高中数学 第四章 数系的扩充 复数的概念要点解读素材 北师大版选修1-2 课件.doc

复数的概念要点解读
一、复数的基本概念：
为了解决有解这一问题，引进了新数i；
1）虚数单位：i叫做虚数单位，并规定：
①它的平方等于-1，即；
②和无理数相似，虚数单位i可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加，乘运算律仍然成立。
规定：，这时任何一个实数a都可以写成的形式。
2）复数：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数（）
a和b分别叫做复数z的实部和虚部，分别用Rez（Real）和Imz（Imaginary）表示。
全体复数所成的集合称为复数集一般用字母C表示（Complex numbers）。
当b=0时，就是实数；当b≠0时叫虚数；当a=0，b≠0时，叫做纯虚数。
引入新数i（虚数单位）后，我们将数系由实数集扩充到了复数集，从而完成了数系的最后一次扩展。
二、几个基本要点
1、正确认识复数的实部与虚部
对于复数，实部是，虚部是．注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是,复数的实部和虚部都是实数．
说明：对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助．
2、关于复数能否比较大小分析
教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：
①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：
(i)对于任意两个实数a， b来说，a＜b， a=b， b＜a这三种情形有且仅有一种成立；
(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；
(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；
(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)
3、在讲复数集与复平面内所有点所成的集合对应时注意事项
①任何一个复数都可以由一个有序实数对()唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对()叫做复数的．
②复数用复平面内的点Z()表示．复平面内的点Z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是．由于=0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度．
③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()( )都是表示纯虚数．但当时，是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．
由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．
④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．
4、正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：
①设，则为实数
②为虚数
③且．
④为纯虚数且
5、关于共轭复数的概念
设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数（不能认为与或是共轭复数）．
教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当时，与互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．