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第五讲 一次函数与生活
第一课时 一次函数在生活中的应用
一次函数是初中数学的核心内容，也是重要的基础知识和重要的数学思想，不仅与高中知识有着密切的联系，而且还与生活中的实际问题有着极为广泛的联系，是联系数学知识与实际问题间的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可缺少的重要内容。现以2007年的中考题目为例，浅析一次函数在生活中的应用。
) J0 L% q: n! O1 u6 U+ ~高中数学响当当 QQ1群：30646951 二群：214224392   三群：  1962一、 用水用电问题
" z2 g( ~3 a/ G+ D# e4 J高中数学，感恩励志，趣味数学，兴趣数学　　 * A" I. W. I# E6 P7 C  I8 t8 @高中数学响当当 QQ1群：30646951 二群：214224392   三群：  1962例1、为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过120度时，电价为a元/度；超过120度时，不超过部分仍为a元/度，超过部分为b元/度。已知某用户五月份用电115度，交电费69元，六月份用电140度，交电费94元。 高中，数学，趣味，高考，基础题，感恩，励志，免费　　（1）求a，b的值；
6 G! D3 n- h/ a7 Y4 y+ ]5 R  {/ t& Q高中数学，感恩励志，趣味数学，兴趣数（2）设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元）。
+ R/ o) |9 q7 n; y' v; F4 F　　①分别求出0≤x≤120和x＞120时，y与x之间的函数关系式；
  t6 R# s/ E* ?, H  m" |; m9 G高中数学响当当 QQ1群：30646951 二群：214224392   三群：  196293004　　②若该用户计划七月份所付电费不超过83元，问该用户七月份最多可用电多少度？（2007年福建省三明市）
" V1 X1 b8 W5 Z  Y! F* |　　解：（1）根据题意，得
! |3 r1 S9 i" l1 　　115a=69，120a+20b=94.解这个方程组，得a=0.6，b=1.1.
6 _* v# r7 o% L( l% l高中数学响当当 QQ1群：30646951 二群：214224392   三群：  196293004　　（2）①当0≤x≤120时，y=0.6x.
- P3 y+ U: E! J2 P& l  B+ 　　当x＞120时，y=120×0.6+1.1（x-120），即y=1.1x-60.
3 h# T$ n5 d. r% p: O! m: n3 q& |4 P高中数学，感恩励志，趣味数学，兴趣数学　　② ∵83＞120×0.6=72，∴y与x之间的函数关系式为y=1.1x-60.． 高中，数学由题意得：1.1x-60≤83所以 x≤130.
# S$ T6 N) p- f( R) |: B$ P高中，数学，趣味数学，兴趣数学，高考，基础题，感恩，励志，免费下载　　∴该用户七月份最多可用电130度．
$ {. V4 F# G/ O5 O' w1 K  P$ G高中，数学，趣味，高考，基础题，感恩，励志，免费下载　　【评析】随着人民生活水平的提高，家庭电器化已基本普及，为鼓励居民节约用电用水，节能降耗，采取了居民用电、用水分段计价的办法进行收费。解决此类问题的关键是把实际问题建构为一次函数的数学模型，并通过数学的方式把问题解决。5 [  ~, W. e7 g3 o- Q; N; Q: Lxiangdd.5d6d.co
二、 医疗保险问题
例2、为了增强农民抵御大病风险的能力，政府积极推行农村医疗保险制度．我市某县根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民住院医疗费用的报销规定：享受医保的农民可在定点医院住院治疗，由患者先垫付医疗费用，住院治疗结束后凭发票到县医保中心报销．住院医疗费用的报销比例标准如下表：
& y- d; x  g( [/ ~7 ]高中，数学，趣味数学，兴趣数学，高考，基础题，感恩，励志，免费下载　　 （1）设某位享受医保的农民在一次住院治疗中的医疗费用为x元（x＞100），按规定报销的医疗费用为y元，试写出y与x的函数关系式。
（2）若该农民在这次住院治疗中的医疗费用为1000元，则他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为多少元。 （2007年邵阳市）
- G: y9 K. a* W9 G0 w5 }高中数学响当当 QQ1群：30646951 二群：214224392   三群：  196293004　　解：（1）y=（x-100）×60%=0.6x-60（x＞100）
（2）当x=100元时，y=0.6x×1000-60=600-60=540（元）
$ c* [& D7 M" E, p" A; @/ [高中数学，感恩励志，趣味数学，兴趣数学　　1000-540=460（元）
% X: m6 F$ e: ]高中数学响当当 QQ1群：30646951 二群：214224392   三群：  196293004　　答：他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为540元和460元。
8 E! T3 r1 _( A4 M, a高中数学，感恩励志，趣味数学，兴趣数学　　【评析】在新农村建设中，各级政府切实为农民办好事、办实事，为解决农民看不起病的实际问题，为了增强农民抵御大病风险的能力，政府积极推行农村医疗保险制度，使农民也享受医保待遇，这充分体现党和政府对人民群众的关怀。　　
三、 义务纳税问题+ ^* q- w5 C8 E, i3 z　　
例3、新《个人所得税》规定，公民全月工薪不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得税额，此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过500元部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
……
……
费先生5月份的工薪为1800元，他应缴纳税金多少元？
（1）设某人月工薪为x元（1600＜x＜2100)，应缴纳税金为y元，试写出y与x的函数关系式，
8 [# L0 e$ n- E) @- V高中，数学，趣味数学，兴趣数学，高考，基础题，感恩，励志，免费下载　　（2）若费先生5月份缴纳税金不少于160元，也不多于175元，试问费先生该月的工薪在什么范围内？（2007年岳阳市）
( \/ L* v/ F, s高中数学响当当 QQ1群：30646951 二群：214224392   三群：  196293004　　解 （1）（1800-1600）×5%=200×5%=10（元）
（2）（x-1600）×5%=0.05x-80（1600＜x＜2100）
（3）160≤500×0.05+（x-2100）×10%≤175
　　3450≤x≤3600
　　答：费先生该月的工薪在不少于3450元，也不多于3600元范围之内。
生活中的应用
1、某移动通信公司开设了两种通讯业务．“全球通”：使用者先交50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“快捷通”：不交月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别为y1和y2元．某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通讯合算些？
2.小明的妈妈去菜市场买菜时带了个弹簧秤,弹簧的自身长度为12厘米,每挂上1千克重物时，弹簧秤就伸长0.5厘米. （在弹簧的弹性限度内）
（1）那么现在弹簧秤的长度是15.5厘米时,挂的重物的质量是多少?
（2）挂10千克的重物时,弹簧长度是多少?
（3）你能写出弹簧的长度ycm与重物的质量
xkg之间的函数关系吗？

