2017届高三数学复习专题8平面向量.doc

1 2017 届高三数学复习 专题 8 平面向量 1(2015 课标，7，易)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD13AB43AC B.AD13AB43AC C.AD43AB13AC D.AD43AB13AC 1A 考向 1如图所示，在ABC 中，BCACAB.2 又BC3CD，CD13BC13AC13AB，ADACCD13AB43AC.2(2014 课标，6，易)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC()A.AD B.12AD C.BC D.12BC 2A 考向 1如图，EBFCECCBFBBCECFB12(ACAB)122ADAD.3(2012 广东，3，易)若向量BA(2，3)，CA(4，7)，则BC()A(2，4)B(2，4)C(6，10)D(6，10)3A 考向 3BCBAACBACA(2，3)(4，7)(2，4)4(2013 辽宁，3，易)已知点 A(1，3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.35，45 B.45，35 C.35，45 D.45，35 4A 考向 2AB(3，4)，|AB|5.与AB同方向的单位向量为AB|AB|35，45.故选 A.5(2012 安徽，8，中)在平面直角坐标系中，点 O(0，0)，P(6，8)，将向量OP绕点 O 按逆时针方向旋转34后得向量OQ，则点 Q 的坐标是()A(7 2，2)B(7 2，2)3 C(4 6，2)D(4 6，2)5A 考向 3由题意，得|OP|10，由三角函数定义，设 P 点坐标为(10cos，10sin)，则cos 35，sin 45.则Q点 的 坐 标 应 为10cos34，10sin34.由三角函数知识得 10 cos 347 2，10sin34 2，所以 Q(7 2，2)故选 A.思路点拨：向量旋转前后模保持不变，因此求 Q 点的坐标关系是求出旋转后OQ与x 轴正向的夹角，然后根据三角函数的定义求解 6(2014 北京，10，易)已知向量 a，b 满足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，则|_.6考向 3【解析】ab0，ab.|a|b|，|a|b|，|1 5，|5.【答案】5 7(2013 四川，12，易)在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，ABADAO，则 _ 7考向 1【解析】如图，因为 ABCD 为平行四边形，所以ABADAC2AO，已知ABADAO，故 2.【答案】2 8(2014 陕西，18，12 分，中)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点 P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上(1)若PAPBPC0，求|OP|；(2)设OPmABnAC(m，nR)，用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值 4 8考向 1，3解：(1)方法一：PAPBPC0，又PAPBPC(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)，63x0，63y0，解得 x2，y2，即OP(2，2)，故|OP|2 2.方法二：PAPBPC0，则(OAOP)(OBOP)(OCOP)0，OP13(OAOBOC)(2，2)，|OP|2 2.(2)OP(x，y)，AB(1，2)，AC(2，1)OPmABnAC，(x，y)(m2n，2mn)，xm2n，y2mn，得，mnyx，令 mnt，由图知，当直线 yxt 过点 B(2，3)时，t 取得最大值，故 mn 的最大值为 1.思路点拨：(1)根据向量相等，求出 P 点坐标后求|OP|；(2)根据向量相等，将 mn 转化为 x，y 的关系，变换为线性规划问题 5 平面向量的线性运算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要考查三角形法则及平行四边形法则的应用，通常有两个考查角度：(1)向量的线性表示；(2)加(减)法运算几何意义的应用 考题多以选择题或填空题的形式出现，属于中低档题目，所占分值为 5 分 1(1)(2014 浙江，8)记 maxx，yx，xy，y，xy，minx，yy，xy，x，xy.设a，b 为平面向量，则()Amin|ab|，|ab|min|a|，|b|Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2 Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2(2)(2015 北京，13)在ABC 中，点 M，N 满足AM2MC，BNNC，若MNxAByAC，则 x_；y_.