专题复习 数学应用题的解法探求 新课标 人教版 谈数学高考复习的若干策略[整理四套含ppt课件]新课标 人教版.doc

专题复习“数学应用题的解法探求”

1. 要点综述
（1）近几年的高考试题中，每年都要出一道涉及实际应用或有实际生活背景的数学应用题。之所以这样做，主要想发挥高考指挥棒的作用，引导中学数学的教学走更加健康的道路，体现数学的工具性，实用性，引发学习者更全面地认识数学，学好数学。
（2）高考试题中的应用题，主要围绕函数知识、方程与不等式知识，数列知识，以及排列、组合知识编拟试题，这些试题可分为三种：一是教材中已出现的应用题或改编题；二是与横向学科，如：物理、化学、生物等有联系的问题；三是有实际生活背景，情境新颖的数学问题。如：金融、投资、彩票等等。
（3）高考应用题的特点：比例稳定，分值有所增加；考查力度在突出建模能力，所给材料具有原始性等方面进一步加强，同时统计图表做为数学信息的主要载体，也是高考考查的重点内容。
（4）解题方法：解数学应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语义中的数学关系，把应用问题数学化，标准化；然后利用所学数学知识解决它，这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。解题的步骤可用如下框图加以明示：

解题的关键是要过三关：
①事理关：需读懂题意，明确问题的实际背景。
②文理关：需将实际问题的文学语言转化为数学符号语言。
③数理关：需要较扎实的数学知识解决已经由前两关转化的数学问题。

2. 历年高考试题中应用题的考查情况一览表：

【典型例题】
例1. 旋客在车站候车室排队等候检票，并且排队旅客按一定速度在增加，设检票速度一定，当车站开放一个检票口时，需30分钟，可将待检旅客全部检票进站；当同时开放两个检票口时，只需10分钟，便可将旅客全部检票进站，现有一班增开列车过境载客，必须在5分钟内让旅客检票进站，问车站此时最少要同时开放几个检票口？
分析：（1）读题，寻找题意中的数量：检票速度；初始旅客人数；旅客增加速度；检票口的个数。
（2）把有关的数量用符号表示出来：设检票速度为x人/分钟，初始旅客人数为y人，每分钟旅客增加z人，开放n个检票口，可使全部旅客在5分钟进站。
（3）分析数量关系，列出关系式：开放一个检票口时，30分钟内旅客总人数等于经过检票口的人数，即y+30z=30x；开放两个检票口时，10分钟内旅客总人数等于经过检票口的人数，即
y+10z=20x；开放n个票口时，要求5分钟检票完毕，则

（4）解决数学问题：求最小的自然数n，使其满足

可见，最少开放4个检票口才能满足要求。

例2. 某地现有耕地10000公顷，规划10年后，粮食单产比现在增加22%，人均粮食含有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）

分析与解答：欲求耕地平均每年至多减少量，关键决定于人均粮食占有量，所以应该列出关于人均粮食占有量的关系式：现在的人均粮食占有量与10年后人均粮食占有量的关系。
设耕地平均每年至多减少x公顷，又设该地区现在人口为p人，粮食单产为M吨/公顷，依题意，得不等式：

∴按规划，耕地平均每年至多只能减少4公顷。
注：本试题以土地资源的变化为背景考查了不等式及二项式定理的有关知识，对计算能力有较高要求，通过该题也对学生进行了适当的国情教育，使其懂得了数学在国民经济建设中的应用价值。

例3. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资薪金，所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税的所得额。此项税款按下表分段累进计算：

某人一月份应纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A. 800～900元 B. 900～1200元
C. 1200～1500元 D. 1500～2800元
分析：该题涉及当前社会中个人所得税的计算方法，材料新颖，贴近生活，也是对学生进行税法教育的好材料。
计算薪金所得的关键是计算出薪金为900，1200，1500时的应纳税额：
薪金为900元时，应交个人所得税为：

薪金为1200元时，应交个人所得税为：

薪金为1500元时，应交个人所得税为：

可见这人的工资薪金所得介于1200元与1500元之间。

例4. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后，从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。（A、B孔的面积忽略不计）

分析与解答：该题以污水处理为背景，考查了建立函数模型求最小值的问题。

数，欲求y的最小值，只需求ab的最大值。

∴当a=6米，b=3米时，经该箱沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
例5. 银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；
乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元。
两方案使用贷款期限均为10牛，到期一次性归还本息。若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多？（计算结果精确到千元，参考数据：1.110=2.594，1.310=13.797）
分析：经济活动中，诸如增长率、利息、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，常常可归结为数列问题。本题涉及到银行的利息问题，因此可利用数列的知识解决它，欲判断甲、乙两个方案哪个获利更多，只需分别计算出甲、乙方案中生产利润，再减去银行的贷款，即可比较获利多少。
甲方案10年的生产利润为

到期时银行贷款本息为：
，
故甲方案的获利为42.65－25.94=16.7（万元）。
乙方案10年的生产利润为

到期时银行贷款的本息为

比较可知，甲方案获利多于乙方案获利。
例6. 如图，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减落后输出。

（I）输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需要多少对轧辊？

（II）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为160mm，若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk，为了便于检修，请计算L1、L2、L3，并填入下表，（轧钢过程中，带钢厚度不变，且不考虑损耗）

分析：本题关键是正确理解轧钢过程中，带钢每经过一个轧辊的厚度变化规律，若考查连续几对轧辊，发现带钢厚度的值成等比数列。
（I）厚度为α的带钢经过减薄率为r0的第一对轧辊后，厚度变为α（1－r0），再经过第二对轧辊后，其厚度变为α(1－r0)2，因此经过第n对轧辊后，带钢厚度为
。

