2011年北京市丰台区高三一模数学试题(含答案)文科.doc

丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（一）
数 学（文科）
2011.3
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，那么
(A) 或
(B)
(C) 或
(D)
2．“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y+1=0平行”的
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
3．已知平面向量，的夹角为60°，，，则等于
(A) 37
(B)
(C) 13
(D)
4．记集合和集合表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2内的概率为
(A)
(B)
(C)
(D)
A
B
C
D
O
E
A1
B1
C1
D1
5．如图所示，O是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能是
开始
结束
输入a
S=0，n=1
输出S
n= n +1
S= S +an
n≤2011
否
是
(A) (B) (C) (D)

6．程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的结果是
(A) -1
(B) i-1
(C) 0
(D) - i
7．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
① 若，，则；
② 若//，，则m //；
③ 若，，，则；
④ 若，，，则．
其中正确命题的序号是
(A) ①③
(B) ①②
(C) ③④
(D) ②③
8．若函数满足条件：当时，有成立，则称．
对于函数，，有
(A) 且
(B) 且
(C) 且
(D) 且

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知抛物线上一点P(3，y)，则点P到抛物线焦点的距离为 ．
A
A
x
y
O
10．已知等差数列的前n项和为Sn，若a2=1，S5=10，则S7= ．
11．已知函数 则= ．
12．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点
A，点A的纵坐标为，则cosα= ．
13．某路段检查站监控录像显示，在某段时间内有2000辆车通过该站，现随机抽取其中的200辆进行车速分析，分析结果表示为如图所示的频率分布直方图．则图中a= ，估计在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有 辆．
14．用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数
的四个命题：
①函数的定义域为R，值域为；
②函数的图象关于y轴对称；
③函数是周期函数，最小正周期为1；
④函数在上是增函数．
其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足b2+c2-a2=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数，求的最大值．

16．（本小题共13分）
P
A
B
C
D
Q
M
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；
（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得
PA//平面BMQ．

17．（本小题共13分）
已知数列的前n项和为Sn，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在数列中，，，求数列的通项公式．

18．（本小题共14分）
已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线与椭圆相交于A，B两点，在上存在一点，上存在一点，使得，若原点在以为直径的圆上，求直线斜率的值．

19．（本小题共14分）
已知函数在上是增函数，在上是减函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）当时，曲线总在直线上方，求的取值范围．

20．（本小题共13分）
已知，或1，，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）如果，存在m个，使得，写出m的值；
（Ⅱ）如果，，求证：．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（一）
数 学（文科）参考答案2011.3
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
A
A
A
D
C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．4 10．21 11．e-1
12． 13．0.02，600 14． ③④（写对一个给2分，多写不给分）
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足b2+c2-a2=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数，求的最大值．
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，
由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分
∵ 0<A<π （或写成A是三角形内角） ……………………4分
∴． ……………………5分
（Ⅱ） ……………………7分
， ……………………9分
∵ ∴ ∴ （没讨论，扣1分）…………………10分
∴当，即时，有最大值是． ……………………13分

16．（本小题共13分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；
（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA//平面BMQ．
证明：（Ⅰ）AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，
P
A
B
C
D
Q
M
N
∴ 四边形BCDQ为平行四边形， ……………………2分
∴CD // BQ ．
∵ ∠ADC=90° ，
∴∠AQB=90° ， 即QB⊥AD． ……………………3分
∵ PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD． ……………………4分
∵ PQ∩BQ=Q ， ……………………5分
∴AD⊥平面PBQ． ……………………6分
（Ⅱ）当时，PA//平面BMQ． （没写结论扣2分） ……………………8分
连接AC，交BQ于N，连接MN．
∵BCDQ，
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点， ……………………9分
∵点M是线段PC的中点，
∴ MN // PA． ……………………10分
∵ MN平面BMQ，PA平面BMQ， ……………………11分
∴ PA // 平面BMQ． ……………………13分

17．（本小题共13分）
已知数列的前n项和为Sn，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在数列中，，，求数列的通项公式．
解：（I）当n=1时，， ∴ a1=2． ……………………2分
当时，
∵ ①
②
①-②得：，即， ……………………3分
∴ 数列是首项为2，公比为3的等比数列． ……………………4分
∴． ……………………6分
（II）∵，
∴当时，
……

……………………8分
相加得 ． ……………………11分
（相加1分，求和1分，结果1分）
当n=1时，， ……………………12分
∴ ． ……………………13分

18．（本小题共14分）
已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线与椭圆相交于A，B两点，在上存在一点，上存在一点，使得，若原点在以为直径的圆上，求直线斜率的值．
解：(Ⅰ) 依题意，可设椭圆的方程为． ……………………1分
∵ ， ∴ ，． ……………………3分
∵ 椭圆经过点，
∴ 椭圆的方程为． ……………………5分
(Ⅱ) 记两点坐标分别为，，
消y，得． ……………………7分
∵ 直线与椭圆有两个交点，
∴ ，
∴ ． ……………………9分
由韦达定理 ，．
∵ 原点在以为直径的圆上，
∴ ，即．
∵ ，在上，在上
∴ ， ……………………10分
又，，
∴
．
∴ ， ……………………13分
∴ ． ……………………14分

19．（本小题共14分）
已知函数在上是增函数，在上是减函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）当时，曲线总在直线上方，求的取值范围．
解：（Ⅰ）∵，
∴． ……………………2分
∵在上是增函数，在上是减函数，
∴ 当时，有极大值，即， ……………………4分
∴ ． ……………………6分
（Ⅱ），
∵ 在上是增函数，在上是减函数，
∴ ，即． ……………………8分
∵曲线在直线的上方，
设， ……………………9分
∴在时，恒成立．
∵ ，
令，两个根为，，且， ……………………10分

－

＋

极小值

∴ 当时，有最小值． ……………………12分
令，
∴，由，
∴ . ……………………14分
另解：，
当a=0时，，，函数在定义域上为增函数，与已知矛盾，舍；
……………………7分
当a>0时，由（Ⅰ）知，，
函数在上为增函数，在上为减函数，与已知矛盾，舍；
……………………8分
当a<0时，，由已知可得，∴ ……………………9分
设， ……………………10分
∴ 。
令，两个根为，，，

－

＋

极小值

∴ 当时，有最小值． ……………………12分
令，
∴，由，
∴ . ……………………14分

20．（本小题共13分）
已知，或1，，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）如果，存在m个，使得，写出m的值；
（Ⅱ）如果，，求证：．
解：（Ⅰ）6. ……………………4分
（Ⅱ）证明：令，.
∵或1，或1；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
故．
∴

……………………13分
法二：记中对应项同时为0的项的个数为，对应项同时为1的项的个数为，
则对应项一个为1，一个为0的项的个数为；．
即是中1的个数，即是中1的个数，
是中对应项一个为1，一个为0的项的个数．
于是有．
中1一共有个，即．
所以有，
于是． ……………………12分

（若用其他方法解题，请酌情给分）