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数学教学中培养学生的直觉思维能力的发展路径

李凡
爱因斯坦说过:“真正可贵的是直觉.”一个学生的判断能力、数学思维能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低. 徐利治教授指出:“数学直觉是可以后天培养的.实际上每个人的数学直觉也是不断提高的.”美国心理学家布鲁纳认为,应该更多地去发展学生的直觉思维. 但是长期以来,基于对数学逻辑性和抽象性的强调,数学教师对学生分析综合、分类比较、抽象概括、归纳演绎等方法的训练和培养十分重视,相对地,对学生学习和解题过程中直觉思维所发挥的作用认识不足. 因此,在数学教学中,培养学生的直觉思维能力尤为重要.
关于数学直觉思维及其特征
直觉是一种与知觉思维相互联系的直接感受事物的心理活动,它是人脑对客观事物的一种迅速而直接的洞察或领悟;是人们自觉或不自觉地考查某一问题时,在头脑中突如其来的一种创造性设想. 直觉思维是人们非逻辑性的直接领悟(顿悟)事物本质的一种思维方式,是指不经中间的逻辑推理, 在经验和想象的基础上, 对问题做出直接的猜想或预测来进行判断的思维形式,它不按事先规定好的步骤前进, 它不依靠明确的分析活动, 而是从整体出发,猜想、跳跃、压缩思维过程, 迅速而直接地做出判断. 格式塔心理学认为直觉是对整体情境的把握. 直觉思维作为一种心理现象,是创造性思维的一个重要组成部分,心理学家认为它是创造性思维活跃的一种表现,在创造性思维活动的关键阶段起着极其重要的作用.
数学直觉思维是一种直接反映数学对象结构关系的心智活动形式, 是一种不经严密逻辑分析步骤,而对问题突然间的领悟、理解,从而给出答案的思维,其特点是缺少清晰的、确定的步骤,倾向于先对整个问题的理解为基础进行思维,人们可以获得答案却意识不到求解过程. 数学直觉思维是与数学分析思维相比较而存在的,布鲁纳认为:分析思维的特点是每个具体步骤表达得十分清晰,思考者可以把这些步骤向他人叙述,而直觉思维的特点是缺少清晰的确定步骤. 在理解或创造数学的过程中,直觉和逻辑的功用是不同的,推理链能够记载逻辑的功用,却无法记载直觉的功用. 数学直觉思维来源于丰富的经验和学识,它不只是个别天才所特有,而是一种基本的思维方式. 有时以心理学上的顿悟形式出现,实际上是认识过程的一种飞跃形式,比如:有时我们思考一个数学问题,在经过一段曲折道路之后,忽然出于某种联想而豁然开朗,或是猜到了一条证明途径,或是想到了一个解决方案……这些就是以数学直觉思维为基础所形成的顿悟.
数学直觉思维至少有以下三方面的基本特征:
(一)整体性
整体性是指对事物之间关系的整体把握,即直觉思维只考虑事物之间的关系,而不考虑每个事物的具体特征,从整体上、全局上去把握事物,是一种从大处着眼,总揽全局的思维.
(二)直观性
要从整体上把握事物之间的关系,直觉思维所用的方法是直观透视和空间整合,而不是靠逻辑的分析与综合.
(三)快速跳跃性
直觉思维要求在瞬间对空间结构关系做出判断,所以是一种快速的、跳跃的空间立体思维.
在数学教学中培养学生的直觉思维能力
数学教学中常常可以看到如下情形:题目刚刚写完,教师还来不及解释题意,学生立刻报出了答案,这显然是直觉判断的结果. 一位学生,尽管他数学基础较差,却能由三视图直接说出相应几何体的大致形状 ,问他是如何想象出来的,答:“我想应该是这样的.” 显然,这是学生通过直觉思维直截了当地想象出了正确的结论. 而这种直觉思维是充分发挥学生创造力的重要环节. 那么,如何在数学教学中培养学生的直觉思维能力呢?笔者从以下几个方面来谈谈.
(一)扎实的数学基础是数学直觉思维产生的源泉
数学直觉思维虽然具有偶然性、跳跃性,且不够严密,但绝不是空中楼阁,更不是毫无根据的胡乱猜想,而是以扎实的知识经验为基础的,知识储备越丰富、越广泛,逻辑思维能力就越强,猜对的几率也就越大.
