向量代数与空间解析几何ppt课件.ppt
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1、 第第第第 7 7章章章章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 1 1 空间直角坐标系空间直角坐标系1.1.空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系xzyO空间直角坐标系空间直角坐标系 OxyzOxyz 坐标原点坐标原点 O O坐标轴坐标轴 Ox,Oy ,OzOx,Oy ,Oz右手系右手系坐标平面坐标平面 xOy,yOz ,xOz xOy,yOz ,xOzIIIIIIIVVVIVIIVIII卦限卦限2.点的投影点的投影空间一点M在直线(或轴上)的投影 空间一点M在平面上的投影M2MMM13.点的直角坐标点的直角坐标xyMOz
2、PRQM (x,y,z)有序数组(x,y,z)称为点M的坐标,记为M(x,y,z)x,y,z 分别称为点 M 的横、纵、立坐标.原点O的坐标坐标轴上的点的坐标坐标面上的点的坐标各卦限中的点的坐标的符号討論题討論题4.两点间距离两点间距离设空间中两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),是否应有数轴上两点 M1=x1,M2=x2,有平面上两点 M1(x1,y1),M2(x2,y2),有d=|M1 M2|=|x2 x1|OxyzPRQR1R2P2P1Q1Q2NM2M1由勾股定理M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),特别地,点O(0,0,0)与 M(x,y,z)之间的距离
3、例例1.在Oz轴上求与A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.解:解:设所求的点为M(0,0,z).由|AM|=|BM|,得化简求得坐标系坐标系.Oy轴与Oy轴垂直,单位等长;Ox轴与Oy轴交角120(或135),单位长为Oy轴上的单位长的 倍(或 倍);直线直线.空间中本来相互平行的直线在图中依然要保持 平行;作图:作点 P(2,1,3),Q(1,2,-1),R(-2,-1,-1)2 2 向量的概念及其表示向量的概念及其表示1.向量向量向量向量:既有大小又有方向的量单位向量单位向量:模等于1的向量零向量零向量:模等于0的向量(方向任意),记0.向量相等向量相等:模相等,方向相同,记 a
4、=b负向量负向量:与a的模相等而方向相反的向量,记 a.所有向量的共性:大小、方向,因此定义模模:向量的大小,记|a|,ABabaaa2.向量的加法向量的加法 c=a+bba c=a+b平行四边形法则三角形法则 c=a+bba a1+a2+an运算规律:运算规律:(1)a+b=b+a(交 换 律)(2)(a+b)+c=a+(b+c)(结合律)(3)a+0=a(4)a+(a)=03.向量减法向量减法ab=a+(b)a1+a2+a3+a4a1a2a3a4ababb4.数与向量的乘法数与向量的乘法a=0=0:a=0模:|a|=|a|方向:0:与a相同0,故|a|a 也与 a 方向相同,且|a|a|=
5、|a|a|=|a|而同时有称 a 为 a 的单位向量.(常被用来表示向量 a 的方向.)5.向量在轴上的投影向量在轴上的投影向量间的夹角向量间的夹角ab=a,b=b,a限定 0a,b向量在轴向量在轴 u 上的投影上的投影数值数值uOM1u1M2u2M2=|a|cosa,ua(1)(2)uM1M2u1u2M3u3a1a25.向量的分解和向量的坐标向量的分解和向量的坐标例例1.设P1与P2为u轴上的两点,坐标分别为u1和u2;又e为与u轴正向一致的单位向量,则事实上,若u1u2,有 且 与e 反向,故 若u1=u2,有 0;又 0故也有 OxyzM2M1PRQR1R2P2P1Q1Q2N但 称 为
