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高中数学方法和结论
第一章 圆锥曲线方程
椭圆——知识点归纳
1.定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．
②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0<e<1），则P点的轨迹是椭圆
2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：
（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=，==e；
（2）,；
（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；
（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，

3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式
和其中
椭圆的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是焦准距（焦点到准线的距离），焦参数（通径长的一半）范围：，，长轴长=，短轴长=2b，焦距＝2c ，
焦半径：，.
4.中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角()结合起来，建立+、等关系.
5.椭圆上的点有时常用到三角换元：；
双曲线——知识点归纳
1.椭圆的参数方程是.
2.椭圆焦半径公式：，.焦点弦长：，通经长为：。
3．椭圆的的内外部
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
4. 椭圆的切线方程
(1)椭圆上一点处的切线方程是.
（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）椭圆与直线相切的条件是.
1 双曲线定义：
①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．
②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线
2双曲线图像中线段的几何特征：
⑴实轴长，虚轴长2b,焦距
⑵顶点到焦点的距离：
，
⑶顶点到准线的距离：
；
⑷焦点到准线的距离：

⑸两准线间的距离:
⑹中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来，
⑺离心率： ∈（1，+∞）
⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长
⑼通径的长是，焦准距，焦参数（通径长的一半）
其中
3 双曲线标准方程的两种形式：
①－=1，c=，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）
②－=1，c=，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c）
4双曲线的性质：－=1（a＞0，b＞0）
⑴范围：|x|≥a，y∈R
⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称
⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）
⑷渐近线：
①若双曲线方程为渐近线方程
②若渐近线方程为双曲线可设为
③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
④特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y=－x
⑸准线：l1：x=－，l2：x=，两准线之距为
⑹焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；
，（点P在双曲线的右支上）；
当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）
⑺与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
⑻与双曲线共焦点的双曲线系方程是
5.双曲线的焦半径公式：，.通经长为：
6.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上；，焦点在y轴上）.
7. 双曲线的切线方程
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是
（3）双曲线与直线相切的条件是.
抛物线——知识点归纳
1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
2抛物线的图形和性质：
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：
③通径：过焦点垂直于轴的弦长为。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：。
⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：

4抛物线的图像和性质：
①焦点坐标是：，
②准线方程是：。
③焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，
④焦点弦长公式：过焦点弦长
⑤抛物线上的动点可设为P或或P
5一般情况归纳：
方程
图象
焦点
准线
定义特征
y2=kx
k>0时开口向右
(k/4,0)
x= ─k/4
到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离
k<0时开口向左
x2=ky
k>0时开口向上
(0,k/4)
y= ─k/4
到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离
k<0时开口向下
8. 抛物线的焦半径公式
（1）抛物线焦半径.
（2）过焦点弦（为直线与轴的夹角）；
（3）；
（4）（为直线与轴的夹角）；
（5）为定值；
（6）以CD为直径的圆与抛物线的准线相切。
9.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .
10.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.
11.抛物线的内外部
(1)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(2)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(3)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
(4)点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
12. 抛物线的切线方程
（1）抛物线上一点处的切线方程是.
（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）抛物线与直线相切的条件是.
直线与圆锥曲线的位置关系——知识点归纳
1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：
可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思想和等价转化思想
需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点
2涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题：
主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|=|x2－x1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）
3涉及到圆锥曲线焦点弦的问题：
可以利用圆锥曲线的焦半径公式（即圆锥曲线的第二定义）
4．韦达定理的运用：
由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用
5 弦长公式：
若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 ；
若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为
6 圆锥曲线的两个重要参数：
圆锥曲线的焦准距（焦点到准线的距离），
焦参数（通径长的一半）
13.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数)
(2)共焦点的有对称中心的圆锥曲线系方程,其中；
当时,表示椭圆；当时,表示双曲线.
14.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或
（弦端点A， 【为直线的倾斜角，为直线的斜率】.
15．圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.
（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是
.
16.“四线”一方程
对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程
，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均可由此方程得到.

第二章 直线、平面、简单几何体（B）
平面——知识点归纳
1．平面的概念：
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性
2．平面的画法及其表示方法：
①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画
②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等
3．空间图形是由点、线、面组成的
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形
符号语言
文字语言（读法）

点在直线上

点不在直线上

点在平面内

点不在平面内

直线、交于点

直线在平面内

直线与平面无公共点

直线与平面交于点

平面、相交于直线
（平面外的直线）表示或
4平面的基本性质
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
推理模式：． 如图示：
应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．
公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
推理模式：且且唯一如图示：
应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上
公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
推理模式：不共线存在唯一的平面，使得
应用：①确定平面；②证明两个平面重合
“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面
推理模式：存在唯一的平面，使得，
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面
推理模式：存在唯一的平面，使得
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面
推理模式：存在唯一的平面，使得
5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形
空间直线——知识点归纳
1 空间两直线的位置关系
（1）相交——有且只有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；
2公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式：．
3等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等
5空间两条异面直线的画法

