
例11. 已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_______。
分析：由知直线是函数图象的对称轴。
又有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故。
8. 讨论不等式的解
求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。
例12. 已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。
分析：由单调性，脱去函数记号，得

由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有

9. 研究函数的图象
这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。
例13. 若函数是偶函数，则的图象关于直线_______对称。
分析：的图象的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是。

例14. 若函数的图象过点（0，1），则的反函数的图象必过定点______。
分析：的图象过点（0，1），从而的图象过点，由原函数与其反函数图象间的关系易知，的反函数的图象必过定点。
10. 求解析式
例15. 设函数存在反函数，与的图象关于直线对称，则函数
A. B. C. D.
分析：要求的解析式，实质上就是求图象上任一点的横、纵坐标之间的关系。
点关于直线的对称点适合，即。
又，

即，选B。
抽象函数的周期问题
——由一道高考题引出的几点思考
2001年高考数学（文科）第22题：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有。
（I）设求；
（II）证明是周期函数。
解析：（I）解略。
（II）证明：依题设关于直线对称
故
又由是偶函数知

将上式中以代换，得

这表明是上的周期函数，且2是它的一个周期
是偶函数的实质是的图象关于直线对称
又的图象关于对称，可得是周期函数
且2是它的一个周期
由此进行一般化推广，我们得到
思考一：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，证明是周期函数，且是它的一个周期。
证明：关于直线对称

又由是偶函数知

将上式中以代换，得

是上的周期函数
且是它的一个周期
思考二：设是定义在上的函数，其图象关于直线和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。
证明：关于直线对称

将上式的以代换得

是上的周期函数
且是它的一个周期
若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，还是不是周期函数？经过探索，我们得到
思考三：设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数，且4是它的一个周期。，
证明：关于对称

又由是奇函数知

将上式的以代换，得

是上的周期函数
且4是它的一个周期
是奇函数的实质是的图象关于原点（0，0）中心对称，又的图象关于直线对称，可得是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到
思考四：设是定义在上的函数，其图象关于点中心对称，且其图象关于直线对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。
证明：关于点对称

关于直线对称

将上式中的以代换，得

是上的周期函数
且是它的一个周期
由上我们发现，定义在上的函数，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则是上的周期函数。进一步我们想到，定义在上的函数，其图象如果有两个对称中心，那么是否为周期函数呢？经过探索，我们得到
思考五：设是定义在上的函数，其图象关于点和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。
证明：关于对称

将上式中的以代换，得

是周期函数
且是它的一个周期
抽象函数解法例谈

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题,
一:函数性质法
函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等.
二:特殊化方法
1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x换成-x或将x换成等
2在求函数值时,可用特殊值代入
3研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法.
总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的信息分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感.
1． 已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1
①若t为自然数,(t>0)试求f(t)的表达式
②满足f(t)=t的所有整数t能否构成等差数列?若能求出此数列,若不能说明理由
③若t为自然数且t≥4时, f(t) ≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.

2． 已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R)
求证：①f(x)是R上的增函数
②当nN,n≥3时,f(n)>
解: ①设x1>x2
g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0
g(x1) > g(x2) >0
g(x1)+1 > g(x2)+1 >0
> >0
- >0
f(x1)- f(x2)=- =1--(1-)
=->0
f(x1) >f(x2)
f(x)是R上的增函数
② g(x) 满足g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 且g(x)>0
g(n)=[ g(1)]n=2n
当nN,n≥3时, 2n>n
f(n)=＝1- ，＝1-
2n＝（1+1）n＝1+n+…++…+n+1>2n+1
2n+1>2n+2
<,即1->1-
当nN,n≥3时,f(n)>

