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例说因式分解的方法与技巧

【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。因式分解在代数的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。本文阐述了因式分解概念，并详细地介绍了因式分解的方法
【关键词】 多项式 因式分解 应用

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的
解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习
的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注
意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
一、 多项式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分
解，也叫做分解因式。
二、 多项式因式分解的方法
（一）提公因式法
定义： 把多项式中每项都含有的公因式提出来，从而把多项式化成两
因式相乘的形式叫提公因数法。
. 提公因式法基本步骤：
1.找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
2.提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式
除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
例1 ；

（二）运用公式法
平方差公式：；
完全平方公式：；
立方和公式：；
立方差公式：；
完全立方公式：
运用公式分解因式，就是把一些形如公式的多项式按公式的形式分解成几个
因式的乘积的形式的方法。
在运用乘法公式分解因式时，一定要熟练掌握几个乘法公式，并且把所有要分解的多项式和公式进行对比，观察多项式中的哪一项相当于公式中的哪个字母，同时还要注意它的符号，以免带来错误的解法。
（三） 分组分解法
分组分解法是先根据多项式的特点，将其恰当分组，然后各组分别变形，
如在每组中提公因式，再在各组间提公因式，从而实现分解因。
比如：

=
=
我们把和分一组，和分一组，利用乘法分配律，两两相配，
立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做

=
=
（四）十字相乘法
十字相乘法实际上是借助十字交叉分解系数，建立的十字交叉线图，既直观
又易于比较系数之间的关系，尤其方便调整因数 ，使之达到分解因式的目的，
这种方法体现了数学中的一种思想，那就是数形结合的思想。
如果有，，且有时，那么
例2：因为
1 -3
×
7 2
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以
（五）求根公式法
令多项式,求出其根为……，则该多项式可分解为
……．
例如在分解时，令=0
则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1． 所以=
（六）配方法
对于直接用十字相乘法比较难的二次三项式的因式分解问题，我们也可以考虑用配方法进行分解。
配方法是数学中极其重要的一个方法，在代数式中利用添项的方法，给原来的多项式配上适当部分，是添加后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫配方法。
例3：
=
=
=．
（七）待定系数法
待定系数法求解函数解析式的有效方法，也是分解因式的强有力工具，用
待定系数法分解因式，首先要根据题设条件制定原式分解后所成的因式乘积的形式，然后再到方程确定待定系数的值。
例4．
解：用待定系数法：设 =把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得　=用恒等式的性质，比较同类项系数，∴=本题也可用换元法：　　设, 　那么把左边关于的多项式化为关于 的多项式，最后再把换成 －1待定系数法的关键是首先判断分解的形式，要求解题者具有较强的预见性。
（八）换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.
例5 在分解时，可以令,则
解： 原式=
=
=
=
=
=
三、多项式因式分解的特点
结果的对称型：由于一个多项式的可约与不可约都是相对于某个数域而言的，因此一道因式分解题究竟分解到何时才算是结局，应是给定数域而异。
对于定义域上的多项式的因式分解，在高等代数中已经证明了这种分解的结果除常数因式外是唯一的。
四、因式分解四个注意
因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考
例6 把分解因式。
解：＝－＝－
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如=＝的错误
例2把分解因式。
解：=
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公 因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每
一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如＝的错误。
考试时应注意： 在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了
五 、多项式因式分解的一般步骤
（一）如果多项式的各项有公因式，那先提公因式；
（二）如果各项没有公因式，那么可尝试用公式或十字相乘法来分解；
（三）如果上述方法不能分解，那么可尝试用分组、待定系数法或换元等方法来分解。
六、多项式因式分解的应用
在数学中，因式分解是一种基本的恒等变形，在公式的计算、解方程、
解不等式、等式的证明等中却是不可缺少的一种工具

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