材料力学应力分析.ppt

应力状态应力状态应力状态分析应力状态分析应力状态应力状态1 1 概述概述应力状态应力状态 单元体单元体dxdydz,0一点应力状态的描一点应力状态的描述述1 1 概述概述dx、dy、dz（微小的正六面体）（微小的正六面体）单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。应点同方位截面上的应力。过一点不同方向面上应力的集合，过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的称之为这一点的应力状态应力状态。应力状态应力状态1 1 概述概述B、C单向受力单向受力，0 0A纯剪切纯剪切，0 0D既有既有，又有，又有PABCD应力状态应力状态FF示例一示例一横截面横截面1111 1 概述概述应力状态应力状态示例二示例二：Fl/2l/2横截面横截面5432154321横截面横截面1 1 概述概述应力状态应力状态54321543211横截面横截面231 1 概述概述应力状态应力状态三向（空间）应力状三向（空间）应力状态态xzy1 1 概述概述应力状态应力状态主应力：主应力：主平面上的正应力主平面上的正应力主平面：主平面：单元体上切应力为零的平面单元体上切应力为零的平面 通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，以相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，以1 1，2 2 和和 3 3 表示，且表示，且 1 1 2 2 3 31 1 概述概述应力状态应力状态主单元体主单元体1 1 概述概述应力状态应力状态三个主应力三个主应力1 1，2 2 和和 3 3 全部不为零的应力状态全部不为零的应力状态称为称为三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态。1 1 概述概述定义定义：三个主应力三个主应力1 1，2 2 和和 3 3 中两个不为零的应力状中两个不为零的应力状态称为态称为二向（平面）应力状态二向（平面）应力状态。三个主应力三个主应力1 1，2 2 和和 3 3 中一个不为零的应力状中一个不为零的应力状态称为态称为单向应力状态单向应力状态。应力状态应力状态xyxy单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态1 1 概述概述应力状态应力状态2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态解析法解析法应力状态应力状态 方向角与应力分量的正负号约定方向角与应力分量的正负号约定 单元体的局部平衡单元体的局部平衡 平面应力状态中任意方向面上的平面应力状态中任意方向面上的 正应力与切应力正应力与切应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态拉为正拉为正压为负压为负1 1、正应力正负号约定、正应力正负号约定2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 使单元体使单元体或其局部顺时或其局部顺时针方向转动为针方向转动为正；反之为负。正；反之为负。切应力正负号约定切应力正负号约定2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 由由x正向正向逆时针转到逆时针转到n正向者为正；正向者为正；反之为负。反之为负。yx 角正负号约定角正负号约定 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态efa平衡对象平衡对象用用ef斜截面截取的单元体局部斜截面截取的单元体局部2 2、利用截面法及单元体局部的平衡方程、利用截面法及单元体局部的平衡方程dAnt dAcos dAsin xy ef2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 参加平衡的量参加平衡的量 应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积 平衡方程平衡方程及及efadAnt dAcos dAsin nt 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 -cos)cos(dAx-ydA(sin)sindA +dA(cos)sinxy+dA(sin)cosyxefadAnt dAcos dAsin nt 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态-dA+xdA(cos)sin+xydA(cos)cos-ydA(sin)cos-yxdA(sin)sinefadAnt dAcos dAsin nt 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态解得：解得：用用 斜截面截取，此截面上的应力为斜截面截取，此截面上的应力为2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态因此因此即单元体两个相互垂直面上即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。的正应力之和是一个常数。即又一次证明了切应力的互等定理。即又一次证明了切应力的互等定理。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 切应力切应力切应力切应力 x y 0 0的方向面，称为主平面，其方的方向面，称为主平面，其方的方向面，称为主平面，其方的方向面，称为主平面，其方向角用向角用向角用向角用 0 0表示。表示。表示。表示。、平面应力状态的极值与主应力、平面应力状态的极值与主应力2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 将上式对将上式对 求一次导数，并令其等于零，有求一次导数，并令其等于零，有 由此解出的角度由此解出的角度角度角度 与与 0 具有完全一致的形式。