3． 设f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函数,且f1(x)单增,设
f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对于(0,+∞)上的任意两相异实数x1, x2
恒有| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|
①求证：f (x)在(0,+∞)上单增.
②设F(x)=x f (x), a>0、b>0.
求证：F(a+b)> F(a)+F(b) .
①证明:设 x1>x2>0
f1(x) 在(0,+∞)上单增
f1(x1)－ f1(x2)>0
| f1(x1)－ f1(x2)|= f1(x1)－ f1(x2)>0
| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|
f1(x2)- f1(x1)<f2(x1)－ f2(x2)< f1(x1)－ f1(x2)
f1(x1)+f2(x1)> f1(x2)+ f2(x2)
f(x1)> f(x2)
f (x)在(0,+∞)上单增
②F(x)=x f (x), a>0、b>0
a+b>a>0,a+b>b>0
F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)
f (x)在(0,+∞)上单增
F(a+b)>af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)
4． 函数y＝f(x)满足
①f(a+b)＝f (a)·f (b)，②f(4)＝16, m、n为互质整数，n≠0
求f()的值
f(0) =f(0+0)=f(0) ·f(0)=f2(0)
f(0) =0或1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0) ·f(4)=0.(矛盾)
f(1)=1
f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16
f(1)=f2()≥0
f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(x)是非负函数.
f(0)=f(a+(-a))=f(a) ·f(-a)
f(-a)=
n∈N*时f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-n
f(1)=f(++…+)=fn()=2
f()=
f()=[f()]m=
5． 定义在（-1，1）上的函数f (x)满足
① 任意x、y∈（-1，1）都有f(x)+ f(y)＝f ()，②x∈（-1，0）时，
有f(x) >0
1) 判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由
2) 判定f(x)在（-1，0）上的单调性，并给出证明
3) 求证：f ()＝f ()－f ()
或f ()+f ()+…+f ()> f () (n∈N*)
解:1) 定义在（-1，1）上的函数f (x)满足任意x、y∈（-1，1）
都有f(x)+ f(y)＝f (),则当y=0时, f(x)+ f(0)＝f(x)
f(0)=0
当-x=y时, f(x)+ f(-x)＝f(0)
f(x)是（-1，1）上的奇函数
2) 设0>x1>x2>-1
f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)=
0>x1>x2>-1 ,x∈（-1，0）时，
有f(x) >0,1-x1 x2>0, x1-x2>0
>0
即f(x)在（-1，0）上单调递增.
3) f ()=f()
=f( )=f()
=f()-f()
f ()+f ()+…+f ()
=f()-f()+f()-f()+f()+…+f()-f()
= f() -f()=f()+f(-)
x∈（-1，0）时，有f(x) >0
f(-)>0, f()+f(-)>f()
即f ()+f ()+…+f ()> f ()
1)
6． 设 f (x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称, 对任意x1、x2[0,]都有f (x1+ x2)＝f(x1) ·f(x2), 且f(1)=a>0.
①求f ()及 f ();
②证明f(x)是周期函数
③记an=f(2n+), 求(lnan)
解: ①由f (x)= f ( + )=[f(x)]20,f(x)
a= f(1)=f(2n· )=f(++…+)＝[f ()]2
解得f ()=
f ()=,f ()=.
② f(x)是偶函数,其图像关于直线x=1对称,
f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).
f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x).
f(x)是以2为周期的周期函数.
③ an=f(2n+)= f ()=
(lnan)= =0

7． 设是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意x、y∈R都有
f(x+y)＝f(x)f(y)
①求f(0)，
②设当x<0时，都有f(x)>f(0)证明当x>0时0<f(x)<1,
③设a1=,an=f(n)（n∈N* ），sn为数列｛an｝前n项和，求sn.
解：①②仿前几例，略。
③an＝f(n)，
a1＝f(1)＝
an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝an
数列｛an｝是首项为公比为的等比数列
sn＝1-
sn＝1
8． 设是定义在区间上的函数，且满足条件：
（i）
（ii）对任意的
（Ⅰ）证明：对任意的
（Ⅱ）证明：对任意的
（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得

若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当时，有
即
（Ⅱ）证法一：对任意的
当不妨设则
所以，
综上可知，对任意的都有
证法二：由（Ⅰ）可得，当 所以，当因此，对任意的
当时，当时，有
且
所以
综上可知，对任意的都有
（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在.
理由如下，假设存在函数满足条件，则由
得 又所以①
又因为为奇数，所以由条件
得 ② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.
练习:
1. 函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)-1，且x>0时，f(x) >1
①求证f(x)是R上的增函数
②若f(4)＝5，解不等式f(3x2-x-2)<3
2.f(x)是R上的函数, 对任意的实数x1、x2都满足f(x1+ x2)＝f(x1)+ f(x2), 当x>0时，f(x) >0且f(2)=3
①试判断f(x)的奇偶性和单调性
②当θ∈[0,]时, f(cos2θ－3)+ f(4m－2mcosθ)对所有的θ均成立,求n1实数的取值范围
3.f (n)是定义在N上且取值为整数的严格单增函数，m、n互质时f(m·n)＝f (m)·f (n)
若f(19)＝19，求f(f(19) ·f(98))的值
4. f (x)定义域为R，对任意x1、x2 R都有f (x1+ x2)＝f(x1)+ f(x2)， 且x>0时，f(x) <0、f(1)＝-2
①试判断f (x)的奇偶性
②试判断在[-3，3]上，f (x)是否有最大值或最小值？如果有求之，如果没有，说明理由
③解关于x的不等式 f（bx2）－f(x)> f（b2x）－f（b）（b2≠2）
5.f (x)定义域为R，对任意实数m、n都有f(m+n)＝f (m)·f (n)，且当x>0时，0< f