《线性代数》习题集(含答案).doc

线性代数习题集
《线性代数》习题集（含答案）
第一章
【1】填空题
（1） 二阶行列式=___________。
（2） 二阶行列式=___________。
（3） 二阶行列式=___________。
（4） 三阶行列式=___________。
（5） 三阶行列式=___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3.；4.；5.4abc。
【2】选择题
（1）若行列式=0，则x=（）。
A-3； B-2； C2； D3。
（2）若行列式，则x=（）。
A -1，； B 0，； C 1，； D 2，。
（3）三阶行列式=（）。
A -70； B -63； C 70； D 82。
（4）行列式=()。
A；B；C；D。
（5）n阶行列式=（）。
A0；Bn！；C（-1）·n！；D。
答案：1.D；2.C；3.A；4.B；5.D。

【3】证明

答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：
（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1）（134782695）=10，此排列为偶排列。
（2）（217986354）=18，此排列为偶排列。
（3）（987654321）=36，此排列为偶排列。
【5】计算下列的逆序数：
（1）135（2n-1）246（2n）；（2）246（2n）135（2n-1）。
答案：（1）n（n-1）；（2）n（n+1）
【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
（1）；（2）；（3）
答案：（1）正号；（2）负号。
【7】根据定义计算下列各行列式：
（1）；(2)；（3）；
（4）
答案：（1）5！=120；（2）；
（3）；（4）。
【8】计算下列行列式：
（1）；（2）；（3）；
（4）。
答案：（1）-136；（2）48；（3）12；
（4）（b-a）（c-a）（d-a）（c-b）（d-b）（d-c）
【9】计算下列n阶行列式：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）。
答案：（1）1+；（2）1；（3）n！
（4）2n+1；（5）。
【10】计算下列行列式：
（1）；（2）（n阶）；
（3）；
（4）。
答案：（1）n=2时，行列式等于；n≥3，行列式为0；
（2）；（3）；
（4）
【11】计算n+1阶行列式：
（0；i=1，2，n）
答案：.
【12】解下列线性方程组：
（1）；（2）。
答案：（1）；
(2).
【13】计算n阶行列式

于是
【14】证明

由归纳假设，得

【15】计算五阶行列式

可以得到
【16】证明

证明：略

【17】.证明

答案与提示：
提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。

【18】.计算n阶行列式：
（1）；
（2）。
答案与提示：
（1）
（2）
【19】.利用拉普拉斯定理计算下列行列式：
（2）；
（3）；
（4）
答案与提示：
（2）；（3）
（4）
【20】.证明下列等式：
（1）；

（2）。
答案与提示：
（1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。
（2）提示：用归纳法证。
【21】

【22】

.

第二章

【1】填空题设A是三阶方阵，是A的伴随矩阵，A的行列式=，则行列式___________。
【2】假设A=（）是一个n阶非零矩阵，且A的元素（i，j=1，2，，n）均为实数。已知每一个元素都等于它自己的代数余子式，求证A的秩等于n，且当n3时=1或-1。
【3】判断下列结论是否成立：若成立，则说明理由；若不成立，则举出反例。
（1） 若矩阵A的行列式=0，则A=0；
（2） 若=0，则A=E；
（3） 若A，B为两个n阶矩阵，则；
（4） 若矩阵A0，B0，则AB0.
【4】设A，B为n阶方阵，问下列等式在什么条件下成立？
（1）；
（2）；
【5】计算AB和AB-BA。已知
（1），
（2），。
答案：（1），；
（2），
；
【6】计算下列矩阵乘积：
（1）；（2）（x，y，1）。
答案：（1）；（2）。
【7】计算，并利用所得结果求。
答案：提示：用数学归纳法可证。当时，。
故
【8】已知A，B是n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。
【9】已知A是一个n阶对称矩阵，B是一个n阶反对称矩阵，证明
（1），都是对称矩阵；（2）AB-BA是对称矩阵；（3）AB+BA是反对称矩阵。
【10】求矩阵X，已知：
（1）；
（2）
答案：（1）；（2）
【11】已知矩阵A，求A的逆矩阵;
(1),其中ad-bc=1；（2）；
（3）；
答案：（1）；（2）；
（3）
【12】在下列矩阵方程中求矩阵X：
（1）；
（2）；
答案：（1）；（2）
【13】证明若一个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。
【14】假设方阵A满足矩阵方程，证明A可逆，并求。
答案：提示：由。
【15】填空题
（1）设矩阵A=，则=_________
（2）设A是3阶数量矩阵，且=-27，则=_________
（3）设A是4阶方阵，且=-2，则A的伴随矩阵的
行列式=_________
答案：（1）；（2）；
（3）-8
【16】选择题
（1）设A是n阶方阵，且满足等式，则A的逆矩阵是
（A） A-E； （B）E-A； （C）； （D）。
（2）设A，B是n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是
A、；B、
C、；D、
（3）设A，B，C为n阶方阵，且ABC=E，则必成立的等式为
A、ACB=E;B、CBA=E;C、BAC=E;D、BCA=E
（4）设A，B为n阶对称矩阵，m为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是
A、；B、；C、AB;D、。
（5）设A，B，A+B，均为n阶可逆矩阵，则（）等于
A、；B、A+B；C、；D、。
（1）C；（2）B；（3）D；（4）A；（5）C
【17】求下列矩阵的秩
（1）；（3）
（4）。
答案：（1）r（A）=2；（2）r（A）=2；（3）r（A）=3；（4）r（A）=2；
【18】求下列矩阵的标准形
（1）；（2）。
答案：（1）；（2）。
【19】假设方阵A满足方程，其中a，b，c是常数，而且C≠0，试证A是满秩方阵，并求出其逆矩阵。
【20】选择题
（1）设矩阵A=，且r（A）=2，则t等于
A、-6；B、6；C、8；D、t为任何实数。
（2）设A是3阶方阵，若=0，下列等式必成立的是
A、A=0；B、r（A）=2；C、=0；D、
（3）设A是m×n矩阵，且m<n，则必有
A、；B、；C、；D、。
答案：（1）D；（2）C；（3）B。
【21】求下列矩阵的逆矩阵：
（1）；（2）。
答案：（1）；（3）。
【22】假设B是n阶可逆矩阵，C是m阶可逆方阵。试证明分块矩阵是可逆方阵，并且用表示分块矩阵。
答案：提示：由拉普拉斯展开定理，得、，故A是可逆矩阵。由逆矩阵定义，得。

