中考数学易错题专题复习统计与概率.doc

统计与概率
易错点1：全面调查与抽样调查的适用范围易分不清楚.
易错题1：下列调查：①了解某市中小学生的视力情况；②了解某市中学生课外阅读的情况；③了解某市百岁以上老人的健康情况；④了解某市老年人的生活条件情况.其中适合采用抽样调查的有……………………………………………………………………………（ ）
A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④
错解：A
正解：C
赏析：对常采用抽样调查的一些情形判断不清是造成本题错解的主要原因.常采用抽样调查的情形有：①受客观条件限制，无法对所有个体进行全面调查，如调查某市中小学生的视力情况；②调查具有破坏性，不允许全面调查，如调查某批炮弹的杀伤半径；总体容量较大，个体分布较广，如某市青年在外创业的情况.同时，还应注意抽样调查的一些要求：一是抽取的样本要有代表性；二是抽取的样本数目不能太少.
易错点2：对平均数、中位数与众数的概念理解不透彻，计算易出错.
易错题2：某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加课外体育锻炼的时间，列表如下：
锻炼时间（小时）
5
6
7
8
人数
3
7
4
1
则这15名学生一周在校参加课外体育锻炼时间的中位数和众数分别是…………（ ）
A.6.5，7 B.7，7 C.6.5，6 D.6，6
错解：A
正解：D
赏析：造成出错的原因是对中位数与众数的概念理解不清.众数是指出现次数最多的数据而不是指次数，求中位数一定要把数据先按大小顺序排列，再取正中间的一个数据或正中间两个数据的平均数作为中位数.本题中，第＝8个数据即为中位数，∵3＜8＜3＋7，∴第8个数据是6，即中位数为6；数据6出现的次数是7，次数最多，∴众数是6.
易错点3：方差的概念及计算易出错.
易错题3：甲、乙、丙三组各有7名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是58，方差分别为＝35，＝24.5，＝15.则数据波动最小的一组是_____________.
错解：甲
正解：丙
赏析：对描述数据离散程度的特征数----方差理解出错，从而本题出现错解.一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小.本题中，∵15＜24.5＜35，∴＜＜，故填丙.
易错题4：我校八年级（1）组织了一次英语风采大赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：（单位：分）
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的众数是___________分，乙队成绩的中位数是_____________分.
（2）请从平均数和方差两方面判断，谁的成绩更好些.
错解：（1）10,9；
（2）∵(7×2＋8＋9×2＋10×5)＝9（分），
(7＋8×2＋9×3＋10×4)＝9（分），
[2×(7－9)2＋(8－9)2＋2×(9－9)2＋5×(10－9)2]＝1.4，
[(7－9)2＋2×(8－9)2＋3×(9－9)2＋4×(10－9)2]＝1.4，
∴，，
∴从平均数和方差两方面判断，两人的成绩一样好.
正解：（1）10,9；
（2）∵(7×2＋8＋9×2＋10×5)＝9（分），
(7＋8×2＋9×3＋10×4)＝9（分），
[2×(7－9)2＋(8－9)2＋2×(9－9)2＋5×(10－9)2]＝1.4，
[(7－9)2＋2×(8－9)2＋3×(9－9)2＋4×(10－9)2]＝1，
∴，，
∴从平均数和方差两方面判断，两人的成绩一样好.
赏析：本题错误的原因是从乙的方差计算开始出错，从而导致结果判断不正确.一组数据的平均数计算公式是＝，方差的计算公式是s2＝.这类问题通常先计算平均数，然后计算方差，再分别比较平均数和方差的大小，综合判断，得出结论.从计算平均数开始，每一步都要认真仔细，否则接下来的步骤就跟着出错.
易错点4：两步及两步以上简单事件的概率求法；用树状图或列表的方法表示各种等可能的情况.
易错题5：在﹣2，﹣1，1，2这四个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝的图象在第一、三象限的概率是____________.
错解：
正解：
赏析：本题对概率的概念理解不透彻，误以为正负各两个数，概率就为，从而出错.其实，从四个数中任选两个，可列表如下：【版权所有：21教育】

﹣2
﹣1
1
2
﹣2

（﹣2，﹣1）
（﹣2，1）
（﹣2，2）
﹣1
（﹣1，﹣2）

（﹣1，1）
（﹣1，2）
1
（1，﹣2）
（1，﹣1）

（1，2）
2
（2，﹣2）
（2，﹣1）
（2，1）

或画树状图如下：

共有12个等可能情况，其中积为正的情况有4种，所以概率P＝＝.
易错点5：用概率判断游戏是否公平；复杂事件的概率求法.
易错题6：如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等.
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为_____________.
（2）甲、乙两人利用这个转盘做游戏，若采用下列规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若第一次数字大于第二次数字，则甲胜；否则，乙胜.你认为这个游戏规则对两人公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由.
错解：（1）
（2）列表如下：

