山西省晋中灵石县联考2022年数学九年级第一学期期末统考试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O上的两个点（CD两点分别在直径AB的两侧），连接BD，AD，AC，CD，若∠BAD=56°，则∠C的度数为（）

A．56° B．55°
C．35° D．34°
2．二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．2个 B．1个 C．0个 D．不能确定
3．如图所示，几何体的左视图为（ ）

A． B． C． D．
4．掷一枚质地均匀的硬币次，下列说法中正确的是（　　）
A．可能有次正面朝上 B．必有次正面朝上
C．必有次正面朝上 D．不可能次正面朝上
5．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，位似比为：，将缩小，若点坐标，，则点对应点坐标为（ ）
A．， B． C．或， D．，或，
6．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( )

A． B． C． D．
7．如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．70°
8．如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G ， AF⊥BE于F ， 图中相似三角形的对数是（　　）

A．5 B．7 C．8 D．10
9．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于

A．44° B．60° C．67° D．77°
11．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（　　）

A．4.25m B．4.45m C．4.60m D．4.75m
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，正方形的顶点分别在轴和轴上，边的中点在轴上，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的长为__________．

14．二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是x=_______.
15．已知y＝x2+（1﹣a）x+2是关于x的二次函数，当x的取值范围是0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，则实数a的取值范围是_____．
16．如图，在ABCD中，点E是AD边上一点，AE：ED＝1：2，连接AC、BE交于点F.若S△AEF＝1，则S四边形CDEF＝_______.

17．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点、在轴上，点在轴上，则平行四边形的面积为______.

18．抛物线y＝(x﹣1)(x﹣3)的对称轴是直线x＝_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知矩形的周长为1．
（1）当该矩形的面积为200时，求它的边长；
（2）请表示出这个矩形的面积与其一边长的关系，并求出当矩形面积取得最大值时，矩形的边长．
20．（8分）解方程：（配方法）
21．（8分）一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．
22．（10分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，）、D（0，），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是　　 ；
②当点Q与点A重合时，点P的坐标为　　 ；
（2）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式及相应的自变量x的取值范围．
23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)当时，设抛物线与轴交于两点(点在点左侧)，顶点为，若为等边三角形，求的值；
(3)过(其中)且垂直轴的直线与抛物线交于两点．若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，结合函数图象，直接写出的取值范围．

24．（10分）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
3

m
﹣1
0
﹣1
0

3
…
其中，m=　　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有　　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有　 　个实数根；
②方程x2﹣2|x|=2有　　个实数根.

③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是　 ．
25．（12分）计算:．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作AB的垂线交AC的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）过点C作CG⊥BF于G，若AB＝5，BC＝2，求CG，FG的长．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】利用直径所对的圆周角是可求得的度数，根据同弧所对的的圆周角相等可得∠C的度数.
【详解】解：AB为⊙O的直径，点D为⊙O上的一个点

故选：D
【点睛】
本题考查了圆周角的性质，熟练掌握圆周角的相关性质是解题的关键.
2、A
【分析】通过计算判别式的值可判断抛物线与轴的交点个数．
【详解】由二次函数，
知
∴．
∴抛物线与轴有二个公共点．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与轴的交点个数取决于的值．
3、A
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形
故选：A．
【点睛】
本题考查简单组合体的三视图，难度不大．
4、A
【分析】根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案.
【详解】解：．掷一枚质地均匀的硬币次，可能有2次正面朝上，故本选项正确；
．掷一枚质地均匀的硬币次，有可能有次正面朝上，故本选项错误；
．掷一枚质地均匀的硬币次，有可能有次正面朝上，故本选项错误；
．掷一枚质地均匀的硬币次，有可能有次正面朝上，故本选项错误；
故选：．
【点睛】
本题考查的知识点是随机事件的概念，理解随机事件的概念是解题的关键.
5、C
【分析】若位似比是k，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．
【详解】∵以原点O为位似中心，位似比为1:2，将缩小，
∴点对应点的坐标为：或．
故选：C．
【点睛】
本题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标比等于．
6、A
【解析】试题解析：是平行四边形,