【解析】(1)方法一：对于平面向量 a，b，|ab|与|ab|表示以 a，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项 A，B均错；又|ab|，|ab|中的较大者与|a|，|b|一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有 max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2，故选项 D 正确，选项 C 错误 方法二：若 a，b 同向，令|a|2，|b|3，这时|ab|5，|ab|1，min|ab|，|ab|1，min|a|，|b|2；若令|a|2，|b|6，这时|ab|8，|ab|4，min|ab|，|ab|4，而 min|a|，|b|2，显然对任意 a，b，min|ab|，|ab|与min|a|，|b|的大小关系不确定，即选项 A、B 均错同理，若 a，b 同向，取|a|1，|b|2，则|ab|3，|ab|1，这时 max|ab|2，|ab|29，而|a|2|b|25，不可能有 max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2，故选 C 项错(2)如图，在ABC 中，MNMAABBN23ACAB12BC 23ACAB12(ACAB)12AB16AC，x12，y16.6 【答案】(1)D(2)12 16 1.(2013 江苏，10)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB，BE23BC.若DE1AB2AC(1，2为实数)，则 12的值为_ 1【解析】DEDBBE12AB23BC12AB23(ACAB)23AC16AB，又DE1AB2AC，116，223.1212.【答案】12 2(2014 课标，15)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO12(ABAC)，则AB与AC的夹角为_ 2【解析】由AO12(ABAC)可知 O 为 BC 的中点，即 BC 为圆 O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以BAC90，所以AB与AC的夹角为 90.【答案】90,解题(1)的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对 a，b 特殊化，从而得到|ab|，|ab|的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案 解题(2)的关键是结合图形，正确运用平面向量加减运算的三角形法则，通过对向量的逐步分解即可求得结果 平面向量线性运算的解题策略(1)用已知向量表示某个向量问题的基本解题思路 观察各个向量的位置，特别注意平行关系；寻找相应的三角形或多边形；利用法则找关系；化简结果 其中要特别注意结论：若 AD 是ABC 的中线，则有AD12(ABAC)7 (2)构造三角形或平行四边形分析向量模之间的关系 根据向量线性运算的几何意义，涉及比较分析向量的模之间的大小关系等问题，均可构造三角形或平行四边形，通过三角形中的边角关系来确定向量模之间的关系 高考对共线向量定理、平面向量基本定理的考查主要有以下几个方面：(1)利用共线向量定理求参数的值；(2)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算对向量进行分解；(3)在坐标表示的前提下由向量共线求参数值或对向量进行分解一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等，分值为 5 分 2(1)(2012 大纲全国文，9)ABC 中，AB 边的高为 CD，若CBa，CAb，ab0，|a|1，|b|2，则AD()A.13a13b B.23a23b C.35a35b D.45a45b(2)(2015 课标，13)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _【解析】(1)方法一：a b0，ACB90，AB 5，CD2 55.BD55，AD4 55，ADBD41.AD45AB45(CBCA)45a45b.方法二：如图，以 C 为原点，CA，CB 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系由已知得 A(2，0)，B(0，1)又因为 CDAB，所以可求得 D25，45，于8 是AD85，45，而 a(0，1)，b(2，0)，若设ADxayb，则有2y85，x45，即x45，y45，故AD45a45b.(2)因为 ab 与 a2b 平行，所以存在实数，使 ab(a2b)，即()a(12)b0.由于 a，b 不平行，所以0，120，解得 12.【答案】(1)D(2)12 1.(2014 福建，8)在下列向量组中，可以把向量 a(3，2)表示出来的是()Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(2，3)，e2(2，3)1B 方法一：若 e1(0，0)，e2(1，2)，则 e1e2，而 a 不能由 e1，e2表示，排除 A；若 e1(1，2)，e2(5，2)，因为1522，所以 e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量 a(3，2)表示出来，故选 B.