陕西省师大附中2011-2012学年高二数学下学期期中试题-理-新人教A版.doc

陕西师大附中2011—2012学年度第二学期期中考试
高二年级数学（理）试题（选修2-1、2-2、2-3必修3）
一． 选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分共50分）
1.已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的( )
A．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.下列推理是归纳推理的是( )
A．为两个定点，动点满足，，则动点的轨迹是以为焦点的双曲线；
B.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇；
C.由圆的面积，猜想出椭圆的面积；
D.由，求出猜想出数列的前项和的表达式。
3.一个口袋装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出一个球还是白球的概率是( )
A. B. C. D.
4.假设关于某设备的使用年限（年）和所支出的费用（万元），有如下表所示的统计资料：

2
3
4
5
6

2.2
3.8

6.5
7.0
根据上表提供的数据，求出了关于的线性回归方程为，那么统计表中的值为( )
A. 5.5 B. 5.0 C. 4.5 D. 4.8
5.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D. k`$#s5u
6.已知动圆圆心在抛物线上且动圆恒与直线相切，则动圆必定过定点( )
A. B. C. D.
7.将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1、3的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
8.已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
9.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且的中点为,则双曲线的方程为( )
A． B. C. D.
10.函数的图像大致为( )
A. B. C. D.

二．填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分共30分）
11.双曲线+=1的离心率，则的值为 .
12.某部门计划对某路段进行限速，为调查限速是否合理，对通过该路段的辆汽车的车速进行检测，将所得数据按分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这辆汽车中车速低于限速的汽车有 辆．
13.矩形中,.在矩形内任取一点P,则的概率为 .
14.函数，则的最大值为 .
15.已知，，…，若均为正实数），根据以上等式，可推测的值，则 .
16.若，则= .

陕西师大附中2011—2012学年度第二学期
期中考试高二年级数学（理）答题纸
一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分共50分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

一． 填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分共30分）
11. .12. .13. .
14. .15. .16. .
三．解答题（本大题共4个小题，满分共40分）
17．（本小题满分8分）：在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方案作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据实验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配实验：
（1）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为4的概率；
（2）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率。

k`$#s5u

18.（本小题满分10分）：如图，平面⊥平面,,，直线与直线所成的角为，又, ,
(1)求证：；
(2)求平面和平面的夹角的余弦值。

19．（本小题满分10分）：已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论函数的单调性。

20．（本小题满分12分）：已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）斜率为的直线与轨迹相切于第一象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点P的点，记为轨迹与直线围成的封闭图形的面积，求的值。

陕西师大附中2011—2012学年度第二学期期中考试
高二年级（理科）数学试题参考答案
一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分共50分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
D
C
A
D
B
B
C
C
D
二．填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分共30分）
11. -32 .12. 180 .13. .
14. .15. 41 .16. 10 .
三．解答题（本大题共4个小题，满分共40分）
17．解：（1） ……4分 (2) ……8分
18. 解（1） ∵平面平面，，平面．
∴平面
又∵平面
∴ ……4分
（2）以为原点建立空间直角坐标系．k`$#s5u
　设，，，．
，
由直线与直线所成的角为60°，得
……6分
即，解得．
∴，
设平面的一个法向量为，则
由，取，得
取平面的一个法向量为k`$#s5u

则
故平面MAB和平面ABC的夹角的余弦为．……10分
19题：解：（1）函数的定义域为，．
又曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，即．--------- 5分
（2）由于 ……6分
当时，由于，有在定义域上恒成立，
即在上是增函数．
当时，由，得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减． ------ 10分
20题：解（1）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为，则
，且 ———2分
可得 ．
由于圆C1在直线的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹的方程． ———5分
（2）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为．由于该直线经过点A（0,6），所以有，得．因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为． ———9分
A
把直线PQ的方程与轨迹的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为．所以

． ———12分

9