高三数学第二轮专题03函数（3）.doc

高三数学第二轮专题3：（函数新题型3）
江苏省梁丰高级中学 顾云良
一、复习要点
本课主要复习函数中的一些新题型.当给出的题设是陌生的背景或者运算时，应严格按照有关“定义”或“运算”进行探究.
二、 基础训练
1. 定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于
【答案】.
2.若为的各位数字之和（n∈N*）．如：因为+1=197，1+9+7=17，所以=17．记，则= .
【答案】11.
3.在实数的原有运算中，我们补充定义新运算“”如下：当则函数的最大值等于 .
【答案】6.
4.已知，记，（其中），例如：.
设，且满足和，则有序数组是 .
【答案】(8,6,1,9).

三、 典型例题
例1.设n为正整数，规定：，已知.
（1）解不等式f(x)≤x；
（2）设集合A＝{0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3(x)＝x；
（3）探求；
（4）若集合B＝{x|f12(x)＝x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含有8个元素．
【分析】（1）按分段函数讨论求解；（2）逐个验证；（3）寻找周期；（4）探究发现.
【解答】（1）当时，；当，恒成立，所以解集为.
（2）证明：∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1，∴当x＝0时，f3(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0；
当x＝1时，f3(1)＝f(f(f(1)))＝f(f(0))＝f(2)＝1；当x＝2时，f3(2)＝f(f(f(2)))＝f(f(1))＝f(0)＝2.
即对任意x∈A，恒有f3(x)＝x.
（3） ，，，，.
（4）由（1）知，，∴，，，
由（2）知，对x＝0，或1，或2，恒有f3(x)＝x，则0，1，2∈B.且f12(x)＝f4×3(x)＝x.
由（3）知，对x＝，，，，恒有f12(x)＝f4×3(x)＝x，
∴，，，∈B. 综上所述，0，1，2，，，，∈B.∴B中至少含有8个元素．

例2.对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.
（1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）设是（1）中的“平底型”函数，为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；[来源:学_科_网Z_X_X_K]
(3）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值.
【分析】本题需要严格按照“平底函数”的定义求解.
【解答】(1)对于函数，当时，，
当或时，恒成立，所以是“平底型”函数.
对于函数，当时，，当时，，
所以不存在区间，使当时，恒成立，故不是“平底型”函数.
（2）若对于一切恒成立，则，因为，所以因为，则，故实数.
(3) 因为函数是区间上的“平底型”函数，则存在区间和常数，使得恒成立.所以
当，此时.
当，当.
此时，，综上分析，.

四、课后练习 班级 姓名
1.定义“正对数”:现有四个命题:
①若,则;
②若,则
③若,则;
④若,则
其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号)
【答案】①③④
2.定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域D上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为 . 
【答案】.
3.已知函数，有下列结论：
（1），等式恒成立；（2），方程有两个不等的实根;
(3),则一定有；
（4）存在无数个实数，使得函数在上有3个零点，其中正确结论的序号是 .
【答案】(1)、(3)、(4)
4.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论中正确的序号是 .
(1)．函数（）存在“和谐区间”；(2)．函数（）不存在“和谐区间”；
(3)．函数）存在“和谐区间”；(4)．函数（，）不存在“和谐区间”.
【答案】(1)、（2）、（3）、（4）
5.函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数.设函数为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：
① ；② ； ③ 当时，恒成立.则_________．
【答案】1.
6.对于定义在区间上的函数， 若任给，均有，则称函数在区间上封闭.
（1）试判断在区间上是否封闭, 并说明理由；
（2）若函数在区间上封闭, 求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上封闭, 求的值.
【解答】（1）在区间上单调递增,所以的值域为[-3,0].
而[-1,0],所以在区间上不是封闭的.
(2) 因为,
①当时,函数的值域为,适合题意.
②当时,函数在区间上单调递减,故它的值域为,
由,得,解得,故.
③当时,在区间上有,显然不合题意.
综上所述, 实数的取值范围是.
(3)因为,所以,
所以在上单调递增，在上递减，在上递增.
①当时，在区间上递增，所以，此时无解.
②当时，因，矛盾，不合题意.
③当时，因为都在函数的值域内，故，
又，解得，从而.
④当时，在区间上递减， (*)，
而，经检验，均不合(*)式.
⑤当时，因，矛盾，不合题意.
⑥当时，在区间上递增，所以，此时无解.
综上所述，所求整数的值为.

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