方法二：因为 a(3，2)，若 e1(0，0)，e2(1，2)，不存在实数，使得 ae1 e2，排除 A；若 e1(1，2)，e2(5，2)，设存在实数，使得ae1 e2，则(3，2)(5，22)，所以35，222，解得2，1，所以 a2e1e2，故选 B.2(2012 四川，7)设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|b|b|成立的充分条件是()Aab Bab Ca2b Dab 且|a|b|2C 因为向量a|a|的方向与向量 a 相同，向量b|b|的方向与向量 b 相同，且a|a|b|b|，9 所以向量 a 与向量 b 方向相同，故可排除选项 A，B，D.当 a2b 时，a|a|2b|2b|b|b|，故 a2b 是a|a|b|b|成立的充分条件,求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线(3)若 a 与 b 不共线且 ab，则 0.(4)直线的向量式参数方程，A，P，B 三点共线OP(1t)OAtOB(O 为平面内任一点，tR)(5)OAOBOC(，为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 1.应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算 高考对平面向量坐标运算的考查主要有以下几个方面：(1)用坐标进行线性运算；(2)在坐标表示下两向量共线与垂直条件的应用；(3)用坐标运算进行向量的分解高考中该类问题多以客观题的形式出现，难度一般，为中低档题目，分值为5 分 3(1)(2014 陕西，13)设 02，向量 a(sin 2，cos)，b(cos，1)，若 ab，则 tan _ 10 (2)(2013 北京，13)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则_【解析】(1)因为 ab，所以 sin 2cos2，即 2sin cos cos2.因为 02，所以 cos 0，得 2sin cos，所以 tan 12.(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)，则 A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，aAO(1，1)，bOB(6，2)，cBC(1，3)cab，(1，3)(1，1)(6，2)，即61，23，解得 2，12，4.【答案】(1)12(2)4 在考题展示(1)中，若 2，a，b 的坐标不变，且 ab，求 tan 的值 解：由于 ab，所以 a b0，即 sin 2cos cos 0，因为20)，且|OC|2，若OCOAOB，则实数，的值分别是_ 7考向 3【解析】|OC|2，|OC|21c24，c0，c 3.OCOAOB，13 (1，3)(1，0)(0，1)，1，3.【答案】1，3 8(2015 安徽阜阳一模，14)在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，AB2CD，M，N分别为 CD，BC 的中点若ABAMAN，则 _ 8 考向 2【解析】方法一：由ABAMAN，得AB12(ADAC)12(ACAB)，则21 AB2AD22AC0，得21 AB2AD22AD12AB0，得14341 AB2AD0.又因为AB，AD不共线，所以由平面向量基本定理得 143410，20，解得45，85.所以 45.方法二：如图，连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T，由已知易得 AB45AT，45ATABAMAN.T，M，N 三点共线，45.【答案】45 1(2016 课标，3，易)已知向量 a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则 m14 ()A8 B6 C6 D8 1D 考向 1方法一：ab(4，m2)，(ab)b，(ab)b0，即 122(m2)0，解得 m8.方法二：(ab)b，(ab)b0，即 a bb20.32m940，解得 m8.2(2016 课标，3，易)已知向量BA12，32，BC32，12，则ABC()A30 B45 C60 D120 2A 考向 2如图 易知|AB|BC|1，则60，30，ABC30.3(2016 山东，8，中)已知非零向量 m，n 满足 4|m|3|n|，cos m，n 13.若 n(tmn)，则实数 t 的值为()A4 B4 C.94 D94 3B 考向 1由题意得，cosm，nm n|m|n|m n34|n213，所以 m n14|n214n2.因为 n(tmn)0，所以 tm nn20，即14tn2n20，所以 t4.4(2015 山东，4，易)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BDCD()A32a2 B34a2 C.34a2 D.32a2 4D 考向 1BDBCBA，且CDBA，BDCD(BCBA)BA BCBABA2 15|BC|BA|cos 60|BA|2 12a2a232a2.故选 D.5(2014 重庆，4，易)已知向量 a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数 k()A92 B0 C3 D.152 5C 考向 22a3b(2k3，6)，由(2a3b)c，得 4k660，解得 k3.