1
2
3
1

（2,1）
（3,1）
2
（1,2）

（3,2）
3
（1,3）
（2,3）

所有情况共6种，第一次数字大于第二次数字、第一次数字小于第二次数字各三种.
∴P（甲）＝，P（乙）＝，∵＝，∴该游戏公平.
正解：（1）
（2）根据规则，将所有可能情况列表如下：

1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
或画树状图如下：

所有等可能情况共9种，第一次数字大于第二次数字的情况有3种，第一次数字不大于第二次数字的情况有6种.
∴P（甲）＝，P（乙）＝，∵＝，∴该游戏不公平.
赏析：本题错在第（2）小题中，对游戏规则的理解错误，从而造成本小题错解.游戏是否公平的问题实际上是概率是否相等的问题，所以准确求出有关的概率是解决此类问题的关键.
易错点6：从图表中获取信息；统计与概率的综合应用.
易错题7：为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目.为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①、②的统计图.请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）请计算本次调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生.现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率.

错解：（1）60÷（1－10%－20%－40%）＝200(名)；
（2）本次调查中喜欢“立定跳远”的学生人数为：200－15－60－40＝95（名），
所占百分比为：×100%＝47.5%，
两个统计图补充如下：

（3）用A表示男生，B表示女生，列表如下：

A1
A2
A3
B1
B2
A1
A1 A1
A1 A2
A1 A3
A1 B1
A1 B2
A2
A2 A1
A2 A2
A2 A3
A2 B1
A2 B2
A3
A3 A1
A3 A2
A3 A3
A3 B1
A3 B2
B1
B1 A1
B1 A2
B1 A3
B1 B1
B1 B2
B2
B2 A1
B2 A2
B2 A3
B2 B1
B2 B2
共有25种情况，其中同性别学生有13种情况，∴刚好抽到同性别学生的概率P＝.
正解：（1）由题意，得15÷10%＝150（名）或60÷40%＝150（名）或30÷20%＝150（名）
答：在这项调查中，共调查了150名学生.
（2）本次调查中喜欢“立定跳远”的学生人数为：150－15－60－40＝45（名），
所占百分比为：×100%＝30%，
两个统计图补充如下：

（3）用A表示男生，B表示女生，列表如下：

A1
A2
A3
B1
B2
A1

A1 A2
A1 A3
A1 B1
A1 B2
A2
A2 A1

A2 A3
A2 B1
A2 B2
A3
A3 A1
A3 A2

A3 B1
A3 B2
B1
B1 A1
B1 A2
B1 A3

B1 B2
B2
B2 A1
B2 A2
B2 A3
B2 B1

或画树状图如下：

共有20种情况，其中同性别学生有8种情况，∴刚好抽到同性别学生的概率P＝＝ .
赏析：本题（1）中，对C项目所占百分比获取了错误信息，导致出错，C项目所占百分比应是40%，，这也是导致第（2）小题出错的原因.第（3）小题出错的主要原因是对所有等可能情况分析错误，第一次抽取的学生不能放回继续抽取.
易错练
1.希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查地点一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是（ ）
A.被调查的学生有200人
B.被调查的学生中喜欢教师职业的有40人
C.被调查的学生中喜欢其他职业的占40%
D.扇形中，公务员部分所对应的圆心角为72°

2.一组数据6,5,2，x，4的平均数是4，则这组数据的方差是_____________.
3.下列事件是必然事件的是……………………………………………………………（ ）
A.有两边及一角对应相等的两个三角形全等
B.方程x2－x＋1＝0有两个不等实根
C.面积之比为1︰4的两个相似三角形的周长之比也是1︰4
D.圆的切线垂直于过切点的半径
4.将长度为8cm的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米.如果截成的三段木棍长度分别相同算为同一种截法，那么截成的三段木棍可构成三角形的概率是___________.
5.在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动.有A、B两组卡片，每组各三张，A组卡片上分别写有0、2、3；B组卡片上分别写有﹣5、﹣1、1.每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同.甲从A组随机抽取一张记为x，乙从B组随机抽取一张记为y.
（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数字是﹣1，它们恰好是方程ax－y＝0的解，求a的值；
（2）求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax－y＝5的解的概率.（请用树状图或列表法求解）

参考答案

3.D 解析：两边一角中，一角为夹角时全等，一角不是夹角时不全等，∴A是随机随机；
∵△＝（﹣1）2－4×1×1＝﹣3＜0，方程无实数根，∴B为不可能事件；
面积之比为1︰4的两个相似三角形的相似比为＝1︰2，∴周长之比＝相似比＝1︰2，∴C是不可能事件；
D是圆的切线性质定理，∴D是必然事件.
4. 解析：∵将长度为8cm的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，共有5种情况：1,2,5；1,3,4；2,3,3；4,2,2；1,1,6.能构成三角形的只有一种情况：2,3,3.∴概率为.
5.解：（1）将x＝2，y＝﹣1代入方程得：2a＋1＝5，∴a＝2；
（2）列表如下：

0
2
3
﹣5
（0，﹣5）
（2，﹣5）
（3，﹣5）
﹣1
（0，﹣1）
（2，﹣1）
（3，﹣1）
1
（0，1）
（2，1）
（3，1）