吉林省吉林市2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题-文-新人教A版.doc

吉林省实验中学2012—2013学年度上学期期末考试
高二数学文试题

注参考公式：b＝，a＝－b
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是(　　)
A．①分层抽样，②简单随机抽样 B．①简单随机抽样，②系统抽样
C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样
2．下列结论中，正确的是：( )
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成正相关关系；
②散点图能直观地反映数据的相关程度；
③在统计中，众数不一定是数据组中数据；
④在统计中，样本的标准差越大说明这组数据的波动越大；
⑤概率是随机的，在试验前不能确定.
A．①③ B． ②⑤ C．②④ D．④⑤
3. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1件次品与至多有1件正品 B．恰有1件次品与恰有2件正品
C．至少有1件次品与至少有1件正品 D．至少有1件次品与都是正品
4. 下列命题错误的是( )
A.命题“若则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根则”
B. 对于命题“使得”，则“均有”
C. 若为假命题，则均为假命题
D. “”是 “”的充分不必要条件

5. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907    966    191    925    271    932    812    458    569    683
431    257    393    027    556    488    730    113    537    989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )
A． 0.35        B．0.15       C．0.20        D． 0.25  
6．若抛物线C以坐标原点为顶点，以双曲线的顶点为焦点且过第二象限，则抛物线C的准线方程是( )
A．x=3 B．y=－4
C．x=3或y=－4 D．x=4或y=－3
7. 如图给出的是计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是(　　)
A．n＝n＋2，i>15? B．n＝n＋2，i＝15?
C．n＝n＋1，i＝15? D．n＝n＋1，i>15?
8.函数在点处的切线方程是( ) (第7题图)
A. B. C. D.
9．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们到直线的距离之和等于5,则这样的直线
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
10. 已知函数上单调递增，那么实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
11. 圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为(　　)
A. B. C. D．3π·
12．若点（0,0）和点分别是双曲线，a＞0的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为(　　) s5_u.c o*m

A． B． C． D．

二填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13．为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是 ．
14．在球内有一边长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率是 .
15. 已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．
16. 在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．
三 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参加植树活动，林业部门为了保证树苗的质量，将在植树前对树苗进行检测，现从同一种树的甲、乙两批树苗中各抽测了10株树苗，量出它们的高度如下(单位：厘米)．
甲：37, 21, 31, 20, 29, 19, 32, 23, 25, 33；
乙：10, 30, 47, 27, 46, 14, 26, 10, 44, 46.
（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据；
（Ⅱ）分别求甲、乙两组数据的平均数；并根据茎叶图对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；
（Ⅲ）分别将两组中高度高于各自平均数的树苗选出并合在一起组成一个新的样本，从这个新的样本中任取两株树苗，求这两株树苗分别来自甲、乙两组的概率．

18. （本小题满分12分）
先后随机投掷2枚正方体骰子，其中表示第枚骰子出现的点数，表示第枚骰子出现的点数．
（Ⅰ）求点在直线上的概率；
（Ⅱ）求点满足的概率．

19 ．（本小题满分12分）
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？

20．（本小题满分12分）
组号
分 组
频数
频 率
1

8
0.1
2

9
0.1125
3

a

4

10
b
5

15
0.1875
6

12
0.15
7

8
0.10
8

4
0.05
某高校从参加今年自主招生考试的学生中抽取成绩
排名在前80名的学生成绩进行统计，得频率分布表：
（I）分别写出表中a、b处的数据；
（II）高校决定在第6、7、8组中用分层抽样的
方法选6名学生进行心理测试，最后确定两名
学生给予奖励。规则如下：
若该获奖学生的第6组，给予奖励1千元；
若该获奖学生的第7组，给予奖励2千元；
若该获奖学生的第8组，给予奖励3千元；
测试前，高校假设每位学生通过测试获得奖
励的可能性相同。求此次测试高校将要支付
的奖金总额为4千元的概率。

21. （本小题满分12分）
已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．

22．（本小题满分12分）
已知函数 f（x）=ax＋lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=－1时，求的最大值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e］上的最大值为－3，求a的值；
（Ⅲ）当a=－1时，试推断方程是否有实数解 .

参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
D
B
A
C
D
D
C
A
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.48 14. 15. －37 16.
三 解答题：
17．（本小题满分10分）
解: (Ⅰ)茎叶图

………… 3分

(Ⅱ)甲＝[37＋21＋31＋20＋29＋19＋32＋23＋25＋33]＝27，
乙＝[10＋30＋47＋27＋46＋14＋26＋10＋44＋46]＝30. ………… 2分
统计结论：(写出以下任意两个即可)
①甲批树苗比乙批树苗高度整齐；
②甲批树苗的高度大多数集中在均值附近，乙批树苗的高度分布较为分散；
③甲批树苗的平均高度小于乙批树苗的平均高度；
④甲批树苗高度的中位数为27 cm，乙批树苗高度的中位数为28.5 cm. ………… 2分
(Ⅲ)甲批树苗中高度高于平均数27的是：37,31,29,32,33，共5株，
乙批树苗中高度高于平均数30的是：47,46,44,46共4株．
新的样本中共有9株树苗，从中任取2株的基本事件有＝36个，…… 1分
其中“一株来自甲批，一株来自乙批”为事件A，包含的基本事件
有5×4＝20个，…… 1分
∴P(A)＝＝.…… 1分
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）每颗骰子出现的点数都有种情况，
所以基本事件总数为个. …………………… 2分
记“点在直线上”为事件，有5个基本事件：
， …………………… 5分
…………………… 6分
（Ⅱ）记“点满足”为事件，则事件有个基本事件:
当时，当时，； …………………… 7分
当时，；当时，…………………… 9分
当时，；当时，……………11分
………………12分
19 ．（本小题满分12分）
解: (1)散点图如上图．…………… 2分
(2)由表中数据得iyi＝52.5，
＝3.5，＝3.5，＝54，…… 4分
∴b＝0.7.∴a＝1.05.
∴＝0.7x＋1.05.回归直线如图所示．…… 1分
(3)将x＝10代入回归直线方程得，y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，
∴预测加工10个零件需要8.05小时．…………… 2分
20．（本小题满分12分）
解：(1)由题意知，a= 14，位置2处的数据为b=………4分
(2) 由题意知,第6,7,8组共有24人，抽6人………………1分
于是在第6组抽12人，在第7组抽8人，
在第8组抽4人，………………2分
设第6组的三人分别为，第7组的两人分别为第8组的两人分别为c，
在6名同学中确定2人的基本事件有：
(),(),(),(),() (),(),(),()
(),(),(), (), (),()共15个………………2分
其中“高校将要支付的奖金总额为4千元”所包含的基本事件有：
()() (),()共4个. ………………2分
因此所求的概率…………………1分
21. （本小题满分12分）
解： (1)由已知得，c＝2，＝， 解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1. ………………4分
(2)设直线l的方程为y＝x＋m………………1分
由得4x2＋6mx＋3m2－1 2＝0. ①………………1分
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则
x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.………………1分
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k＝＝－1.
解得m＝2，………………1分
此时方程①为4x2＋12x＝0，
解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2，所以|AB|＝3，………………1分
此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，……2分
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.………………1分
22．（本小题满分12分）

8