这表明，主应力具具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性质，即当坐标系绕有极值的性质，即当坐标系绕z轴轴(垂直于垂直于xy坐标面坐标面)旋旋转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 平面应力状态的三个主应力平面应力状态的三个主应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 以后将按三个主应力代数值由大到以后将按三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用小顺序排列，并分别用表示，即表示，即2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态由此得出另一特征角，用由此得出另一特征角，用由此得出另一特征角，用由此得出另一特征角，用 1 11 1表示表示表示表示对对对对 求一次导数，并令其等于零，得到求一次导数，并令其等于零，得到求一次导数，并令其等于零，得到求一次导数，并令其等于零，得到 与与与与正正正正应应应应力力力力相相相相类类类类似似似似，不不不不同同同同方方方方向向向向面面面面上上上上的的的的切切切切应应应应力力力力亦亦亦亦随随随随着着着着坐坐坐坐标标标标的的的的旋旋旋旋转而变化，因而剪应力亦可能存在极值为求此极值，将转而变化，因而剪应力亦可能存在极值为求此极值，将转而变化，因而剪应力亦可能存在极值为求此极值，将转而变化，因而剪应力亦可能存在极值为求此极值，将 面内最大切应力面内最大切应力面内最大切应力面内最大切应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态得到得到得到得到 x xx x y yy y 的极值的极值的极值的极值 需需需需要要要要特特特特别别别别指指指指出出出出的的的的是是是是，上上上上述述述述切切切切应应应应力力力力极极极极值值值值仅仅仅仅对对对对垂垂垂垂直直直直于于于于xyxyxyxy坐坐坐坐标标标标面面面面的的的的方方方方向向向向面面面面而而而而言言言言，因因因因而而而而称称称称为为为为面面面面内内内内最最最最大大大大切切切切应应应应力力力力与与与与面面面面内内内内最最最最小小小小切切切切应应应应力力力力。二二二二者者者者不不不不一一一一定定定定是是是是过过过过一一一一点点点点的的的的所所所所有有有有方向面中切应力的最大和最小值。方向面中切应力的最大和最小值。方向面中切应力的最大和最小值。方向面中切应力的最大和最小值。面内最大切面内最大切应力应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 为为为为确确确确定定定定过过过过一一一一点点点点的的的的所所所所有有有有方方方方向向向向面面面面上上上上的的的的最最最最大大大大切切切切应应应应力力力力，可可可可以以以以将将将将平平平平面面面面应应应应力力力力状状状状态态态态视视视视为为为为有有有有三三三三个个个个主主主主应应应应力力力力（11、22、33）作作作作用用用用的的的的应应应应力力力力状状状状态态态态的的的的特特特特殊殊殊殊情情情情形形形形，即即即即三三三三个个个个主主主主应应应应力力力力中中中中有有有有一一一一个个个个等等等等于于于于零。零。零。零。考考考考察察察察单单单单元元元元体体体体三三三三对对对对面面面面上上上上分分分分别别别别作作作作用用用用着着着着三三三三个个个个主主主主应应应应力力力力（11 22 3 3 0 0）的应力状态。）的应力状态。）的应力状态。）的应力状态。过一点所有方向面中的最大切应力过一点所有方向面中的最大切应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 考考察察单单元元体体三三对对面面上上分分别别作作用用着着三三 个个 主主 应应 力力（123 0）的的应力状态。应力状态。过一点所有方向面中的最大切应力过一点所有方向面中的最大切应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态x=3,y=2，xy0这就是这就是组组方向面内的最大切方向面内的最大切应应力力。在在平平行行于于主主应应力力1方方向向的的任任意意方方向向面面上上，正正应应力力和和切切应应力力都都与与1无无关关。因因此此，当当研研究究平平行行于于1的的这这一一组组方方向向面面上上的的应应力力时时，所所研研究究的的应应力力状状态态可可视视为为一一平面应力状态：平面应力状态：2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 在在平平行行于于主主应应力力2方方向向的的任任意意方方向向面面上上，正正应应力力和和切切应应力力都都与与2无无关关。因因此此，当当研研究究平平行行于于2的的这这一一组组方方向向面面上上的的应应力力时时，所所研研究究的的应应力力状状态可视为一平面应力状态：态可视为一平面应力状态：x=1,y=3，xy0。这就是这就是组组方向面内的最大切方向面内的最大切应应力力。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态x=1,y=2，xy0。在在平平行行于于主主应应力力3方方向向的的任任意意方方向向面面上上，正正应应力力和和切切应应力力都都与与3无无关关。因因此此，当当研研究究平平行行于于3的的这这一一组组方方向向面面上上的的应应力力时时，所所研研究究的的应应力力状状态态可视为一平面应力状态：可视为一平面应力状态：这就是这就是组组方向面内的最大切方向面内的最大切应应力力。