6、在Ox,Oy,Oz轴上的分向量.j xyzikO令 i,j,k 分别为沿Ox,Oy,Oz 坐标轴正向的基本单基本单 位向量位向量.记点P1,P2的坐标为x=x1,x=x2;OxyzM2M1PRQR1R2P2P1Q1Q2N点Q1,Q2的坐标为y=y1,y=y2;点R1,R2的坐标为 z=z1,z=z2.由例1知故有即这是向量 a 在三个坐标轴上的分解式.记则显然 ax,ay,az 便是向量 a 在三个坐标轴上的投影.由于 a (ax,ay,az)称(ax,ay,az)为 a 的坐标;坐标;记 a=(ax,ay,az)显然 0=(0,0,0)向径:向量 OM 称为点 M 的向径.OM(x,y,z)
7、xyz设 M(x,y,z),则有 OM=(x,y,z).从而 M OM6.向量运算的坐标表示式向量运算的坐标表示式设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),R ab=(axi+ay j+azk)(bxi+by j+bzk)=(axbx)i+(ayby)j+(azbz)k=(axbx,ayby,azbz)a=(axi+ay j+azk)=(ax)i+(ay)j+(az)k=(ax,ay,az)例例1.已知a=(4,-1,3),b=(5,2,-2),求2a+3b.解解.2a+3b=2(4,-1,3)+3(5,2,-2)=(23,4,0)例例2.设点A(x1,y1,z1)和B(x2,y
8、2,z2),求线段AB的定比分点(定比为-1)的坐标.解解.设分点为M(x,y,z),作AM和MB.依题意而故有于是特别地当=1时,便是中点7.向量的模与方向余弦向量的模与方向余弦向量的模:向量的模:由两点间距离公式立得向量的方向:向量的方向:与三坐标轴正向间夹角,.Oxyz称,为 a 的方向角方向角 (规定 0,)Oxyz 向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影,故 ax=Prjxa=|a|cosay=Prjya=|a|cosax=Prjza=|a|cos 称 cos,cos,cos 为 a 的方向余弦方向余弦,显然,cos2+cos2+cos2a 的单位向量:a 的方向余弦 cos,cos,c
9、os 就是 a 的坐标.=cos i+cos j+cos k=(cos,cos,cos)例例2.已知A(2,2,)和B(1,3,0),求 AB 的模、方向角和方向余弦.解解.例例3.已知a与三坐标轴的夹角相等,求a 的方向余弦.解:由 cos2+cos2+cos2=1,且=,有3cos2=3cos2=3cos2=1,从而例例4.设有P1P2,已知|P1P2|=2,且与x轴和y轴的夹角分别为 和 ,若P1为(1,0,3),求P2的坐标.解解.设 P1P2 的方向角为,,有得由 cos2+cos2+cos2=1,有设P2的坐标为(x,y,z),则同理有 P2的坐标为(2,4),或(2,2)例例5.
10、解:解:设此求向量为a,则故 3 3 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积1.向量的数量积向量的数量积 一个物体在力 F 作用下沿直线产生一段位移 r,则力F 所作的功为 W=|F|cos|r|rF定义1 对于向量a,b,数量这里0a,b.数量积亦称点积或内积.称为向量a与b的数量积数量积;记为ab.W=Fr由于|b|cosa,b=Prjab,于是ab=|a|Prjab=|b|Prjba运算律:运算律:(1)a2=aa=|a|2.证证 aa=|a|a|cos0=|a|2.(2)ab ab=0.证证 a,b0,aba 或 b为 0时,方向任意,可认为与另一垂直.a,b=cosa,b=0 ab
11、=0.(3)ab=ba.(交换律)(5)(ab)=(a)b=a(b).(结合律)证证 0,(ab)=|a|b|cosa,b(a)b=|a|b|cosa,b显然,a,b=a,b,故(ab)=(a)b 其他情形类似可证.(6)i i=j j=k k=1;i j=j k=k i=0(4)(a+b)c=a c+b c (分配律)证证 (a+b)c=|c|Prjc(a+b)=|c|(Prjca+Prjcb)=|c|Prjca+|c|Prjcb=a c+b c设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),ab=(axi+ay j+azk)(bxi+by j+bzk)=axbxii+axby ij