故选A.
7、B
【解析】∵∠AOB=70°，∴∠ACB=∠AOB=35°，
故选B．
8、D
【解析】试题解析：∵矩形ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=
∴△EDG∽△ECB∽△BAG
∵AF⊥BE
∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=
∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA
∴△GAF∽△GBA∽△ABF
∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA
∴共有10对
故选D．
9、D
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10、C
【解析】分析：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，
∴∠B=90°－∠A=68°．
由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，
∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°．
∴．
故选C．
11、B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B．
12、B
【分析】此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．
【详解】如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得
而CB=1.2，
∴BD=0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，
∴x=4.45，
∴树高是4.45m．

故选B．
【点睛】
抓住竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同是关键.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】过点E作EG⊥x轴于G，设点E的坐标为（），根据正方形的性质和“一线三等角”证出△CEG≌△FCO，可得EG=CO=，CG=FO=OG－OC=，然后利用等角的余角相等，可得∠BAF=∠FCO，先求出tan∠BAF，即可求出tan∠FCO，即可求出x的值，从而求出OF和OC，根据勾股定理和正方形的性质即可求出CF、BF、AB、AF，从而求出OA.
【详解】解：过点E作EG⊥x轴于G，如下图所示

∵反比例函数的图象过点，设点E的坐标为（）
∴OG=x，EG=
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°
∵点E、F分别是CD、BC的中点
∴EC=CD=BC=CF
∵∠CEG＋∠ECG=90°，∠FCO＋∠ECG=90°，
∴∠CEG=∠FCO
在△CEG和△FCO中

∴△CEG≌△FCO
∴EG=CO=，CG=FO=OG－OC=
∵∠BAF＋∠AFB=90°，∠FCO＋∠COF=90°，∠AFB=∠COF
∴∠BAF=∠FCO
在Rt△BAF中，tan∠BAF=
∴tan∠FCO=tan∠BAF=
在Rt△FCO中，tan∠FCO=
解得：
则OF==，OC=
根据勾股定理可得：CF=
∴BF=CF=，AB=BC=2 CF=，
根据勾股定理可得：AF=
∴OA=OF＋AF=
故答案为：.
【点睛】
此题考查的是反比例函数、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握利用反比例函数解析式设图象上点坐标、作辅助线构造全等三角形和等角的锐角三角函数相等是解决此题的关键.
14、1
【分析】利用公式法可求二次函数y=x2-2x+1的对称轴．也可用配方法．
【详解】∵-=-=1，
∴x=1．
故答案为1
【点睛】
本题考查二次函数基本性质中的对称轴公式；也可用配方法解决．
15、a＜1
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，
∴﹣＜，
解得a＜1．
故答案为：a＜1．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．
16、11
【分析】先根据平行四边形的性质易得，根据相似三角形的判定可得△AFE∽△CFB，再根据相似三角形的性质得到△BFC的面积，，进而得到△AFB的面积，即可得△ABC的面积，再根据平行四边形的性质即可得解.
【详解】解：∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∵AD=BC，
∴AE：BC＝1：3，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴，
∴，
∴S△BCF=9，
∵，
∴S△AFB=3，
∴S△ACD =S△ABC = S△BCF+S△AFB=12，
∴S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12﹣1=11.
故答案为11.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
17、6
【分析】作AH⊥OB于H，根据平行四边形的性质得AD∥OB，则，再根据反比例函数(k)系数的几何意义得到=6，即可求得答案．
【详解】作AH⊥轴于H，如图，

∵AD∥OB，
∴AD⊥轴，
∴四边形AHOD为矩形，
∵AD∥OB，
∴，
∵点A是反比例函数的图象上的一点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数(k)系数的几何意义：从反比例函数(k)图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
18、1
【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴；
【详解】解：∵抛物线y＝(x﹣1)(x﹣3)＝x1﹣4x+3＝(x﹣1)1﹣1，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.