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 一一点点应应力力状状态态中中的的最最大大切切应应力力，必必然是上述三者中最大的，即然是上述三者中最大的，即 过一点所有方向面中的最大剪应力过一点所有方向面中的最大剪应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态图解法图解法应力状态应力状态1 1、应力圆方程、应力圆方程(1)(2)2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态Rc应应 力力 圆圆应力圆上某一点的应力圆上某一点的应力圆上某一点的应力圆上某一点的坐标值对应着单元坐标值对应着单元坐标值对应着单元坐标值对应着单元体某一方向上的正体某一方向上的正体某一方向上的正体某一方向上的正应力和切应力应力和切应力应力和切应力应力和切应力a2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 在在 -坐标系中，标定与单元体坐标系中，标定与单元体A、D面上面上 应力对应的点应力对应的点a和和d 连连ad交交 s s 轴于轴于c点，点，c即为圆心，即为圆心，cd为应为应力圆半径。力圆半径。ADa(x,xy)d(y,yx)cR2.2.应力圆的画应力圆的画法法2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态OCa(x,xy)B Bd(y,yx)建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系由面找点由面找点由面找点由面找点确定圆心和半径确定圆心和半径确定圆心和半径确定圆心和半径ADA AB D2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析0 CD1(x,xy)D2(y,yx)x2 n E(,)F2 0 02 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态3 3、几种对应关系、几种对应关系应力状态应力状态 点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向上的正应力值对应着单元体某一方向上的正应力和切应力和切应力ckK2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态yx转向对应转向对应应力圆上的半径旋转方向与单元应力圆上的半径旋转方向与单元体上方向面法线旋转方向一致；体上方向面法线旋转方向一致；CaA Ak2 二倍角对应二倍角对应应力圆上的半径转过的圆心角应力圆上的半径转过的圆心角是单元体上方向面旋转角度的两倍。是单元体上方向面旋转角度的两倍。(x,xy)DEo2 p2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态4、应力圆的应用、应力圆的应用信息源信息源思维分析的工具，而不是计算工具。思维分析的工具，而不是计算工具。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析点面对应，转向相同，夹角两倍。点面对应，转向相同，夹角两倍。应力状态应力状态 xy x y yxA AD主应力的确定主应力的确定 oc2 pad2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 主应力排序：主应力排序：1 1 2 2 3 3 oc2 pad o o2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 yx x y xyA AD oc2 pad 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 p 2 2 2 2 2 2 2 2(x,xy)主方向的确定主方向的确定 负号表示从主应力的正方向到负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向轴的正方向为顺时转向g2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 主应力与主方向的对应关系主应力与主方向的对应关系 小（主应力中小的）小（主应力中小的）偏小（偏小（x和和y中小的）、中小的）、大（主应力中大的）大（主应力中大的）偏大（偏大（x和和y中大的）中大的），夹角不比，夹角不比450大大。假设假设xy，则，则max与与x的夹角小于的夹角小于450。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 x xAD odacxyy45x245245beBE5 5、基本变形的应力状态、基本变形的应力状态、基本变形的应力状态、基本变形的应力状态单向拉伸单向拉伸单向拉伸单向拉伸2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态单向拉伸单向拉伸单向拉伸单向拉伸xyBE x x x xy yx yBE2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态可见可见：45 方向面既有正应力又方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。值，切应力却最大。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 o a(0,)d(0,-)A ADbec245245 y x BE纯剪切纯剪切纯剪切纯剪切2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 x y BE BE纯剪切纯剪切纯剪切纯剪切2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态结果表明：结果表明：45 方向面只有正应力没有方向面只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。切应力，而且正应力为最大值。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 例例21：一点处的平面应力状态如图所示。已知一点处的平面应力状态如图所示。