故选 C.6(2014 课标，3，易)设向量 a，b 满足|ab|10，|ab|6，则 a b()A1 B2 C3 D5 6A 考向 2由|ab|10得 a2b22a b10，由|ab|6得 a2b22a b6，得 4a b4，a b1，故选 A.7(2013 福建，5，易)在四边形 ABCD 中，AC(1，2)，BD(4，2)，则该四边形的面积为()A.5 B2 5 C5 D10 7C 考向 3ACBD(1，2)(4，2)0，故ACBD.故四边形 ABCD 的对角线互相垂直，面积 S12|AC|BD|12 52 55，故选 C.8(2015 安徽，8，中)ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB2a，AC2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 Bab Ca b1 D(4ab)BC 8D 考向 1在ABC 中，由BCACAB2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以 a b|a|b|cos 1201，所以(4ab)BC(4ab)b4a b|b|24(1)40，所以(4ab)BC，故选 D.16 9(2013 湖南，8，中)已知 a，b 是单位向量，a b0，若向量 c 满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.21 B.2 C.21 D.22 9C 考向 3建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知 ab，且 a 与 b 是单位向量，可设OAa(1，0)，OBb(0，1)，OCc(x，y)cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21，即点 C(x，y)的轨迹是以 M(1，1)为圆心，1 为半径的圆 而|c|x2y2，|c|的最大值为|OM|1，即|c|max 21，故选 C.思路点拨：由于 a，b 是相互垂直的单位向量，故可建立直角坐标系，根据向量加法、减法以及模的几何意义进行求解，求解向量问题要善于运用数形结合的思想 10(2014 天津，8，中)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F分别在边 BC，DC 上，BEBC，DFDC.若 AEAF1，CECF23，则()A.12 B.23 C.56 D.712 10C 考向 1以AB，AD为基向量，则AEAF(ABAD)(ADAB)AB2AD2(1)ABAD 4()2(1)1.CECF(1)BC(1)DC 2(1)(1)23.17 由可得 56.11(2016 课标，13，易)设向量 a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，则 m_ 11考向 2【解析】方法一：ab(m1，3)，又|ab|2|a|2|b|2.(m1)232m215，解得 m2.方法二：由|ab|2|a|2|b|2，得 a b0，即 m20，解得 m2.【答案】2 12(2015 湖北，11，易)已知向量OAAB，|OA|3，则OAOB_ 12考向 1【解析】OAOBOA(OAAB)OA2OAAB9.【答案】9 13(2014 江西，14，中)已知单位向量 e1与 e2的夹角为，且 cos 13，向量 a3e12e2与 b3e1e2的夹角为，则 cos _ 13考向 2【解析】a b(3e12e2)(3e1e2)92911138.|a|2(3e12e2)2941211139，|a|3.|b|2(3e1e2)291611138，|b|2 2，cos a b|a|b|832 22 23.【答案】2 23 14(2012 安徽，14，中)若平面向量 a，b 满足|2ab|3，则 ab 的最小值是_ 14考向 3【解析】由向量的数量积知，|a|b|ab|a|b|a|b|a b(当且仅当a，b时等号成立)由|2ab|3 4|a|24a b|b|29 94a b4|a|2|b|24|a|b|4a b 18 ab98(当且仅当 2|a|b|，a，b 时取等号)，a b 的最小值为98.【答案】98 思路点拨：先由|2ab|3 找出 a b 与|a|b|之间关系，再利用基本不等式及数量积的定义求最值.平面向量数量积的概念与计算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要从以下几个角度考查：(1)对数量积定义式的理解与应用；(2)在具体平面图形中计算数量积的值；(3)求一个向量在另一个向量方向上的投影这类考题一般以选择题、填空题的形式出现，多为中低档题目，所占分值为 5 分 1(1)(2015 陕西，7)对任意向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|a b|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2(2)(2015 四川，7)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|6，|AD|4.若点 M，N 满足BM3MC，DN2NC，则AMNM()A20 B15 C9 D6(3)(2013 课标，13)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AEBD_.