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向量在平面几何中的应用
向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁与一身，向量的双重身份（既是几何对象又是代数运算对象）决定了向量在解决平面几何问题的重要作用.但是初步接触向量，好多学生还不习惯用向量解决几何中常见的判断几何图形形状，证明全等，直线平行、垂直，求线段的长度，夹角等问题.向量是连接代数与几何间的又一座桥梁，它几乎与中学阶段几何内容与部分代数内容都有联系.
利用向量解答平面几何问题的一般步骤是：1.将题设和结论中的有关元素转化为向量形式；2.确定必要的基底向量，并用基地表示其他向量；3.借助于向量的运算解决问题.
共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的直线平行、三点共线、三线共点问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．
相关结论：
1. 平面上三点共线.(向量共线且有公共点才能得出三点共线．)
2. 点为线段的中点，为平面内的任意一点．
3. 平面上三点共线为不同于的任意一点，且.
应用一：应用向量知识证明三点共线
例1：如图已知△ABC两边的中点分别为，在延长线上取点，使，在延长线上取点，使.
求证：三点共线
解：设，则，
由此可得，，
，
，
即,故有，且它们有公共点，
所以三点共线.
应用二：应用向量知识解决有关平行的问题
例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形.
已知：如图，四边形的中点.
求证：四边形是平行四边形.
分析：要证平行四边形，只需证一组对边平行且相等，即它们所对应的向量相等.
证明：连接的中点，
,
同理

四边形是平形四边形.
应用三：应用向量知识解决有关垂直的问题
向量垂直的相关结论：
数量积： 坐标表示：
例3、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知
分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即.
解：设，则，
由此可得：

即，即，.
应用四：求解证明有关长度的问题
利用可以用来求线段的长度.

例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.
已知：平行四边形ABCD.
求证：
分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设，选其为一组基地，表示其它线段.
解：设，
则

在三角形中一些常见的结论：
性质1设为所平面内一点，则是外心的重要条件是.
性质2 设重心的重要条件是0.
性质3设为所在平面内一点，则是垂心得重要条件是：.