已知 试求试求（1）斜面上的应力；斜面上的应力；（2）主应力、主平面；）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。A AD2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态（1）斜面上的应力斜面上的应力（一）、解析法（一）、解析法2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析解：解：应力状态应力状态（2）主应力、主平面）主应力、主平面 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态主平面的方位：主平面的方位：哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态主应力主应力 的方向：的方向：主应力主应力 的方向：的方向：+2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态（二）、图解法（二）、图解法 o cbfe解：解：2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态主应力单元体：主应力单元体：2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 已知已知已知已知:三向应力状态如三向应力状态如图所示，图中应力的单位为图所示，图中应力的单位为MPa。例例2-22-2 试试试试求求求求：主应力及单元主应力及单元体内的最大切应力。体内的最大切应力。2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态故单元体上平行于故单元体上平行于 的方向面上的应力值与的方向面上的应力值与 无关。因此，当确定这一组方向面上的应力，以无关。因此，当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主应力及这一组方向面中的主应力 和和 时，可以将所时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。给的应力状态视为平面应力状态。解：解：解：解：所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态 本例中本例中 x x=20 MPa，xyxy=40 MPa。据此，求得。据此，求得 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态根据根据 1 2 3的排列顺序，可以写出的排列顺序，可以写出 单元体内的最大切应力单元体内的最大切应力 2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析应力状态应力状态3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念应力状态应力状态 空间（三向）应力状态空间（三向）应力状态三个主应力均三个主应力均不为零的应力状态；不为零的应力状态；特例特例三个主应力及其主方向均已知。三个主应力及其主方向均已知。定定 义义 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念应力状态应力状态空间（三向）应力状空间（三向）应力状态态xzy 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念应力状态应力状态 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆 考考察察单单元元体体三三对对面面上上分分别别作作用用着着三三个个主主应应力力（123 0）的的应应力状态。力状态。3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念应力状态应力状态ts由由 2、3可作出应力圆可作出应力圆 I 3 2II 1 2 3 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念应力状态应力状态由由 1、3可作出应力圆可作出应力圆IIIIII 1 3III 2 3tsO 2 3 1 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念应力状态应力状态IIItsO 3由由 1、2可作出应力圆可作出应力圆 IIIIII 2 1III 2 1 3 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念应力状态应力状态 1III 3III 2Ot s 单元体任单元体任意方向面上的意方向面上的应力对应着三应力对应着三个应力圆之间个应力圆之间某一点的坐标。某一点的坐标。3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念应力状态应力状态 1III 3III 2Ot s 最大切应力最大切应力tmax 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念tmax应力状态应力状态 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念例例3-1：求图示应力状态的主应力和最大切应力。求图示应力状态的主应力和最大切应力。（应力单位为（应力单位为MPa）。）。应力状态应力状态 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念解：解：应力状态应力状态 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念例例3-2 试根据图试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。面方位。(a)应力状态应力状态 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念解解:1.