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
推理模式：与是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上
异面直线所成的角的范围：
8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作．
9．求异面直线所成的角的方法：
几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
向量法：用向量的夹角公式
10两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线
理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．
两条异面直线的公垂线有且只有一条
计算方法：①几何法；②向量法
直线与平面平行和平面与平面平行——知识点归纳
1．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:，
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．
符号表示为: ．
2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推理模式：．
3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
推理模式：．
4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．
5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．
6．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．
推理模式：：，，，，．
7平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．
推理模式：
．
8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
推理模式：．
9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
推理模式：．
直线与平面垂直和平面与平面垂直——知识点归纳
1 线面垂直定义：
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足
直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α
2直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
3 直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
4 三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
（2）推理模式：
5．三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直
推理模式： ．
注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用
6 两个平面垂直的定义：
两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面
7．两平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
推理模式：，．
8．两平面垂直的性质定理：
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
推理模式：
9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：
①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行；
②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直
1．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面两直线无交点；（2）转化为两条直线同时与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
2．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.
3．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定两平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.
4．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为该线与另一线的射影垂直；
（4）转化为该线与形成射影的斜线垂直.
5．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
6．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
空间角——知识点归纳
1．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上
异面直线所成的角的范围：
2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法
3．直线和平面所成角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
一直线垂直于平面，所成的角是直角
一直线平行于平面或在平面内，所成角为0°角
直线和平面所成角范围： [0，]
（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角
4．公式：平面a的斜线a与a内一直线b相交成θ角，且a与a相交成j1角，a在a上的射影c与b相交成j2角，则有
5 二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；
6．二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角
（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角
说明：①二面角的平面角范围是；
②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直
7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法
8求二面角的射影公式：，
其中各个符号的含义是：是二面角的一个面内图形F的面积，是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小
9．三种空间角的向量法计算公式：
⑴异面直线所成的角：；
⑵直线与平面(法向量)所成的角：；
⑶锐二面角：，其中为两个面的法向量
空间距离——知识点归纳
1点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离
即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离
结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短
2 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．
3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线
4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；
5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；
6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度
说明：两条异面直线的距离即为直线到平面的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离
7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)
8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：
（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线
（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段
（3）两个平行平面的公垂线段都相等
（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长
9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离
10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求
10用向量法求距离的公式：
⑴异面直线之间的距离：
，其中
⑵直线与平面之间的距离：
，其中是平面的法向量
⑶两平行平面之间的距离：
，其中是平面的法向量
⑷点A到平面的距离：
，其中，是平面的法向量
另法：点平面
则
⑸点A到直线的距离：
，其中，是直线的方向向量
⑹两平行直线之间的距离：
，其中，是的方向向量
棱柱——知识点归纳
1 多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线
2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体
3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等
4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）
5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱 底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……
6．棱柱的性质
（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；
（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；
（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形
7 平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．
8．平行六面体、长方体的性质
(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线相交于一点，且在点处互相平分．
(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和
棱锥——知识点归纳
1 棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．
2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示
如图棱锥可表示为，或．
3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）
分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图）
4．棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．
中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面
5．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．
（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．
（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形
简单的多面体与球——知识点归纳
1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体
说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：
正多面体
顶点数
面数
棱数
正四面体
4
4
6
正六面体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
正二十面体
12
20
30
3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：
计算棱数E常见方法：(1)E＝V+F-2；(2)E＝各面多边形边数和的一半；
(3)E＝顶点数与共顶点棱数积的一半
4．欧拉示性数：在欧拉公式中令，叫欧拉示性数
说明：（1）简单多面体的欧拉示性数
（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数
例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体

5 球的概念：
与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球
2．球的截面：
用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆
7．经度、纬度：
经线：球面上从北极到南极的半个大圆
纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆
经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数
8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 (为球心角的弧度数)
9 半球的底面： 已知半径为的球，用过球心的平面去截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆（包含它内部的点），叫做所得半球的底面
10．球的体积公式：
11其它：
①在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R，而在实际问题中常给出球的外径（直径）
②球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化
空间向量及其运算——知识点归纳
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
空间向量的加法、减法与数乘向量运算：
;;
运算律：⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3 平面向量共线定理
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ
4 共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
5． 共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式
．其中向量叫做直线的方向向量
6空间直线的向量参数表示式：
或，
中点公式．
7．向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
8．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 ①
或对空间任一点，有②
或 ③
上面①式叫做平面的向量表达式
9 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使
10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：
11．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：
12．向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即．
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影 的长度．
13．空间向量数量积的性质：
（1）．（2）．（3）．
14．空间向量数量积运算律：
（1）．（2）（交换律）．
（3）（分配律）
空间向量的坐标运算——知识点归纳
1 空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；
（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2．空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若，，
则，
，
，
， ，
．
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
4 模长公式：若，，
则，．
5．夹角公式：．
6．两点间的距离公式：若，，
则，
或
7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
8.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
9.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．
三点共线.
、共线且不共线且不共线.
10.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使．
推论：空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，
或对空间任一定点O，有序实数对，使.
11.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
四点共面与、共面
（平面ABC）.
12.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.
13.射影公式
已知向量=a和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作B点在上的射影，则〈a，e〉=a·e
14.向量的直角坐标运算
设a＝，b＝则
(1)a＋b＝；(2)a－b＝；
(3)λa＝ (λ∈R)；(4)a·b＝；
15.设A，B，则= .
16．空间的线线平行或垂直
设，，则
；.
17.夹角公式
设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=.
推论 ，此即三维柯西不等式.
18．异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
19.直线与平面所成角(为平面的法向量).
20.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）
21.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.
22.空间两点间的距离公式
若A，B，则 =.
23.异面直线间的距离
(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
24.点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
25.异面直线上两点距离公式： （）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,,).
26.三个向量和的平方公式：
27. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.
28. 面积射影定理：.
(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).
29.的半径是R，则其体积,其表面积．
30.球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,
(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为
31.体、锥体的体积
（是柱体的底面积、是柱体的高）
（是锥体的底面积、是锥体的高）

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