《常微分方程》答案 习题4.1.doc

习题4.1

1. 设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有常数或常数，则和在区间上线形无关。
证明：假设在，在区间上线形相关
则存在不全为零的常数，，使得
那么不妨设不为零，则有
显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关
2. 证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程
（1）
（2）
的解，则+是方程 +的解。
证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解
则： （3）
（4）
那么由（3）+（4）得：
+
即+是方程是+的解。
3. 试验证0的基本解组为，并求方程的通解。
证明：由题将代入方程0得：-=0,即是该方程的解，
同理求得也是该方程的解
又显然线形无关，故是0的基本解组。 由题可设所求通解为：，则有：

解之得：
故所求通解为：
4. 试验证0有基本解组t，，并求方程
t-1的通解。
解：由题将t代入方程0得：
，即t为该方程的解
同理也是该方程的解，又显然t，线形无关，
故t，是方程0的基本解组
由题可设所求通解为，则有：

解之得：
故所求通解为
5. 以知方程0的基本解组为，求此方程适合初始条件的基本解组（称为标准基本解组，即有）并求出方程的适合初始条件的解。
解：时间方程0的基本解组，故存在常数使得：
于是：
令t=0,则有方程适合初始条件，于是有：
解得： 故
又该方程适合初始条件，于是：
解得： 故
显然，线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：
，
而此方程同时满足初始条件，于是：
解得：
故满足要求的解。
6. 设是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为，试证明满足一阶线形方程，因而有：

解：
又满足
即

则：
即 则有：

即：
7. 假设是二阶齐线形方程（*）的解，这里
在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：；（2）方程的通解可以表示为：,其中为常数,
　证：（１）

（２）因为为方程的解，则由刘维尔公式

两边都乘以则有：，于是：

从而方程的通解可表示为：,其中为常数,。
8. 试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。
证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）的一个解，则： （1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。
事实上：假设存在常数，使得：

（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！
从而有
又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，
故有：
即（1）是线形无关的。