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浅谈因式分解的方法
晋江东石中学 姚清温 85592456
因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式。可以看出：因式分解是整式乘法的相反方向的变形，它与整式的乘法是互为逆运算。基本方法一般有两种：提取公因式和运用公式法。
下面浅谈一下因式分解的一些方法：
一、提取公因式法
例1．把下列多项式分解因式：
（1）-4a+16a-18a； （2）x（x-2）+y（2-x）．
解：（1）原式=-（4a-16a+18a） （2）原式=x（x-2）-y（x-2）
=-2a（2a-8a+9）． =（x-2）（x-y）．
点拨：1．公因式：系数是各项系数的最大公约数，字母的指数是取相同字母中指数最低次幂。
2．有时多项式各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，可以发现公因式，再提取公因式。一般地，当n为正偶数时，（x-y）=（y-x）；当n为正奇数时，（x-y）=-（y-x）．熟悉这类式子的变形，常常有助于我们找到相应的公因式。
3．可以用四句顺口溜来总结记忆，用提公因式法分解因式的技巧。
各项有“公”先提“公”，首项有负常提负；某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。
二、运用公式法
例2．把下面多项式分解因式：
（1）25x-16y ； （2）x-2xy+y ．
解：（1）原式=（5x）-（4y） （2）原式=（x）-2xy+（y）
=（5x+4y）（5x-4y）． =（x-y）
=（x+y）（x-y）．
点拨：1．若多项式有两项时，则考虑用提公因式法或运用平方差公式。
　　 2．若多项式有三项时，则考虑提公因式法或十字相乘法或运用完全平方公式分解因式。
3．运用公式法时，多项式必须符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，方可使用。
三、十字相乘法
例3．把下列多项式分解因式：
（1） x+5x+6； （2）x-7x+6； （3）x-2x-15； （4）x+2xy-24 y．
解：（1）原式=（x+2）（x+3）； （2）原式=（x-1）（x-6）；
（3）原式=（x-5）（x+3）； （4）原式=（x-4y）（x+6y）．
点拨：把x+px+q分解时，
（1） 若常数项q是正数时，则把q分解成两个同号因数，它们的符号与 一次项系数p的符号相同；
（2） 若常数项q是负数时，则把q分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同；
（3） 对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p．
四、分组分解法
例4．把下列多项式分解因式：
（1）5ax+7ay-5bx-7by； （2）1-m-n+2mn．
解：（1）原式=（5ax-5bx）+（7ay-7by）
　　=5x（a-b）+7y（a-b）
=（a-b）（5x+7y）．
（2） 原式=1-（m-2mn+n）
=1-（m-n）
=（1-m+n）（1+m-n）．
点拨：1．分组方案可能有多种，但必须能够分解到底，其结果是一样的。
2．分组分解法有两种方法：分组后能直接提取公因式和分组后能运用公式。
五、配方法
例5．把下列二次三项式分解因式：
（1）a-8a+15； （2）x+2ax-3a．
解：（1）原式=a-8a+16-16+15 （2）原式=x+2ax+a-a-3a
=（a-4）-1 =（x+a）-（2a）
=（a-4+1）（a-4-1） =（x+a+2a）（x+a-2a）
=（a-3）（a-5）． =（x+3a）（x-a）．
点拨：对于某些二次三项式ax+bx+c，除了可以用十字相乘法分解因式外，还可以用配方法来分解，其中要用到完全平方公式、平方差公式以及添项、拆项的技巧。把多项式加上适当的项（“一次项”系数一半的平方）后，再减去这个项，然后分组，其中一组能运用完全平方公式，组间能够运用平方差公式继续分解。
六、拆项法
例6．分解因式：（1）4x-5x+1； （2）m-7m+1．
解：（1）原式=（4x-4x+1）-x （2）原式=（m+2m+1）-9m
=（2x-1）-x =（m+1）-（3m）
=（2x-1+x）（2x-1-x） =（m+3m+1）（m-3m+1）．
=（2x-1）（x+1）（2x+1）（x-1）；
点拨：第（1）题把二次项-5x拆成-4x-x，变成可以分组分解，组间又可以用平方差继续分解到底。
第（2）题把二次项-7m拆成2m-9m，使原来难于分解的多项式可以用分组分解法进行分解，并且组间又继续用平方差公式分解到底。
以上两例，都是在原多项式的基础上创造条件，通过拆项，将一项拆成两项，化为可以分组分解的问题。
七、添项法
例7．分解因式：（1）x+4； （2）x+4y．
解：（1）原式=（x+4x+4）-4x
=（x+2）-（2x）
=（x+2x+2）（x-2x+2）；
（2）原式=（x+4xy+4y）-4xy
=（x+2y）-（2xy）
=（x+2xy+2y）（x-2xy+2y）．
点拨：第（1）题添上二次项4x和-4x这两项后，便可以采用分组分解法，组间还可以运用平方差公式继续分解。
第（2）题添上四次项4xy和-4xy这两项后，变成可以用分组分解法，再运用平方差进行分解。
以上两例，都是在原多项式的基础上创造条件，通过添项，把零拆成两项，加一项减一项。
八、求根公式法
例8．分解因式：（1）2x+x-6 (2)5x-4x-12
解：(1)令2x+x-6 =0
b-4ac=1-4×2×(-6)=1+48=49,
所以x===
即原方程的解是x=, x=-2.
所以2x+x-6 =(2x-3)(x+2)
(2)令5x-4x-12=0
b-4ac=256
所以x====
原方程的解是x=-, x=2.
所以5x-4x-12=（5x+6）(x-2).
点拨：对于多项式ax+bx+c进行分解因式时，令ax+bx+c=0，求其根x , x。则该多项式可分解为ax+bx+c=a(x- x)(x- x)。
九、换元法
例9．分解因式：（x+x+1）(x+x+2)-12
解：y= x+x
则原式=（y+1）(y+2)-12
=y+3y-10
=(y+5)(y-2)
=( x+x+5)( x+x-2)
=( x+x+5)(x+2)(x-1).
点拨：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
十、选主元法
例10．分解因式：x(y-z)+y(z-x)+z(x-y)
解：原式= x(y-z)-x(y- z)+ (yz-y z)
= x(y-z)-x(y+z)(y-z)+yz(y-z)
=(y-z)［x- x(y+z) +yz］
=(y-z)(x-y)(x-z).
点拨：本题选定x为主元，将多项式按字母x的次数从高到低排列，再进行因式分解。
常见的因式分解方法有三种，一是提取公因式法，二是运用公式法，三是十字相乘法；因式分解法一般有下列步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式法；如果多项式的各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来解，若多项式是二项式，则考虑能否运用平方差公式进行分解；若多项式是三项式，则考虑能否运用完全平方公式进行分解。如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解法或其他方法（例如十字相乘法）来分解。分解因式都必须进行到每个多项式因式不能再分解为止；相同的因式应写成幂的形式。对于一些多项式还可以采用配方法、拆项法、添项法等，便可迎刃而解。
参考文献：华东师范大学出版社2008年6月 八年级（上）、九年级（上）《数学》。人民教育出版社2000年4月 初中《代数第二册》。