（II）第k对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两个疵点之间带钢体积为

而在冷轧机出口处两疵点之间的带钢体积为

用带钢宽度相等，且无损耗，由体积相等，得

［小结］
例1、例2是侧重方程、不等式建模的应用题，关键是找出题意中的相等或不等关系，列出方程式或不等式；例3、例4则是侧重函数建模的应用题，其中例4中在求函数最值时，还应用了均值不等式，也是对不等式的考查；例5、例6，则侧重考查了利用数列知识解决实际问题的能力，这种题目的关键是寻找通项表达式。无论哪种数学建模应用题，最重要的还是需要在“具体问题，具体分析”的思想指导下，认真审题，抓住题意中的数量关系（剥去应用题的神秘外衣），用数学语言（数式、方程、不等式、函数、数列…），将这些关系表达出来，化归为数学问题，再利用数学知识，数学方法解之，从而可得原问题的答案。

【模拟试题】
一、选择题：
1. 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同选法共有（ ）
A. 1260种 B. 2025种 C. 2520种 D. 5040种
2. 某地的一个企业的产值，连续三年连续增长，这三年的增长率分别为x，y，z，则这三年的年平均增长率为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 某产品的总成本y（万元）与产量（台）之间的函数关系是 ，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是（ ）台
A. 100 B. 120 C. 150 D. 180
4. 某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1。参加抽奖的顾客从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个号码中任意抽出六个号码组成一组，如果顾客抽出的六个号码中至少有5个号码与摇出的号码相同（不计顺序），就可得奖，一位顾客可能抽出的不同号码组共有m组，其中可以中奖的号码组有n组，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 某旅店共有客床100张，各床每晚收费10元时可全部客满，若每床每晚收费提高2元，便减少10张客床租出，再提高2元，则又减少10张客床租出，依次变化，为了减少投入，多获利，每床每晚收费应提高（ ）
A. 2元 B. 4元 C. 6元 D. 8元
二、填空题：
6. 有一座抛物线型拱桥，高水位时，拱顶离水面2米，此时水面离4米，当水面下降1米后，水面宽___________米。
7. 建造一个容积为8米3，深2米的长方体无盖水池，若池底、池壁的造价为每平方米120元和80元，则水池最低总造价为___________元。
8. 1992年底世界人口达54.8亿，若人口的年均增长率为x%，2000年底世界人口数为y亿，则x，y的函数关系式是_____________。
9. 某种饮料分两次提价，提价方案有三种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：每次提价，若p>q>0，则提价最多的方案是___________。
10. 某地1990年底人口为500万，人均住房面积为6米2，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2000年底该地区人均住房面积为7米2，平均每年新增住房面积至少为
___________平方米。

三、解答题：
11. 某罐装饮料厂为降低成本，需将制罐材料减少到最少。假设罐装饮料筒为圆柱体（视上、下底为平面），上、下底半径为r，高为h，若容积为V，上、下底厚度分别为侧面厚度的2倍，试问当r与h之比是多少时，用料最少？
12. 某人年初向银行贷款10万元用于买房。
（I）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元（精确到1元）？
（II）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算，仍分10次等额归还，每年一次，问每年应还多少元（精确到1元）？

[参考答案]

1. C
提示：（法一）先选后分配：从10人中选出4人，共种选法；再从这4人中选出2人承担甲任务，从剩余的2名中选1人承担乙任务，剩余的1人承担丙任务，由乘法原理，共有种选法。
（法二）直接分配：从10人中选2人承担甲任务，有种选法；从剩余的8人中任选1人承担乙任务，有种选法；丙从剩余的7人中任选1人承担丙任务，由乘法原理，共有种选法。
2. C
提示：设年平均增长率为u，三年前产值为a，则有

解出
3. C
提示：设不亏本时的最低产量为n台，则
，
解不等式，得
可见，当（台）时，销售额不小于成本，即不亏本。
4. D
提示：从10个号码抽取6个号码的组合有种，即，
其中能中奖的号码组有：，即n=25，
所以 。
5. C
提示：设每晚每床收费增加x元，则总收入y与x之间关系为

显然当x=4或6时，y都取最大值，即每床每晚收费提高4元或6元后，获利相等且最大，考虑到投入较少，即出租的床位较小又获利最大，故取x=6元。

二、填空题：
6. 水面宽为米。
提示：取拱顶为坐标原点，拱形桥的对称轴为y轴建立直角坐标系，

设抛物线方程为，（p>0）
依题意，该抛物线过点（2，－2），依此求出p=1，
∴抛物线方程为
水面下降1米，即抛物线过纵坐标为－3的点
∴，得，从而水面宽为米。
7. 水池最低总造价为1760元。
提示：设水池的长、宽分别为x米、y米，

则 ①
总造价为

当米，即水池的长与宽相等时，水池总造价最低。
8. 。
9. 提价最多的方案为丙方案
提示：设商品原价为1，则提价后的价格为
甲：，
乙：，
丙：
∵
∴
∴丙方案提价最多。
10. 平均每年新增住房面积至少为87万平方米。
提示：设平均每年新增住房面积至少为x万平方米，则

解得万平方米

三、解答题：
11. 解：依题意，易得，∴
设制罐材料的比重为ρ，侧面厚度为d，则用料为

当且仅当，即时，上式取等号，即M取最小值。
综上可知，当r：h=1：4时，用料最少。
[注]这是一道源自课本，又经过改编的一道数学应用题，题意明了，数量关系明确，因此属于难度较低的应用问题，但此题能很好地考查均值不等式的使用技巧，也是一道不错的题目。
12. 解：（I）设每年应还x元，依题意，有

即
解得（元）
因此，若不计复利，每年应还12245元。
（II）设每年应还y元，依题意，有

即
解得（元）
因此，若计复利，则每年应还12330元。