勾股定理逆定理教学设计.doc

勾股定理的逆定理的教学设计

保靖县清水坪学校 李纯召

教
学
目
标
知识目标
1．理解勾股定理的逆定理，并会证明勾股定理的逆定理；
2．理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；
3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；
4．会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题
能力目标
1．通过勾股定理与你定理的比较，提高学生的辨析能力；
2．通过“创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用”的勾股定理的逆定理的探索过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程；
3．通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用；
4．通过勾股定理及以前所学知识的综合应用，提高学生综合运用知识的能力。
情感态度与价值观
1．通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的关系；
2．在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神；
3．通过数学知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。
重点
勾股定理的逆定理及其应用．
难点
勾股定理的逆定理的证明．
教学流程安排

活动流程图
活动内容和目的
活动1：复习与巩固

活动2：动手实践，猜想命题。

活动3：探索归纳，引出概念，证明推测．

活动4：尝试运用，熟悉定理，辨析加深。

活动5：课堂练习，巩固新知．

活动6：小结梳理，内化新知．
在复习旧知识的基础上通过调换命题的条件和结论，巧妙的过渡到本节课的课题，知识衔接流畅自然。

通过摆放、画三角形，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，并得出相关概念，最终得出勾股定理的逆命题．

通过特殊到一般的探索、归纳过程，得到勾股定理的逆定理证法，并结合勾股定理的逆定理与勾股定理之间的关系，理解互逆命题（定理）的概念．

通过课本例1的求解，掌握勾股定理的逆定理及其运用的步骤．

通过练习，进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其应用．

反思、总结学习内容，内化认知结构．
教学过程设计

问题与情景
教师行为
学生行为
设计意图
[活动1]
复习回顾
教师出示问题：
1、 勾股定理的内容是什么？
2、 填空：在RtΔABC中，a、b为直角边，c为斜边：
(1)a=3 b=4 c=__;
(2)a=8 b=6 c=__;
(3)a=5 b=12 c=__.
3、分别以上述为边的三角形是什么形状的？

[活动2]
实践
1．把准备好的一根打了13个等距离结的绳子，按3个结、4个结、5个结的长度为边摆放成一个三角形，请观察并说出此三角形的形状？
2．分别以6cm、8cm、10cm和5cm、12cm、13cm 为三边画出两个三角形，请观察并说出此三角形的形状？
3．结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状之间有怎样的关系吗？

教师深入小组参与活动，并帮助、指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题．在此基础上，介绍：古埃及和我国古代大禹治水都是用这种方法来确定直角的．
在活动2中教师应重点关注：
（1）给学生介绍方法，适当的引导学生，注意活动中的参与意识和动手能力；并鼓励学生进行探索、猜想、交流。
（2）是否清楚三角形的三边长度的平方关系是因，直角三角形是果，即先有数，后有形．

学生回答问题，其中一个同学上黑板按题设结论板演出定理，并在动手完成2的基础思考3。

学生分组活动，动手操作，并在组内进行交流、讨论的基础上，作出实践性预测．

在复习旧知识的基础上通过调换命题的条件和结论，巧妙的过渡到本节课的课题，知识衔接流畅自然。

激起学生的兴趣，同时进行数学史的教育。通过动手实践，在对学生进行动手能力培养的同时凸显命题的形成过程，自然地得出勾股定理的逆命题。既锻炼了学生的实践、观察能力，又渗透了人文和探究精神。
[活动3]
问题
1．三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？

2．如图18.2-2，若△ABC的三边长、、满足，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．
图18.2-2

3．此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
4．教材84页练习题2．
给学生介绍裁纸验证的方法，提出问题：观察所裁三角形（以3 cm、4 cm为直角边的三角形）与所折（三边长分别为3 cm、4 cm、5 cm）三角形之间有什么关系？你能验证吗？
教师提出问题，并适时诱导，指导学生完成问题2的证明．之后，归纳得出勾股定理的逆定理．在此基础上，类比定理与逆定理的关系，介绍逆命题（定理）的概念，并与学生一起完成问题4．
在活动2中教师应重点关注：
（1）学生能否联想到了“‘全等’，进而设法构造全等三角形”这一问题获解的关键；
（2）学生在问题2中，所表现出来的构造直角三角形的意识；
（3）是否真正地理解了AB=A/B/（如图18.2-2）；