由此可见,没有对一元二次方程的基本知识的熟练应用,就不能形成正确的直觉判断,注重知识结构化对直觉产生有深远的意义.
教师要善于引导学生在知识运用中深化概念,开拓思路,最终形成直觉思维,学生题目做得多了,自然能通过直觉思维很快地找到问题的基本特征,进而找出解决问题的方法.
(二)巧设教学情境,启发直觉思维
对新知识的学习,人们借经验在头脑中造图景和模型,以求得对新知识的理解,直觉思维可以起到“铺路搭桥”的作用.
比如,在集合这一章的教学中,不少学生搞不清 和{ }的含义. 教师可以用这样的教学情境来解释,“空箱子放入空房子,那么空房子就不空了.” 这样学生会终身难忘!“b克糖水中有a克糖,若再添加m克糖,则糖水变甜了.” 这是小学生都能明白的道理,它就是下面的真分数不等式的可靠直觉:<(b>a>0,m>0).
又如,学习数学归纳法时,可以向学生提供“多米诺骨牌”的游戏模型:只要推倒第一块骨牌,第二块骨牌就会倒下,接着第三块骨牌倒下……,传递的结果,所有的骨牌都会倒下. 通过提供具体的“递推”经验,诱发直觉思维的产生, 帮助学生建立数学归纳法的直观概念.
再如,当进行函数连续性概念的教学时,可设置这样的教学情境:温度是连续变化的,1分钟内你能感觉到温度的变化吗?如果是在0.001秒内呢?接着介绍函数连续的概念时,学生便可以借助直觉思维直接领悟其概念.
通过这样创设情境,让学生从一些生活经验出发,将学生的思维引到一个广阔的空间,培养了学生思维的广度和深度,在不知不觉中锻炼了学生的直觉思维能力.
(三)利用数形结合,诱发直觉思维
运用数形结合分析问题,把数量关系转换为直观的图形问题,借助几何知识加以解决,可以将复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而诱发直觉思维的产生.同时,在数学教学中可以恰当运用计算机辅助技术进行直观形象、生动的描述,突破时间、空间、宏观、微观的限制,能使枯燥问题趣味化,抽象问题具体化,静止问题动态化,复杂问题简单化,帮助学生在直观、形象、生动的过程中强化形数结合思想,在愉快心情中提高直觉思维能力.
(四)大胆猜想,开启直觉思维
“跟着感觉走”是大家经常说的一句话,其实这句话里已经蕴涵了直觉思维的萌芽,只不过我们没有把它上升为一种思维观念. 我们应该把直觉思维在课堂教学中明确地提出,制定相应的活动策略,从整体上分析问题的特征,指导学生进行合理的、大胆的猜想,对于学生的设想给予充分肯定.
例如选择题,因为只要求从四个选项中挑选出一个符合题意的,省略解题过程,容许合理的猜想,有利于直觉思维的发展.
同时,教师要注意创新教学设计,创设一些猜想的意境,设置一些猜想的“桥梁”,组织学生进行探索,猜想从特殊到一般的可能,让学生真正逐步探究到自己的研究对象,推动其思维的主动性.让学生放飞思维与想象,用问题打开学生思维的大门. 通过鼓励学生对问题不断地、大胆地进行猜想,从而促进他们直觉思维的养成.
如下面一个“三角形内角和定理”的学习设计.
“三角形内角和定理”小学就介绍过了,中学在学习这个定理时,重点应放在证明思路的发现上,难点是辅助线的获得.
这个方案设计了一个运动的过程,让学生感受到三角形内角的变化规律,在∠A不断运动的过程中,让学生观察、猜想并发现三角形内角和定理,这里还蕴涵了极限思想,有利于学生对数学直觉的诱发与培养.
总之,数学直觉思维的培养应该是多方面、多渠道的. 首先要掌握好扎实的基础知识,这是直觉思维产生的源泉;其次,可以通过巧设教学情境,利用数形结合等方法诱导直觉思维,还要鼓励学生大胆设想和猜测,从而开启直觉思维的大门.