【解析】(1)根据 a b|a|b|cos，又 cos 1，知|a b|a|b|，A 恒成立；当向量 a 和 b 方向不相同时，|ab|a|b|，B 不恒成立；根据|ab|2a22a bb2(ab)2，C 恒成立；根据向量的运算性质得(ab)(ab)a2b2，D 恒成立 19 (2)如图所示，由题意知，AMABBMAB 34AD，NM13AB14AD，AMNMAB34AD13AB14AD 13|AB|2316|AD|214ABAD14ABAD1336316169.(3)方法一：如图，以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(1，2)于是AE(1，2)，BD(2，2)，故AEBD1(2)222.方法二：由于四边形 ABCD 为正方形，且边长为 2，所以AE BD(ADDE)(ADAB)AD12AB(ADAB)|AD|212ABAD12|AB|222012222.【答案】(1)B(2)C(3)2 1.(2013 湖北，6)已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.3 22 B.3 152 C3 22 D3 152 1A 由AB(2，1)，CD(5，5)，得ABCD15，|CD|5 2.ABCD|AB|CD|cos AB，CD，20|AB|cos AB，CDABCD|CD|155 23 22.故选 A.2(2012 天津，7)已知ABC 为等边三角形，AB2.设点 P，Q 满足APAB，AQ(1)AC，R.若BQCP32，则()A.12 B.1 22 C.1 102 D.3 2 22 2A 如图，BQAQAB，CPAPAC，BQCP32，(AQAB)(APAC)32，AQAPAQACABAPABAC32.又APAB，AQ(1)AC，代入上式得(1)ACAB(1)ACACABABABAC32.(*)ABC 为等边三角形，且|AC|AB|BC|2，ACAB|AC|AB|cos 60 22122，|AC|24，|AB|24，代入(*)式得 42410，即(21)20，12，故选 A.思路点拨：本题的关键在于将BQ，CP用一组基底AB，AC来线性表示，然后根据数量积的运算律，结合已知条件建立参数 的方程求解,21 求平面向量数量积的方法 给出向量 a，b，求 a b 的三种方法：(1)若两个向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出 a，b 的坐标，通过坐标运算法则求得 求向量 a 在向量 b 方向上的投影的方法(1)根据定义求，即 a 在 b 方向上的投影为|a|cosa，b；(2)利用数量积求解，即 a 在 b 方向上的投影为ab|b|.平面向量的夹角与模的计算问题是高考的热点内容，一般有以下几个考查角度：(1)求两个向量的夹角；(2)求某一个向量的模；(3)由向量垂直求参数值等高考对该类问题的考查往往会将知识进行交汇考查，多为中低档题目，难度一般，主要以客观题形式出现，所占分值为 5 分 2(1)(2015 重庆，6)若非零向量 a，b 满足|a|2 23|b|，且(ab)(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为()A.4 B.2 C.34 D(2)(2014 大纲全国，4)若向量 a，b 满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2 B.2 C1 D.22 22 (3)(2013 山东，15)已知向量AB与AC的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若APABAC，且APBC，则实数 的值为_【解析】(1)设|b|x，a，b，则|a|2 23x，a b2 23x2cos.(ab)(3a2b)，(ab)(3a2b)0，3a22a b3a b2b20，即 389x22 23x2cos 2x20，2 23cos 23，cos 22.0，4，故选 A.(2)因为(ab)a，所以(ab)a0，即|a|2a b0，又因为|a|1，所以 a b1.又因为(2ab)b，所以(2ab)b0，即 2a b|b|20，所以|b|22，所以|b|2.(3)APBC，APBC0，(ABAC)BC0，即(ABAC)(ACAB)ABACAB2AC2ACAB0.向量AB与AC的夹角为 120，|AB|3，|AC|2，(1)|AB|AC|cos 120940，解得 712.【答案】(1)A(2)B(3)712 1.(2014 四川，7)平面向量 a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m()A2 B1 C1 D2 1D cmab(m4，2m2)，a c5m8，b c8m20.由两向量的夹角相等可得a c|a|b c|b|，即为5m858m2020，解得 m2.2(2013 天津，12)在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点若ACBE1，则 AB 的长为_ 2【解析】方法一：由题意可知，ACABAD，BE12ABAD.因为ACBE1，所以(ABAD)12ABAD1，23 则AD212ABAD12AB21.因为|AD|1，BAD60，所以ABAD12|AB|，因此式可化为 114|AB|12|AB|21.解得|AB|0(舍去)或12，所以 AB 的长为12.方法二：以 A 为原点，AB 为 x 轴建立如图的直角坐标系，过 D 作 DMAB 于点M.