图图a所示单元体上正应力所示单元体上正应力 z=20 MPa的作用面的作用面(z截面截面)上上无切应力，因而该正应力为主应力。无切应力，因而该正应力为主应力。2.与主平面与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力截面垂直的各截面上的应力与主应力 z无关，故无关，故可画出显示与可画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。圆。(a)应力状态应力状态 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念从圆上得出两个主应力从圆上得出两个主应力46 MPa和和-26 MPa。这样就得到了包。这样就得到了包括括 z=20 MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为 146 MPa，220 MPa，3-26 MPa。(b)(a)3.依据三个主应力值作出的三个应力圆如图依据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。所示。应力状态应力状态 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念2a034可知为可知为a017且由且由x截面逆时针转动，如图截面逆时针转动，如图c中所中所示。示。(c)(b)应力状态应力状态 例例3-33-3ob ba a max20030050(MPa)求：求：求：求：平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、2 2 、3 3和最大切应和最大切应 力力 max。A AB B 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念应力状态应力状态Ob b2005030050(MPa)max 例例3-43-4 求：求：求：求：平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、2 2 、3 3和最大切应力和最大切应力 max。a aA AB B 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念空间应力状态概念空间应力状态概念应力状态应力状态O300100(MPa)max例例3-53-5 求：求：求：求：平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、2 2 、3 3和最大切应力和最大切应力 max。aA AB Bb 3 3 3 3 空间应力状态概念空间应力状态概念空间应力状态概念空间应力状态概念应力状态应力状态4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态111、横向变形与泊松比、横向变形与泊松比 泊松比泊松比泊松比泊松比1 xyx1x 广义胡克定律广义胡克定律 4 4 4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态12、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法+23 4 4 4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态123123 4 4 4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态312 4 4 4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态1234 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态分析：分析：分析：分析：1 1 1 1、即即2 2、当、当 时，即为二向应力状态：时，即为二向应力状态：3 3、当、当 时，即为单向应力状态；时，即为单向应力状态；即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态4 4、若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力、若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力 时，则单元体不仅有线变形时，则单元体不仅有线变形 ，而且有切变形，而且有切变形 。其应力。其应力-应应 变关系为：变关系为：xzy4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态3、三个弹性常数之间的关系、三个弹性常数之间的关系 这表明，对于各向同性材料，三这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中，只有两个是独立的。个弹性常数中，只有两个是独立的。4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态例例4-1：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力测定拉力F和力矩和力矩m，可沿轴向及与轴向成，可沿轴向及与轴向成45方向测出方向测出线应变。现测得轴向应变线应变。现测得轴向应变 ，45方向的应变方向的应变为为 。若轴的直径。若轴的直径D=100mm,弹性模量弹性模量E=200GPa,泊松比泊松比=0.3。试求。试求F和和m的值。的值。