第二课时 一次函数与经济决策
现实生活中的很多问题，往往可以把它归纳为函数这种模型来解决。它要求我们通过阅读理解，抽象出函数关系，将文字语言转化成数学语言，建立函数的解析式，这类问题常需要函数性质确定最隹方案。
下面我们来看两个实际问题：
例1 某化工厂生产某种化肥，每吨化肥的出厂价为1780元，其成本为900元，但在生产过程中，平均每吨化肥有280立方米有害气体排出，为保护环境，工厂需对有害气体进行处理。现有两种处理方案可供选择：
方案① 将有害气体通过管道送交废气处理厂统一处理，则每立方米需付费3元；
方案② 若自行引进处理设备处理有害气体，则每立方米需原料费0.5元，且设备每月管理、损耗费用为28000元．
请你通过计算分析工厂应如何选择处理方案才能获得最大利润．
（注：利润＝总收入－总支出）
解：设工厂每月生产化肥x吨，每月利润为y元．由题意，得
（1）方案①：y1=(1780-900-3×280)x=40x；
方案②：y2=(1780-900-0.5×280)x-28000=740x-28000．
（2）由y1>y2，得x<40；由y1=y2，得x=40；由y1<y2，得x＞40．
因此，当产量小于40吨时，应选择方案①；当产量等于40吨时，两种方案均可；当产量大于40吨时，应选择方案②．
例2　（2004年广西中考题）某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：
作物品种
每亩地所需职工数
每亩地预计产值
蔬菜
1/2
1100元
烟叶
1/3
750元
小麦
1/4
600元
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．
解：设种植蔬菜x亩，烟叶y亩，则小麦（50－x-y）亩．
由题意，得1/2x+1/3y+1/4(50-x-y)=20，
即3x+y=90．
∴y=90-3x．
再设预计总产值为w，则w＝1100x+750y+600(50-x-y)=500x+150y+30000，
把 y=90-3x代入上式，得 w=43500+50x，
又∵y=90-3x≥0，
∴0<x≤30且为偶数．
由一次函数性质可知，当x=30时，y=0.50-x-y=20，w=45000 (元)．
此时种蔬菜的人数为15人，种小麦的人数为5人．
故种蔬菜30亩，小麦20亩，不种烟叶，这时所有职工都有工作，且农作物预计总产值达到45000元．
以上几例都是经济决策性问题，一般地我们只要列出相关的算式或建立函数解析式，然后通过算式的大小比较或确定函数的最值就可以作出相应的决策。

生活中的应用
1. 如下表所示，为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只能装一种蔬菜）

甲
乙
丙
每辆汽车满装的吨数
2
1
1.5
每吨蔬菜可获利润（百元）
5
7
4
公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售（每种蔬菜不少于一车），如何安排装运，可使公司得到最大利润？最大利润是多少？
2. 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关。如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人运动时所能承受的的每分钟心跳的最高次数，那么．
（1）正常情况下，一个16岁的学生在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
（2）一个50岁的人运动时，10秒心跳的次数为20次，他有危险吗？
3. 某校准备在甲、乙两家公司制作一批校庆纪念册．甲公司提出：每册收材料及加工费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料及加工费8元，不收设计费．
(1)写出制作纪念册的数量（本）与甲公司的收费额（元）之间的函数关系式；
(2)写出制作纪念册的数量（本）与乙公司的收费额（元）之间的函数关系式；
(3)如果学校派你去甲、乙两家公司订做纪念册，你会选择哪家公司？