学生按老师介绍动手操作，再裁出一直角三角形，使两直角边与刚才所折三角形的较短两边相等，再进行观察、猜想、验证。
结合动手操作的体验，通过小组交流、讨论，完成问题1．在此基础上，说出问题2的证明思路．
变“命题+证明=定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断的尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦，有效地突破本节的难点．

通过比较勾股定理及其逆定理的题设和结论，引出互逆命题（定理）概念，并通过问题4，进一步理解互逆命题（定理）的概念及互逆命题之间的关系．
[活动4]
问题
1．例1：判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：
（1）；
（2）．
2．（1）、课本75页练习第1题
（2）、判断由线段a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=7,b=24,c=25
（2）a=5,b=13,c=12
（3）a=4,b=5,c=6

教师板书问题1的详细解答过程，并纠正学生在练习中出现的问题，最后向学生介绍勾股数的概念．

在活动3中教师应重点关注：
（1）学生的解题过程是否规范；
（2）是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较；
（3）是否理解了勾股数的概念，即勾股数必须满足以下两个条件：
①以三个数为边长的三角形是直角三角形；②三个数还必须是正整数．
学生说出问题（1）的判断思路，部分学生演板问题2，剩下的学生在课堂作业本上完成．

进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，理解勾股数的概念，突出本节的教学重点．
[活动5]
1、 请指出下列命题的逆命题，
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）对顶角相等。
（3）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等。
（4）全等三角形的对应边相等。
（5）到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
2、 在下列以线段abc的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A、a=5 b=13 c=12
B、a=4 b=7 c=5
C、a=2 b=3 c=5
D、a=1 b=2 c=3
3、 已知三边分别为：3K，4K，5K（K为自然数），则三角形为_______
4、已知ΔABC的三边a、b、c满足(a-b)(a²+b²-c²)=0,试判断三角形的形状。
5、思考：教材85页习题18.2第6题．

教师巡视，了解学生对知识的掌握情况．
在活动5中教师应重点关注：
（1）学生在练习中反映出的问题，有针对性地讲解；
（2）学生能否熟练地应用勾股定理的逆定理去分析和解决问题．

口答第1、2题
部分学生演板第3、4题，剩余学生在课堂练习本上独立完成．师生一起完成思考题。

及时反馈教学效果，查漏补缺．对学有困难的同学给予鼓励和帮助．

设计一个思考题的目的是，延续探究性学习的时间与空间．
[活动6]
1．小结
2．作业：
（1）必做：教材79页习题18．2第1题和第2题；
（2）选作：教材85页习题18．2第4、5题．

教师引导学生回忆本节所学知识，待学生总结后再作补充。
教师布置作业，学生按要求在课外完成．
在活动6中教师应重点关注：
（1）学生对本节内容的知识结构是否清晰；
（2）学生在作业中反映出的问题，应做好记载，找出教、学之不足．

梳理学习内容，养成整理、系统知识的习惯．

加强教、学反思，进一步提高教、学效果．

教学设计说明

本节课主要内容包括：勾股定理的逆定理及其应用、互逆命题（定理）及勾股数的概念，其中前者是重点，勾股定理的逆定理的证明是难点．勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的一种新的方法（通过比较三边关系）．
考虑到勾股定理逆定理与勾股定理的互逆关系，在教学中，我们首先从勾股定理的反面出发，给出三组数据，让学生通过摆、画三角形的实践，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，猜出勾股定理的逆命题．但是，逆命题并不一定成立，因此，如何证明勾股定理的逆命题的成立成了当务之急，它也是本节课的难点？为了突破这一难点，我采用了折纸对比的方法，得到三边长分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形是直角三角形．从此特例中，让学生增强构造直角三角形的意识，以及掌握构造直角三角形的关键。最后，掌握在一般情况下的证明方法。并在这过程中，我不失时机地结合勾股定理的逆定理与勾股定理之间的关系，介绍互逆命题（定理）的概念．
本节课的重点是勾股定理的逆定理的应用。为此，我设计了活动4和活动5，进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，突出本节的教学重点．虽说例2是利用勾股定理的逆定理去解决实际问题的典型，
但是，结合我校学生实际，我并未将其放于本节课讲解，而是将其安排于下节课的内容。