FmmFkuu454 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态解：解：（1 1）K点处的应力状态分析点处的应力状态分析在在K点取出单元体：点取出单元体：K其横截面上的应力分量为：其横截面上的应力分量为：（2 2）计算外力）计算外力F由广义胡克定律：由广义胡克定律：4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态解得：解得：（3 3）计算外力偶）计算外力偶m已知已知式中式中Ku4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态由由解得：解得：因此因此4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态4 4 应力应变间关系应力应变间关系例例4-2:已知一受力构件自由表面上某点处的两主已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为应变值为124010-6，316010-6。构件材。构件材料为料为Q235钢，弹性模量钢，弹性模量E=210GPa，泊松比，泊松比0.3。试求该点处的主应力数值，并求该点处另一。试求该点处的主应力数值，并求该点处另一主应变主应变2的数值和方向。的数值和方向。解解：由题意可知，点处于平面应力状态且：由题意可知，点处于平面应力状态且由广义胡克定律由广义胡克定律应力状态应力状态4 4 应力应变间关系应力应变间关系可得：可得：是缩短的主应变。其方向沿构件表面的法线方向。是缩短的主应变。其方向沿构件表面的法线方向。应力状态应力状态4 4 应力应变间关系应力应变间关系例例4-3:边长为边长为0.1m的铜方块，无间隙地放入变形可的铜方块，无间隙地放入变形可略去不计地刚性凹槽中。已知铜的弹性模量略去不计地刚性凹槽中。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比，泊松比0.34。当铜块受到。当铜块受到F=300kN的的均布压力作用时，试求铜块的三个主应力的大小。均布压力作用时，试求铜块的三个主应力的大小。解：解：铜块横截面上铜块横截面上的压应力为的压应力为应力状态应力状态4 4 应力应变间关系应力应变间关系由题意：由题意：按主应力的代数值顺序排列，得该铜块的主应力为：按主应力的代数值顺序排列，得该铜块的主应力为：应力状态应力状态ac13b2变形前单元体体积：变形前单元体体积：变形后单元体体积：变形后单元体体积：0 体积应变体积应变 4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态单位体积变形：单位体积变形：（体积应变）（体积应变）（体积应变）（体积应变）利用广义胡克定律：利用广义胡克定律：式中：式中：（体积弹性模量）（体积弹性模量）（体积弹性模量）（体积弹性模量）（平均正应力）（平均正应力）（平均正应力）（平均正应力）（体积应变（体积应变（体积应变（体积应变 胡克定律）胡克定律）胡克定律）胡克定律）4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态讨论：讨论：讨论：讨论：1、单位体积变形、单位体积变形 只与三个主应力之和有关，与主应只与三个主应力之和有关，与主应 力的大小比例无关。力的大小比例无关。2、因为、因为 ，因此，因此 与取轴方向无关，且与取轴方向无关，且三三 个相互垂直面上的正应变之和不变。个相互垂直面上的正应变之和不变。例如例如纯剪切应力状态纯剪切应力状态：45453、若、若 或或 ，则，则 ，即体积不变。但，即体积不变。但 因此仅当因此仅当 时，时，4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态结论：结论：纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积改变与切应力改变与切应力 无关，但形状有改变，即形状无关，但形状有改变，即形状改改变与切应力有变与切应力有关。关。4 4 应力应变间关系应力应变间关系应力状态应力状态5 5 应变能密度应变能密度应力状态应力状态1、单元体应变能、单元体应变能dydxdz力的作用点所产生的位移力的作用点所产生的位移 5 5 5 5 应变能密度应变能密度应力状态应力状态U=dW=力在位移上所做的功转变为单元体的应变能力在位移上所做的功转变为单元体的应变能力在位移上所做的功转变为单元体的应变能力在位移上所做的功转变为单元体的应变能5 5 应变能密度应变能密度应力状态应力状态2、应变能密度、应变能密度5 5 应变能密度应变能密度应力状态应力状态+将一般应力状态分解为两种特殊情将一般应力状态分解为两种特殊情将一般应力状态分解为两种特殊情将一般应力状态分解为两种特殊情形形形形3、体积改变能密度与形状改变能密体积改变能密度与形状改变能密度度 5 5 应变能密度应变能密度应力状态应力状态 不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积 不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状5 5 应变能密度应变能密度应力状态应力状态5 5 应变能密度应变能密度+应力状态应力状态 不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积 V V为为为为体积改变能密度体积改变能密度体积改变能密度体积改变能密度5 5 应变能密度应变能密度应力状态应力状态 d d为为为为形状改变能密度形状改变能密度形状改变能密度形状改变能密度 不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状5 5 应变能密度应变能密度应力状态应力状态不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积5 5 应变能密度应变能密度应力状态应力状态 不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状5 5 应变能密度应变能密度应力状态应力状态5 5 应变能密度应变能密度例例5-1 用能量法证明三个弹性常数间的关系。用能量法证明三个弹性常数间的关系。纯剪单元体的应变能密度为：纯剪单元体的应变能密度为：纯剪单元体应变能密度的主应力表示为：纯剪单元体应变能密度的主应力表示为：txyA 1 3解：解：作业8.3.4 8.3.9 8.3.11 8.3.14 8.3.18