圆的知识点总结.doc

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圆的总结
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；
3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线
点与圆的位置关系:
点在圆内 d<r 点C在圆内
点在圆上 d=r 点B在圆上
点在此圆外 d>r 点A在圆外
直线与圆的位置关系:
直线与圆相离 d>r 无交点
直线与圆相切 d=r 有一个交点
直线与圆相交 d<r 有两个交点

圆与圆的位置关系:
外离〔图1〕 无交点 d>R+r
外切〔图2〕 有一个交点 d=R+r
相交〔图3〕 有两个交点 R-r<d<R+r
内切〔图4〕 有一个交点 d=R-r
内含〔图5〕 无交点 d<R-r

垂径定理:
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1：〔1〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
〔2〕弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
〔3〕平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ ⑤

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD

圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，那么可以推出其它的3个结论也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE ③OC=OF ④

圆周角定理
圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即：∵∠AOB和∠ACB是 所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB=2∠ACB
圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧
即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角
∴∠C=∠D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径
即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵∠C=90°
∴∠C=90° ∴AB是直径

推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
即：在△ABC中，∵OC=OA=OB
∴△ABC是直角三角形或∠C=90°
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
即：∵MN是切线，AB是弦
∴∠BAM=∠BCA

圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形
∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180°
∠DAE=∠C

切线的性质与判定定理
〔1〕判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
〔2〕性质定理：切线垂直于过切点的半径〔如上图〕
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
∵MN是切线
∴MN⊥OA

切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线
∴PA=PB
PO平分∠BPA

圆内相交弦定理及其推论：
〔1〕相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等
即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P
∴PA·PB=PC·PA

〔2〕推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O中，∵直径AB⊥CD
∴
〔3〕切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线
∴

〔4〕割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等〔如上图〕
即：在⊙O中，∵PB、PE是割线
∴

圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦
即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点
∴O1O2垂直平分AB

两圆公切线长的计算公式：
〔1〕公切线长：在Rt△O1O2C中，

〔2〕外公切线长：CO2是半径之差；
内公切线长：CO2是半径之和
圆内正多边形的计算
〔1〕正三角形
在⊙O中 △ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB=

〔2〕正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE :AE:OA=

〔3〕正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA=

弧长、扇形面积公式
〔1〕弧长公式：

〔2〕扇形面积公式：

总结归纳：? 圆?的知识考点
圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。包括性质定理与判定定理及公式。
一、圆的有关概念
1、圆。 →封闭曲线围成的图形
2、弦、直径、切线。→直线
3、弧、半圆。 →曲线
4、圆心角、圆周角。
5、三角形的外接圆、外心。 →用到：线段的垂直平分线及性质
6、三角形的内切圆、内心。 →用到：角的平分线及性质
二、圆的有关性质〔涉及线段相等、角相等，求线、角〕
1、圆的对称性。→
2、垂径定理及其推论。
3、弧、弦、圆心角之间的关系定理
4、圆周角定理及推论。→同圆、等圆，同弧、等弧，圆周角
5、切线的性质定理。
6、切线长定理。
三、判定定理
切线的判定→两种思路：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径
四、点、直线、圆与圆的位置关系
1、点与圆的位置关系
位置关系
数量关系
点在圆外
d>r
点在圆上
d=r
点在圆内
d<r

2、直线与圆的位置关系：
位置关系
数量关系
相离
d>r
相切
d=r
相交
d<r
3、圆与圆的位置关系：
位置关系
数量关系
外离
d>R+r
外切
d=R+r
相交
R-r<d<R+r
内切
d=R-r
内含
d<R-r

五、正多边形和圆
1、有关概念
正多边形的中心、半径、中心角及其度数、边心距
2、方法思路：构造等腰〔等边〕三角形、直角三角形，在三角形中求线、角、面积。
六、圆的有关线的长和面积。
1、圆的周长、弧长
C=2r, l=
2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积
S圆=r2 ，
S扇形= ，或 S扇形= 〔即S扇形==〕
S圆锥=
3、求面积的方法
直接法→由面积公式直接得到
间接法→即：割补法〔和差法〕→进行等量代换
与 圆 有 关 的 计 算
一、周长：设圆的周长为C，半径为r,扇形的弧长为l,扇形的圆心角为n.
① 圆的周长：C＝２πR；②扇形的弧长：。
例题1．(05崇文练习一〕某小区建有如下图的绿地，图中4个半圆，邻近的两个半圆相切。两位老人同时出发，以相同的速度由A处到B处散步，甲老人沿的线路行走，乙老人沿的线路行走，那么以下结论正确的选项是( )
〔A〕甲老人先到达B处 〔B〕乙老人先到达B处〔C〕甲、乙两老人同时到达B处〔D〕无法确定
例题2．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做正三角形的“渐开线〞，其中、、…的圆心依次按A、B、C循环，将它们依次平滑相连接。如果AB=1，试求曲线CDEF的长。