由 AD1，BAD60，可知 AM12，DM32.设|AB|m(m0)，则 B(m，0)Cm12，32，D12，32.因为 E 是 CD 的中点，所以 Em212，32.所以BE1212m，32，ACm12，32.由ACBE1，可得m12 1212m 341，24 即 2m2m0，所以 m0(舍去)或12.故 AB 的长为12.【答案】12,求解两个非零向量之间的夹角的步骤 第一步，由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步，分别求出这两个向量的模或找出两个模之间的关系；第三步，根据公式 cosa，bab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22(其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据两个向量夹角的范围为0，及其余弦值，求出这两个向量的夹角 求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|aa及(a b)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解 平面向量中的最值或范围问题也是高考考查的重点，多以下列角度进行考查：(1)求数量积的最值或范围；(2)求模的最值；(3)求夹角的最值或范围；(4)求其他参数的取值范围或最值这类考题往往具有较强的综合性，难度较大，多以客观题形式出现，所占分值为 5 分 25 3(1)(2015 天津，14)在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且BEBC，DF19DC，则AEAF的最小值为_(2)(2011 浙江，14)若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为12，则 与 的夹角 的取值范围是_【解析】(1)方法一：如图，分别过 C，D 作 CNAB 于 N，DMAB 于 M，则 AMBN12，CDMN1.AEAF(ABBE)(ABBCCF)AB2ABBCABCFABBEBEBCBECF 41211912119 171829217182192918，当且仅当292，即 23时等号成立，此时AEAF有最小值2918.方法二：在等腰梯形 ABCD 中，由 ABDC，AB2，BC1，ABC60，可得 ADDC1.建立平面直角坐标系如图所示，则 A(0，0)，B(2，0)，C32，32，D12，32，BC32，32(2，0)12，32，DC32，3212，32(1，0)BEBC12，32，E212，32.DF19DC19，0，F1219，32.26 AEAF212，321219，32 212121934171829121718229122918.当且仅当2912，即 23时取等号，符合题意 AEAF的最小值为2918.(2)如图，向量 与 在单位圆 O 内，由于|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量，为两边的三角形的面积为14，故 的终点在如图所示的线段 AB 上AB，且圆心O到AB的距离为12，因此夹角 的取值范围为6，56.【答案】(1)2918(2)6，56 (2011 课标全国，10)已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：p1：|ab|10，23 p2：|ab|123，p3：|ab|10，3 p4：|ab|13，其中的真命题是()Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4 A|a|b|1，且 0，若|ab|1，则(ab)21，a22a bb21，即 a b12，cos a b|a|b|a b12，0，23；若|ab|1，同理求得 a b12，27 cos a b12，3，p1，p4正确，故选 A.,解题(1)时，方法一：将AE，AF转化为已知向量和夹角，并由向量的模和向量的夹角得AEAF关于 的表达式，然后利用均值不等式求得最值；方法二：考虑到图形中线段长度和夹角已知较多，故可以建立坐标系，通过坐标运算得到AEAF关于 的表达式，然后利用均值不等式求得最值；解题(2)时，考虑到已知条件的特点，可运用数形结合的方法求解 求解平面向量最值或范围问题的常见方法(1)利用不等式求最值 解题时要灵活运用不等式|a|b|a b|a|b|.(2)利用函数思想求最值 常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值 28 (3)利用数形结合思想求最值 要充分利用平面向量“形”的特征，充分挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值 1(2016 广东佛山质检，3)已知向量 a(2，0)，b(1，1)，则下列结论正确的是()Aa b2 Bab Cb(ab)D|a|b|1C 考向 1由已知得 ab(1，1)，于是 b(ab)0，故 b(ab)2(2016 辽宁大连一模，6)如图，在ABC 中，AB1，AC3，D 是 BC 的中点，则ADBC()A3 B4 C5 D不能确定 2 B 考向 1由于 D 是 BC 的中点，所以AD12(ABAC)又因为BCACAB，所以ADBC12(ABAC)(ACAB)12(|AC|2|AB|2)4.3(2016 陕西西安质检，7)已知向量 a，b 满足|a|3，|b|2 3，且 a(ab)，则 b 在 a 方向上的投影为()A3 B3 C3 32 D.3 32 3B 考向 1由 a(ab)得 a(ab)0，即|a|2a b0，于是 a b9，因此b 在 a 方向上的投影为a b|a|933.4(2015 浙江温州二模，5)已知|a|1，a b12，(ab)21，则 a 与 b 的夹角等于()A30 B45 C60 D120 4C 考向 2设 a 与 b 的夹角为，因为 a b|a|b|cos 12，且|a|1，29 所以|b|cos 12.