离散型随机变量的分布列教学设计.doc

2． 1．2离散型随机变量的分布列教学设计
【教学背景分析】
1. 学情分析：
学生已基本对选修2-3第二章第一节《离散型随机变量》中的随机变量和离散型随机变量的概念有了清楚的认识并且有了一定程度的掌握，本节课主要学习离散型随机变量的概率分布的概念及性质并能达到灵活应用。
2.教学重点：离散型随机变量的分布列的概念。
3.教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列。
4.教学方式：“四步问题导学式”教学。
5.教学手段：多媒体辅助教学手段。
6.技术设备：计算机、屏幕、黑板、实物投影仪、《离散型随机变量的分布列的教案》。
【教学目标设计】
1.知识与技能：理解离散型随机变量的分布列的概念，会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
2.过程与方法：利用抛骰子和硬币的情景，给出了些分布列的过程，同时给出了分布列的性质，提高学生抽象概括能力。
3.情感、态度与价值观：通过本节课的学习，培养学生用联系的观点看问题，加强知识间的联系，初步认识数学的应用价值、科学价值。
【教学过程】
一、导入新课：
（教师活动）展示幻灯片字幕，待学生思考并解答问题后，请学生回答，并点评。
（学生活动）思考并解答问题。
【字幕】复习：1.什么是随机变量、离散型随机变量？
2. 抛掷一个骰子，设得到的点数为ξ，思考下列问题：
（1） ξ可能取得值为那些？
（2） ξ取每个值得概率分别是多少？
（3） 用表格的形式列出随机变量ξ的取值及每个值得概率。
（4） ξ为偶数和奇数的概率分别是多少？
（5） ξ取小于3的概率是多少？
（6） 此表格说明了什么问题？
【设计意图】通过复习，巩固已学知识，为本节课学习作知识铺垫，并通过实例，激发学生学习兴趣，引入新课。
二、讲授新课：
（教师活动）根据前面复习中的字幕2，引导学生进一步思考，分析，并点评，然后展示幻灯片字幕（定义）
（学生活动）学生思考、分析、尝试归纳概念及性质。
【字幕】1.定义： 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…；
⑵P1+P2+…=1．
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即
思考：类比函数，离散随机变量分布列可以怎样表示？
【设计意图】合理设计问题，通过学生逐步思考、分析、归纳出概念，显得比较自然，有利于培养学生分析、归纳问题的能力。
【例题示范，学会应用】几个重要的分布列
1.两点分布列:
例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令

如果针尖向上的概率为，试写出随机变量 X 的分布列．
解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（) ．于是，随机变量 X 的分布列是
ξ
0
1
P

像上面这样的分布列称为两点分布列．
两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布 ( two一point distribution)，而称=P (X = 1）为成功概率．
两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．
，
，
，．
2. 超几何分布列：
例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：
(1)取到的次品数X 的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率．
解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为，从100 件产品中任取3件，
其中恰有k 件次品的结果数为，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为
。
所以随机变量 X 的分布列是

X
0
1
2
3
P

(2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概率
P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 )
≈0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006
= 0. 144 00 .
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事件 {X=k｝发生的概率为
,
其中，且．称分布列
X
0
1
…

P

…

为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布（ hypergeometriC distribution ) .
例 3．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．
解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中 N = 30 , M=10, n=5 ．于是中奖的概率
P (X≥3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 ）十 P ( X = 5 )
=≈0.191.
思考：如果要将这个游戏的中奖率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？
【设计意图】通过对实例的研究，初步掌握随机变量ξ的概率分布的概念的应用，会根据分布列求随机事件的概率，会写出ξ的分布列，特别是两点分布和超几何分布。
拓展：
例4.已知一批产品共 件，其中 件是次品，从中任取 件，试求这 件产品中所含次品件数 的分布律。
　　解 显然，取得的次品数 只能是不大于 与 最小者的非负整数，即 的可能取值为：0，1，…，，由古典概型知

　　此时称 服从参数为的超几何分布。
　　注 超几何分布的上述模型中，“任取 件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取 件”.如果是有放回地抽取，就变成了 重贝努利试验，这时概率分布就是二项分布.所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样.若产品总数 很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.因此，当 时，超几何分布的极限分布就是二项分布，即有如下定理.
　　定理 如果当 时，，那么当 时（ 不变），则
　　。
　　由于普阿松分布又是二项分布的极限分布，于是有：
超几何分布 二项分布 普阿松分布.
例5．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．
分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．
解：设黄球的个数为n，由题意知
　　绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总数为7n．
　∴　，，．
　　　　所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为
ξ
1
0
－1
P

说明：在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1．
【课堂练习】
（教师活动）展示幻灯片字幕（教材49页），巡视学生答题情况，发现问题及时给予点拨或指正。
（学生活动）认真思考，完成练习或扮演。
题略，见教材49页
【设计意图】巩固所学知识，熟练掌握两点分布、超几何分布，并能进行简单的应用，反馈课堂教学信息，调节课堂教学。
归纳小结：⑴根据随机变量的概率分步（分步列），可以求随机事件的概率；⑵两点分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它是概率论中最重要的几种分布之一 (3) 离散型随机变量的超几何分布
课后作业：教材49-50页第5、6题
板书设计（略）
教学反思：（略）