12、+axbz ik+aybx ji+ayby jj+aybz jk+azbx ki+azby kj+azbz kk=axbx+ayby+azbz特别地 aa=ax2+ay2+az2,此外立刻有 ab axbx+ayby+azbz=0.而 a2=|a|2,于是例例1.已知 A(1,1,1),B(2,2,1),C(2,1,2).求 AB AC 及AB与AC的夹角.又证证 因为 AB=(1,1,0),AC=(1,0,1)所以 AB AC=11+10+01=1从而例例2.ABC中,CB=a,CA=b,AB=c,BCA=.求证余弦定理:c2=a2+b2 2abcos.证证 设 CB=a,CA=b,AB=c
13、,则acbCBAc=AB=CBCA=ab,cc=(ab)(ab)=aa+bb2ab,即 c2=a2+b2 2abcos.例例3.在xOy平面上求一垂直于 a=(4,3,7)的单位向量.解解 设所求向量为 e=(x,y,z),因为它在xOy平面上,所以 z=0;又因为它与 a 垂直,所以 4x+3y=0;再 e 为单位向量,有 x2+y2=1;联立解得:从而討論题討論题下面结论是否成立?(ab)2=a2b2;ab=ac b=c (消去律);(ab)c=a(bc)(结合律).2.向量的向量积向量的向量积一根杠杆L一端 O固定为支点,另一端P受到力F的作用,力F与OP的夹角为.我们用力矩表示F对杠杆
14、L转动作用的大小和方向.力矩是一向量,记为 M,其量值(大小)为其方向垂直于OP与 F 所决定的平面,指向符合右手规则.定义2 对于向量a,b,由a和b可确定一个新向量,这里0a,b.向量积亦称叉积或外积.称为向量a与b的向量积向量积;记为ab.ab=模:方向:同时垂直于a和b且按右手规则abab力矩 M=OPF以向量a和b为邻边作平行四边形OABC,abOACBh=|b|sina,b于是其面积 S=|a|h=|a|b|sina,b =|ab|.则高 h=|b|sina,b运算律:运算律:(1)aa=0.证证|aa|=|a|2sin0=0.(2)a/b ab=0.证证 a,b0,a/ba 或
15、b为 0时,方向任意,可认为与另一平行.a,b=0或 sina,b=0 ab=0.(3)ab=ba.(交换律不成立)证证 a/b时,ab=0,ba=0,结论成立;a/b时,|ab|=|ba|,由右手规则有ab与ba方向相反,故 ab=ba.(4)(ab)=(a)b=a(b)(分配律)证证 =0 或 a/b,上式两端均为 0,自然成立;不妨设 0,则|(ab)|=|ab|=|a|b|sina,b,0且a/b时,|(a)b|=|a|b|sina,b=|a|b|sina,b,且 0时(ab)和(a)b方向相同,故等式成立;同理0时可证;后一等式亦然.(5)(a+b)c=ac+bca(b+c)=ab+
16、ac (分配律)(6)ii=jj=kk=0;ij=k,jk=i,ki=j向量积的坐标式:设 ab=(axi+ay j+azk)(bxi+by j+bzk)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),=(aybzazby)i+(azbx axbz)j+(axby aybx)k=axbxii+axby ij+axbz ik+aybx ji+ayby jj+aybz jk+azbx ki+azby kj+azbz kk=axbyk axbz j aybxk+aybzi+azbx j azbyi=(aybzazby,azbx axbz,axby aybx)ijkab=(aybzazby)i+(
17、azbx axbz)j+(axby aybx)k为便于记忆a/b aybzazby=0,azbx axbz=0,axby aybx=0例例4.a=(2,1,1),b=(1,1,2),计算ab和ba.=i 5j 3k=i+5j+3k解解例例5.求一垂直于a=(2,2,1)和 b=(4,5,3)的单位向量.解解 显然 ab 是垂直于 a 和 b 的.而=i 2j+2k,所以例例6.已知 OA=i+3k,OB=j+3k,求OAB 的面积.OACB解解 平行四边形OABC的面积=|OAOB|,从而3.向量的混合积向量的混合积(ab)c 称为向量 a,b,c 的混合积,记作abc.设 a=(ax,ay,
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