三、解答题（共78分）
19、（1）矩形的边长为10和2；（2）这个矩形的面积S与其一边长x的关系式是S=-x2+30x；当矩形的面积取得最大值时，矩形是边长为15的正方形．
【分析】（1）设矩形的一边长为，则矩形的另一边长为，根据矩形的面积为20列出相应的方程，从而可以求得矩形的边长；
（2）根据题意可以得到矩形的面积与一边长的函数关系，然后根据二次函数的性质可以求得矩形的最大面积，并求出矩形面积最大时它的边长．
【详解】解：（1）设矩形的一边长为，则矩形的另一边长为，根据题意，得
，解得，．
答：矩形的边长为10和2．
（2）设矩形的一边长为，面积为S，根据题意可得，
，
所以，当矩形的面积最大时，．
答：这个矩形的面积与其一边长的关系式是S=-x2+30x，当矩形面积取得最大值时，矩形是边长为15的正方形．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程以及函数关系式，利用二次函数的性质解答．
20、，
【分析】根据配方法的步骤进行计算即可.
【详解】解：移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，.
【点睛】
本题考查了配方法，解题的关键是注意：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
21、（1）；（2），见解析
【分析】（1）袋中一共有3个球，有3种等可能的抽取情况，抽取红球的情况只有1种，摸到红球的概率即可求出；
（2）分别使用树状图法或列表法将抽取球的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次有2种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有6种，找出两次都是白球的的抽取结果，即可算出概率．
【详解】解：（1）∵袋中一共有3个球，有3种等可能的抽取情况，抽取红球的情况只有1种，
∴；
（2）画树状图，根据题意，画树状图结果如下：

一共有6种等可能出现的结果，两次都抽取到白球的次数为2次，
∴；
用列表法，根据题意，列表结果如下：

一共有6种等可能出现的结果，两次都抽取到白球的次数为2次，
∴．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．
22、（1）①（6，），②（3，）；（2）
【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；
（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案．
【详解】解：（1）①∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），
∴点B的坐标为：（6，2）；
②如图1：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，3），
∴PE=3，
∴AE=，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴点P的坐标为（3，3）；
故答案为：①（6，2），②（3，3）；
（2）①当0≤x≤3时，
如图，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由题意可知直线l∥BC∥OA，
∴，
∴EF=
此时重叠部分是梯形，其面积为：
S梯形=（EF+OQ）•OC=（3+x）
∴．
当3＜x≤5时，如图

AQ=OI+IO-OA=x+3-6=x-3
AH=(x-3)
S=S梯形﹣S△HAQ=S梯形﹣AH•AQ=（3+x）﹣
∴．
③当5＜x≤9时，如图

∵CE∥DP
∴
∴
∴

S=（BE+OA）•OC=（12﹣）
∴．
④当x＞9时，如图

∵AH∥PI
∴
∴
∴
S=OA•AH=．
综上：．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
23、 (1)x=2；(2)；(3)或．
【解析】（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A,B的坐标，由（1）可得出顶点C的坐标，再利用等边三角形的性质可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；
（3）分及两种情况考虑：①当时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；②当时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．综上，此题得解．
【详解】(1)∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
(2)依照题意，画出图形，如图1所示．
当时，，即，
解得：，．
由(1)可知，顶点的坐标为．
∵，
∴．
∵为等边三角形，
∴点的坐标为，
∴，
∴．
(3)分两种情况考虑，如图2所示：
①当时，，
解得：；
②当时，，
解得：．

【点睛】
本题考查了二次函数的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解一元一次不等式.
24、（1）1；（2）作图见解析；（3）①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（4） 3，3，2，﹣1＜a＜1．
【解析】（1）把x=-2代入y=x2-2|x|得y=1，
即m=1，
故答案为：1；
（2）

如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y=x2-2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2-2|x|=1有3个实数根；
②如图，∵y=x2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x2-2|x|=2有2个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根，
∴a的取值范围是-1＜a＜1，
故答案为：3，3，2，-1＜a＜1．
25、2﹣1
【分析】首先计算乘方、开方、特殊三角函数值，再计算乘法，最后实数的加减法即可．
【详解】

．
【点睛】
本题考查了幂的乘方、二次根式、特殊三角函数值等知识点，熟记各运算法则和特殊三角函数值是解题关键．
26、（1）见解析；（2）CF＝，FG＝，
【分析】（1）连接AE，利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠EAB＝∠EAC即可解决问题．
（2）证明△BCG∽△ABE，可得，由此求出CG，再利用平行线分线段成比例定理求出CF，利用勾股定理即可求出FG．
【详解】（1）证明：连接AE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠EAB＝∠EAC，
∴．
（2）解：∵BF⊥AB，CG⊥BF，AE⊥BC
∴∠CGB＝∠AEB＝∠ABF＝90°，
∵∠CBG+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAE＝90°，
∴∠CBG＝∠BAE，
∴△BCG∽△ABE，
∴，
∴，
∴CG＝2，
∵CG∥AB，
∴，
∴，
∴CF＝，
∴FG＝＝＝．

【点睛】
此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质.