又(ab)2|a|2|b|22a b1，即 1|b|211，故|b|1.由得 cos 12.又 0180，所以 60.故选 C.5(2016 河北石家庄一模，7)已知平面向量 a(1，x)，b(2，y)，且 ab，则|ab|的最小值等于()A1 B.5 C.7 D3 5D 考向 3由 ab 可得 12xy0，即 xy2，于是|ab|（ab）2 32（xy）2 x2y25 2|xy|53.6(2016 吉林长春一模，8)非零向量 a，b 满足 2a ba2b2，|a|b|2，则 a 与 b的夹角的最小值是()A.6 B.3 C3 D6 6B 考向 3设 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|a2b22|a|b|a|2|b|22|a|b|12|a|b|，又|a|b|22|a|b|，所以|a|b|1，故 cos 12，所以 3，即 a 与 b 的夹角的最小值是3.7(2016 福建厦门二模，13)已知正方形 ABCD 的边长为 a，则|ACAD|等于_ 7 考向 2【解析】|ACAD|2|AC|2|AD|22AC AD2a2a22 2a a225a2，于是|ACAD|5a.【答案】5a 8(2016 浙江杭州质检，9)已知 BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，BF2FO，则FDFE的值是_ 8考向 1【解析】因为FDFOOD，FEFOOE，所以FDFE(FO30 OD)(FOOE)|FO|2FO(OEOD)ODOE1320(1)89.【答案】89 9(2015 山东淄博一模，14)若 a，b 是两个非零向量，且|a|b|ab|，33，1，则 b 与 ab 夹角的取值范围是_ 9 考向 3【解析】设OAa，OBb，以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OACB，因为|a|b|，所以四边形 OACB 是菱形，设BOC02，则OBC2.在OBC 中，由正弦定理可得|a|sin|ab|sin（2），化简得 cos 12，由 33，1 得1212，32，所以 6，3，所以b，ab223，56.【答案】23，56 10(2016 山西太原联考，14)已知单位向量 e 满足|ae|a2e|，则向量 a 在 e方向上的投影等于_ 10考向 2【解析】由|ae|a2e|得(ae)2(a2e)2，于是|a|22a e1|a|24a e4，解得 a e12，于是向量 a 在 e 方向上的投影为ae|e|12.【答案】12 11(2016 山东济宁一模，14)定义 a*b 是向量 a 和 b 的“向量积”，其长度|a*b|a|b|sin，其中 为向量 a 与 b 的夹角若 u(2，0)，uv(1，3)，则|u*(uv)|_.11考向 2【解析】因为 u(2，0)，uv(1，3)，所以 v(1，3)，从而 uv(3，3)若设 u 与(uv)的夹角为，则 cos u（uv）|u|uv|622 331 32，从而 sin 12，故|u*(uv)|u|uv|sin 22 3122 3.【答案】2 3 思路点拨：本题为新定义问题，按照所给定义，关键是求出 u 与(uv)的夹角的正弦值，可以由已知条件求出二者的坐标，再根据数量积求出夹角的余弦值，从而求得正弦值，最后由公式即得所求 1(2016 天津，7，中)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则AFBC的值为()A58 B.18 C.14 D.118 1B 考向 2方法一：BCACAB，AFADDF12AB32DE12AB34AC，BCAF(ACAB)12AB34AC 12111212343411121412343818，选 B.方法二：以 BC 为 x 轴，E 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，易知A0，32，B12，0，E(0，0)，C12，0，D14，34.又DE2EF，设 F(x，y)，14，342(x，y)，32 x18，y38，F18，38，AFBC 18，583(1，0)18018.2(2016 四川，10，难)在平面内，定点 A，B，C，D 满足|DA|DB|DC|，DA DBDBDCDCDA2，动点 P，M 满足|AP|1，PMMC，则|BM|2的最大值是()A.434 B.494 C.376 34 D.372 334 2B 考向 2由题意，|DA|DB|DC|，所以 D 到 A，B，C 三点的距离相等，D 是ABC 的外心 DA DBDB DCDC DA2DA DBDB DCDB(DADC)DB CA0，所以 DBAC，同得可得，DABC，DCAB，从而 D 是ABC 的垂心