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幂函数习题
一．教学目标：
1．知识技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.
2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.
3．情感、态度、价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．重点、难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
5．学法与教具
（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;
（2）教学用具：多媒体
三．教学过程：

　　函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展同学们的思维．
　　一、分类讨论的思想
　　例1　已知函数的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．
　　解：因为图象与y轴无公共点，故，又图象关于y轴对称，则为偶数，由，得，又因为，所以．
　　当时，不是偶数；
　　当时，为偶数；
　　当时，为偶数；
　　当时，不是偶数；
　　当时，为偶数；
　　所以n为，1或3．

　　此时，幂函数的解析为或，其图象如图１所示．

　　二、数形结合的思想
　　例2　已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．
　　问当x为何值时有：（１）；（２）；（３）．
　　分析：由幂函数的定义，先求出与的解析式，再利用图象判断即可．
　　解：设，则由题意，得，
　　∴，即．再令，则由题意，得，
　　∴，即．在同一坐标系中作出
与的图象，如图2所示．由图象可知：
　　（1）当或时，；
　　（2）当时，；
　　（3）当且时，．
　　小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中的隐含条件．
　　三、转化的数学思想
　　例3　函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（　　）．
　　Ａ．
　　Ｂ．
　　Ｃ．
　　Ｄ．
　　解析：要使函数的定义域是全体实数，可转化为对一切实数都成立，即且．
　　解得．　故选（Ｂ）
　　例1　已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式．
　　分析：函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式．
　　解：∵是偶函数，∴应为偶数．
　　又∵，即，整理，得，∴，∴．
　　又∵，∴或1．
　　当m=0时，为奇数（舍去）；当时，为偶数．
　　故m的值为1，．
　　评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．

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