浅谈数学知识在物理中的运用.doc

浅谈数学图像在物理解题中的应用
镇江崇实女子中学 步国平
物理和数学是紧密联系的，应用数学处理物理问题的能力是高考要求的五种能力之一，近几年的高考均对该能力提出了较高的要求。图像是一种特殊且形象的数字语言和工具。它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种想象的物理过程和物理规律。物理图像不仅可以使抽象的概念直观形象，动态变化过程清晰，物理量之间的函数关系明确，而且在解题过程中提高速度，使复杂的运算过程简化。
应用图像解题时要注意图像“斜率”、“面积”、“截距”、“坐标”等的特定意义，真正做到“慧眼识图”、“巧手画图”、“活脑用图”。
一．慧眼识图
识图就是给出一个图像，能明白此图是什么样的图像，它反映出什么样的规律？它给我们提供了哪些信息？等等。
【例1】（03全国）如图1所示为一根竖直悬挂不可伸长的轻绳，下端栓一小物体A，上端固定在C点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连。已知有一质量为mo的子弹B沿水平方向以速度vo射入A内（未穿透），接着两者一起绕C点在竖直平面内作圆周运动。在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力F随时间t的变化关系如图2所示。已知子弹射入的时间极短，且图2中t=0为A、B开始以相同的速度运动的时刻。根据力学规律和题中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的物理量（例如A的质量）及A、B一起运动过程中的守恒量，你能求得那些定量的结果？
5t0
3t0
t0
Fm
解答：此题为2003年全国高考试卷第19题，本题的得分率并不是很高，究其原因是考生不能准确地从所给图像中获取有用的信息。由图2直接看出A和B作为一个整体绕C点一起做周期性的圆周运动，其周期T = 2 t0，并根据竖直面内圆周运动的规律可知绳子在最高点和最低点的拉力分别为0和Fm，这样本题就顺其自然地可以解出：
·　·　·　·①
令m表示A的质量，l表示绳长，v1表示B射入A后A和B的共同速度（即最低点的速度），v2表示运动到最高点的速度，在A射入B时，根据动量守恒定律得：

在最低点和最高点根据圆周运动的规律可得：
·　· ②

·　· ③

从最低点到最高点的过程中，若以最低点为势能零点，则由机械能守恒定律可得：
· ·④

由上述4式可以解得，反映系统性质的物理量及A、B一起运动过程中的守恒量（机械能E）：
， ，
【例2】（03 江苏）己知人和雪橇的总质量m=75kg，沿倾角θ=370且足够长的斜坡向下滑行，滑动时雪橇所受的空气阻力N与速度v成正比，比例系数k（即空气阻力系数）未知，从某时刻开始计时，测得雪橇运动的图线v— t如图中的曲线AC所示，图中BC是平行于时间轴的直线，AD是过A点所作的曲线AC的切线。（sin370=0.6，cos370=0.8，g =10m·s -2 ）。求：
（1）说明雪橇的运动情况。（作什么运动？加速度如何变化？速度如何变化？）
（2）当雪橇的速度v =5 m·s –1时，其加速度为多大？
（3）空气阻力系数k和动摩擦因数μ分别为多大？
解答：这是一道考查学生识别图像的好题，首先明确该图为速度时间图像，图线上每点所对应物体运动的加速度在数值上等于通过该点切线的斜率。则由图线可知雪橇先做加速度逐渐减小的加速直线运动，然后做匀速直线运动（速度为10 m·s –1）。并由图像和数学知识可知当雪橇的速度v =5 m·s –1，其加速度为2.5 m·s –2。
根据图中的两个特殊位置（速度为5 m·s –1和10 m·s –1）及牛顿定律列出方程组：

代入数据得：
75×10×0.6－5k－μ75×10×0.8=10×2.5
75×10×0.6－10k－μ75×10×0.8=10×0
于是可以得：k = 37.5 ，μ= 0.125
二．巧手画图
画图，就是在所给的条件下画出必要的图像，或者画出必要辅助线（例如轨迹）。画图过程中要注意坐标、正方向、临界点及画图的准确性。
【例3】（03北京）如图所示，空间分布着场强为E的匀强电场和匀强磁场B1、B2，且磁场强度大小为B1=B2=B，磁场B2的区域足够大，电场宽度为L。以带电粒子质量为m，电量为q，不计重力，从电场边缘A点由静止释放该粒子经电场加速后进入磁场，穿过磁场B1区域（图中虚线为磁场分界线，对粒子运动无影响。）进入磁场B2，粒子能沿某一路径再次返回A点，然后重复上述运动过程。
求：磁场B1的宽度d
解答：此题能否得分，关键是能不能把图画好、画对。根据题意和粒子在电场和磁场中的运动规律可知：粒子经电场加速进入磁场B1后做部分圆周运动，然后进入磁场B2做部分圆周运动，再进入磁场B1做部分圆周运动，最后经电场减速又回到A 点，并且在磁场B1和磁场B2中做圆周运动的半径相等，都为 （v为经电场加速后粒子的速度， ）。
这样画出粒子的轨迹如图中虚线所示。于是可得：

【例4】（03北京）如图所示有两个匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，宽度都为2L。在同一平面内，有一总电阻为R、边长为L的正方形导体线圈abcd，以速度v匀速通过两个磁场区域。从bc边进入磁场开始计时，试回答下列问题，用图像表示出来：
(1)线圈的磁通量φ随时间t如何变化？
(2)线圈中电流I随时间t如何变化？
解答：本题得分率比较低，原因在于考生不能很好的把握线圈在磁场中特殊的位置点（如图中虚线表示的位置）。本题可根据题意把整个过程从时间上分成五段即0～L/v（bc边进磁场到ad边进磁场）、L/v～2L/v（整个线圈都在前磁场中）、2L/v～3L/v（bc边进后磁场直到ad边进入后磁场）、3L/v～4L/v（整个线圈都在后磁场中）、4L/v～5L/v（bc边出后磁场直到ad边出后磁场）五个时间段，根据磁通量的公式φ=B·S（注意在t=5L/2v这个时刻线圈的磁通量为零）可以得到磁通量φ随时间t的变化关系（如图）。
由法拉第电磁感应定律可以得到线圈中电流I随时间t的变化关系（注意在第三时间段的感应电流）。（如图）
三．活脑用图
用图，就是运用图线处理有关物理问题。在解题过程中运用图像往往会得到意想不道的效果，同时也培养了考生的分析问题能力和解决问题能力。
【例5】（竞赛题）如图1所示，两个质量完全一样的小球，从光滑的a管和b管由静止下滑，比较两球所用时间长短。
解答：根据机械能的知识可以知道，两小球滑到底端的速度大小是完全一样的。我们用速度——时间图像来巧解该题。如图2所示，该图像应满足两点，一是最后他们速度的大小相等，二是a线与b线与时间轴所围的“面积”，即位移的大小要相等。这样由图可知，ta>tb。