数的整除知识要点和例题讲解.doc

 要点考点

 一、整数和除尽的联系和区别
 整除和除尽，它们所除的结果都没有余数，这是它们的共同点。“除尽”包括“整除”，“整除”是除尽的一种特殊情况。
二、整除数的特征

    1．能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8。
    2．能被5整除的数的特征：个位上是0或5。
    3．能被3(或9)整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3(或9)整除，这个数就能被3(或9)整除。例如：6，12，108，204，354都能被3整除，其中108又能被9整除。
    注意：能被3整除的数不一定能被9整除，但能被9整除的数一定能被3
整除。
三、 质数和合数
    1．一个数只有l和它本身两个约数，这个数叫做质数(素数)。
    2．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
    3．1既不是质数，也不是合数。
  4．自然数按约数的个数可分为：1、质数、合数。
5．自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数。

四、分解质因数
    1．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。例如：18=3×3×2，3、3和2叫作18的质因数。
    2．把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。
    3．特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。
    (1)如果几个数中，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数，则较大数是它们的最小公倍数；较小数是它们的最大公约数。
(2)如果几个数两两互质，则它们的最大公约数是1，最小公倍数是这几个数连乘的积。
五、名师讲解
    例1：下面的式子中哪个表示除尽，哪个表示整除?
    A．6÷0．5=12    B．10÷0．2=50    C．5÷10=0。5
    D．38÷19=2    E．1÷7=1/7
    [分析]根据除尽的概念可知，算式A、B、C、D的余数都为零，所以A、B、C、D
都属于除尽。整除不仅要求余数为零，而且被除数、除数、商都必须是自然数，所以
符合整除的只有D。
[解]A、B、C、D是除尽。D是整除。

    例2：下面哪些数能被2整除，哪些数能被3整除，哪些数能被5整除，哪些数
能被2，5同时整除，哪些数能同时被2，3，5整除?
    18，35，50，57，90，102，210。
    [分析]个位上是0，2，4，6，8的数都能被2整除；个位上是“0”或“5”的数都能
被5整除；一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除；个位上是“0”的数能被2，5同时整除；个位上是0，并且各个数位上的数的和能被3整除，这个数才能被2，3，5同时整除。
    [解]能被2整除的数：18，50，90，102，210。
    能被3整除的数：18，57，90，102，210。
    能被5整除的数：35，50，90，210。
能被2，3整除的数：18，90，102，210。
能被2，3，5整除的数：90，210。

例3：在0，1，2，3，5．0，9，25，111，0．5这些数里，(    )是整数，(    )是
奇数，(    )是质数，(    )是合数，(    )是偶数，(    )既不是质数也不是合数。
    [分析]分析中要紧扣概念，整数包括自然数、0，还有中学我们要学习的负整数；奇数就是不能被2整除的数，也就是平时常说的单数；偶数就是能被2整除的数，也即双数；只有l和它本身两个约数的数叫质数；除了l和它本身还有其他约数的数叫合数。1只有它本身一个约数，所以l不是质数，也不是合数，但它是整数、自然数、奇数。
    [解](0，1，2，3，9，25，111)是整数。
    (1，3，9，25，111)是奇数。
    (2，3)是质数。
    (9，25，111)是合数。
    (0，2)是偶数。
    (1)既不是质数，也不是合数。
    [注意]5．0，0．5是小数，判断一个数是否是质数、合数、奇数、偶数必须是在自
然数范围内讨论，所以5．0，0．5不在此范围之内。
例4：把420分解质因数是(    )。
    A．420=2×2×3×5×7    B．420=2×2×3×5×7×1
    C．420=4×3×5×7    D．2×2×3×5×7=420
    [分析]B式中1不是质数，C式中4是合数，D式中违背了分解质因数的意义，是合并质因数，A式中2，3，5，7，均为质数，又符合分解质因数的意义，所以A式是正确的。
    [解]A是正确的。