2016年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版).docx

2016年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版)
2016年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版)

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绝密★启封并使用完毕前
试题类型:新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学

本试卷分第I卷（选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共24题，共150分,共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0。5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整,笔迹清楚。
3。请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4。作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第I卷
一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1）设集合 ，则ST=
A. B. C. D。
【答案】D
【解析】易得,，选D
【考点】解一元二次不等式、交集
(2）若,则
A. 1 B。 C. D。
【答案】C
【解析】易知，故，，选C
【考点】共轭复数、复数运算
（3)已知向量,=（，），则
A。 30° B. 45° C. 60° D。120°
【答案】A
【解析】法一:，
法二：可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知
【考点】向量夹角的坐标运算
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为,B点表示四月的平均最低气温约为.下面叙述不正确的是
A。 各月的平均最低气温都在以上
B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同
D。 平均最高气温高于的月份有5个
【答案】D
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于的月份有七月、八月,六月为左右，故最多3个
【考点】统计图的识别
（5)若,则
A。 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式
（6)已知，则
A。 B。 C. D.
【答案】A
【解析】，故
【考点】指数运算、幂函数性质
（7）执行右面的程序框图,如果输入的a=4，b=6,那么输出的n=
A。 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】列表如下

4
2
6
-2
4
2
6
-2
4

6
4

6

4

6

0

6

10

16

20

0

1

2

3

4
【考点】程序框图
（8)在中，，边上的高等于,则
A。 B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，可设,则，，，由余弦定理知，
【考点】解三角形
（9)如图,网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
A。 B。 C. 90 D. 81
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为

【考点】三视图、多面体的表面积
（10）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3，则V的最大值是
A。 B. C。 D。
【答案】B
【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时,体积最大,选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，
又，所以内接球的半径为,即的最大值为
【考点】内接球半径的求法
(11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点,A，B分别为C的左，右顶点。
P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E. 若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】易得

【考点】椭圆的性质、相似
(12)定义“规范01数列"｛an}如下：｛an｝共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m,a1，a2,…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列"共有（　　）
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
【答案】C
【解析】

【考点】数列、树状图
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)设x，y满足约束条件，则的最大值为________。
【答案】
【解析】三条直线的交点分别为，代入目标函数可得，故最小值为
【考点】线性规划
（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移______个单位长度得到.
【答案】
【解析】，故可前者的图像可由后者向右平移个单位长度得到
【考点】三角恒等变换、图像平移
(15）已知f(x)为偶函数，当时，,则曲线在点处的切线方程是______
【答案】
【解析】法一：，，，故切线方程为
法二：当时,,，故切线方程为
【考点】奇偶性、导数、切线方程
（16）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若,则__________。
【答案】3
【解析】如图所示，作于，作于,，即
，
∴直线l的倾斜角为30°

【考点】直线和圆、弦长公式
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）(本小题满分12分）
已知数列的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．
(1） 证明是等比数列，并求其通项公式；
（2） 若，求λ．
【答案】（1) ;（2）
【解析】
解：(1）

当时，
即，
即
即，
∴是等比数列,公比，
当n=1时,,
即

（2）若
则

【考点】等比数列的证明、由求通项、等比数列的性质
（18）(本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.

(1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：,，，≈2。646.
参考公式：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

【答案】（1)见解析；（2)，1。82亿吨
【解析】
（1） 由题意得，

因为y与t的相关系数近似为0。99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y与t的关系
（2)

所以关于的线性回归方程为
将代入回归方程可得,
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨
【考点】相关性分析、线性回归
（19)(本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点。
（1）证明MN∥平面PAB；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1) 见解析；(2)
【解析】（1） 由已知得，取的中点，连接，
由为中点知，. 。...。.3分
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，
于是.
因为平面,平面，所以平面。 .。.。。。..6分
（2） 取中点，连接，则易知，又面,故可以为坐标原点,以为轴，以为轴,以为轴建立空间直角坐标系，
则

故平面的法向量

直线与平面所成角的正弦值为
【考点】线面平行证明、线面角的计算
(20）（本小题满分12分）
已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点,证明AR∥FQ；
（2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
【答案】(1） 见解析；（2）
【解析】
(1）法一：
由题设。设，则，且
。
记过两点的直线为，则的方程为. .。.。。3分
由于在线段上，故。
记的斜率为，的斜率为,则
。
所以。 。。。。。.5分
法二：
证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°,
∵R是PQ的中点,
∴RF=RP=RQ,
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
(2)设与轴的交点为，
则。
由题设可得，所以(舍去)，。
设满足条件的的中点为。
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合。所以，所求轨迹方程为。 .。。.12分
【考点】抛物线、轨迹方程
（21)(本小题满分12分）
设函数，其中，记的最大值为.
(1)求；
(2)求；
（3)证明：。
【答案】见解析
【解析】
(1)
(2） 当时,
因此，．
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值,
，，且当时，取得极小值，
极小值为．
令,解得(舍去），．
①当时，在内无极值点，，,，所以．
②当时,由，知．
又，所以．
综上，．
(3） 由（1）得。
当时,。
当时，,所以.
当时，，所以。
【考点】导函数讨论单调性、不等式证明
请考生在22、23、24题中任选一题作答，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分.
(22）（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.
（I）若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小；
（II)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.

【答案】见解析
【解析】
（1）连结，则。
因为，所以，又，所以.
又，所以， 因此.
（2）因为，所以,由此知四点共圆,其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此。
【考点】几何证明选讲
（23）（本小题满分10分）选修:坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为（为参数）。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
（1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2)设点P在C1上,点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标.
【答案】见解析
【解析】
(1)的普通方程为，的直角坐标方程为。 ……5分
(2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，
即为到的距离的最小值，。
………………8分
当且仅当时,取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为。
………………10分
【考点】坐标系与参数方程
（24）(本小题满分10分)，选修：不等式选讲
已知函数.
(1）当a=2时，求不等式的解集;
（2)设函数. 当时，，求a的取值范围.
【答案】(1);（2)
【解析】
（1)当时,。
解不等式，得。
因此,的解集为. ………………5分
(2）当时，

，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ① ……7分
当时,①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是. ………………10分
【考点】不等式选讲