例题3．〔06芜湖〕如图，线段AB∥CD，∠CBE=600，且AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm，⊙O的半径为10cm,从A到D的外表很粗糙，求⊙O从A滚动到D，圆心O所经过的距离。

例题4．如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动旋转直至回到原出发位置时，那么这个圆共转了〔 〕圈。 A 4 B 3 C 5 D 3.56.
例题5．(08大兴二模)如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．板子上的点B〔直线与圆柱的横截面的切点〕与手握板子处的点C间的距离BC的长为L，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了_________．

例题6．(08房山二模)如图，∠ACB＝，半径为2的⊙0切BC于点C，假设将⊙O在CB上向右滚动，那么当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为.

二、面积：设圆的面积为S，半径为r,扇形的面积为，弧长为l.
① 圆的面积： ②扇形的面积： ③弓形面积：
例题1．〔05丰台练习二〕如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，如果∠A＝120°，CD＝2，那么扇形OBAC的面积是____________。
例题2．〔江西省〕如图，⊙A、⊙B、⊙C两不相交，且半径半径都是.图中的三个扇形〔即三个阴影局部〕的面积之和为〔 〕
A cm2 B cm2 C cm2 D cm2
例题3．(08大兴)北京市一居民小区为了迎接2021年奥运会，方案将小区内的一块平行四边形ABCD场地进行绿化，如图阴影局部为绿化地，以A、B、C、D为圆心且半径均为的四个扇形的半径等于图中⊙O的直径，已测得，那么绿化地的面积为( ) A. 18π B. 36π C. π D. π
例题4．如图，⊙O的半径为20，B、C为半圆的两个三等分点，A为半圆的直径的一个端点，求阴影局部的面积。
例题5．(08房山)如图1是一种边长为60cm的正方形地砖图案，其图案设计是：①三等分AD〔AB=BC=CD〕②以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交AD于B、交AG于E；③再分别以B、E为圆心，AB长为半径画弧，交AD于C、交AG于F两弧交于H；④用同样的方法作出右上角的三段弧．图2是用图1所示的四块地砖铺在一起拼成的大地砖，那么图2中的阴影局部的面积是_______cm2〔结果保存〕．
例题6. (08西城)如图,在中,,AB=AC=2,假设以AB为直径的圆交BC于点D,那么阴影局部的面积是 .

例题7. (08朝阳)：如图，三个半径均为1 m的铁管叠放在一起，两两相外切，切点分别为C、D、E，直线MN〔地面〕分别与⊙O2、⊙O3相切于点A、B．〔1〕求图中阴影局部的面积；〔2〕请你直接写出图中最上面的铁管〔⊙O1〕的最低点P到地面MN的距离是______________m．
例题8．(08海淀)如图，一种底面直径为8厘米，高15厘米的茶叶罐，现要设计一种可以放三罐的包装盒，请你估算包装用的材料为多少〔边缝忽略不计〕。

三、侧面展开图：
①圆柱侧面展开图是 形,它的长是底面的 ,高是这个圆柱的 ；
②圆锥侧面展开图是 形，它的半径是这个圆锥的 ，它的弧长是这个圆锥的底面的 。
例题1．(05丰台)圆柱的高为6cm，它的底面半径为4cm，那么这个圆柱的侧面积是( )
A. B. C. D.
例题2．〔05丰台〕如果圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，那么它的侧面积是( )
A. B. C. D.
例题3．(05海淀〕如图圆锥两条母线的夹角为，高为12cm，那么圆锥侧面积为______，底面积为______。
例题4．〔05朝阳〕如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是〔 〕
A. B. C. D.
例题5.如果一个圆锥的轴截面是等边三角形,它的边长为4cm,那么它的全面积是( )
A. 8πcm2 B. 10π cm2 C. 12πcm2 D. 9πcm2
四、正多边形计算的解题思路：
正多边形等腰三角形直角三角形。
可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。
例题1．〔05朝阳〕正n边形的一个内角是，那么边数n是〔 〕
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
例题2．如图，要把边长为6的正三角形纸板剪去三个三角形，得到正六边形，它的边长为__________。
例题3．如图扇形的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形，点C、D、E分别在OA、OB、上，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，垂足为F。假设正方形的边长为1，那么阴影局部的面积为______。〔福建福州〕
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