【23】已知三阶方阵A=（）与任意三阶方阵B之积可交换：AB=BA，证明A是数量矩阵。

【24】设4阶矩阵
B=C=
且矩阵A满足等式。其中E为4阶单位矩阵，求矩阵A。
于是
【25】（00403）设，矩阵，n为正整数，则=
【26】（04404） 。
【27】（04404）设是实正交矩阵，且=1，b=，则线性方程组Ax=b得解是 。
【28】（04104）
。
【29】（00203）设A== .
【30】（94503）设A,B都是n阶非零矩阵，且AB=0,则A和B得秩（ ）
A.必须有一个等于零 B.都小于n C.一个小于n，一个等于n D.都等于n

第三章
【1】

【2】

【3】（95508）设三阶矩阵A满足，其中列向量 .试求矩阵A.
【4】（97306）设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数。记分块矩阵其中是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵。
（1） 计算并化简:
证明：矩阵可逆的充分必要条件是.
【5】（98104）设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组有解向量，且.证明：向量组是线性无关的.

【6】（01408）设是n维实向量，且线性无关.已知是线性方程组
的非零解向量.试判断向量组得线性相关性。
【7】（96408）设向量是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即.试证明：向量组线性无关.
【8】（04313）设 ，试讨论为何值时，
1. 不能由线性表示;
2. 可以由唯一地线性表示，并求出表示式。
3. 可以由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

答案与提示：
1. 当=0时，不能由线性表示。
2. 当，且时，可以由唯一地线性表示。
当时可以由线性表示，但表示式不唯一，其表示式为 .
【9】（05290）确定常数，使向量组可由向量组线性表示，=1时向量组不能由向量组线性表示。

【10】（00303）设A为n阶实矩阵.为的转置矩阵，则对于线性方程组和，必有（ ）。
A.的解是的解，的解也是的解
B. 的解是的解， 但的解不是的解
C. 的解不是的解，的解也不是的解
D. 的解是的解，但的解也不是的解
【11】（98407）已知下列非齐次线性方程组，

（1） 求解方程组，用其导出组得基础解系表示通解；
（2） 当方程组中得参数m,n,t为何值时，方程组与同解。
答案与提示：
（1） 方程组得通解为（k为任意常数）.
当时，方程组同解。
【12】（99409）已知线性方程组
（1） a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？
（2） a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。

答案与提示：
（1）当时，，方程仅有零解
（2）下面分四种情况：
1、当时，方程组有无穷多组解，全部解为 （为任意常数）
2、当时，方程组有无穷多组解，全部解为 （为任意常数）
3、当时，方程组有无穷多组解，全部解为 （为任意常数）
4、当a=b=c时，方程组有无穷多组解，全部解为
【13】（03313）3B 已知齐次线性方程组

其中讨论和满足何种关系时，
（1） 方程组仅有零解；
（2） 方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
答案与提示：
（1） 当且时，秩方程组仅有零解.
当时，方程组有非零解，基础解系为.
【14】（96403）3B 设
，，，
其中.则线性方程组的解是 .

【15】（02106，02206）3B 已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关，.如果，求线性方程组的通解.
方程组的通解为，为任意实数.
【16】（04413）3B设线性方程组

已知是该方程组的一个解，试求
（1） 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；
（2） 该方程组满足的全部解.
答案与提示：
（1） 方程组的全部解为

（2）时，方程组的全部解为

【17】
【18】
【19】
【20】

【21】

【22】

【23】

【24】

【25】

【26】

【27】

【28】

【29】
【30】设A是n阶方阵，如果对于任一n维列向量X=都有AX=0，证明A=0
【31】选择题设是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解向量，且秩（A）=3，

【32】选择题设A为n阶实距矩阵，为A的转置矩阵，则对于线性方程组
（1），AX=0和（Ⅱ）；AX=0，必有
A（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解；
B（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解；
C（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解；
D（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解；
【33】用消元法解下列线性方程组
1
答
2

【34】

【35】求下列齐求次线性方程组的一个基础解系

【36】

【37】求下列非齐次线性方程组的一个特解，及对应齐次方程组（导出组）的一个基础解系，并写出一般解

第四章

【1】求下列矩阵的特征值与特征向量，判断它们是否与对角矩阵相似，如相似则将其化为对角矩阵

答：
【2】
【3】
【4】

【5】

【6】已知的一个特征向量。
（1） 试确定参数a，b及特征向量所对应的特征值。
问A能否相似于对角阵？说明理由。
【7】填空题设A为n阶矩阵，≠0，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。若A有特征值，则必有特征值__________。
【8】选择题设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则
A、E-A=E-B；B、A与B有相同的特征值和特征向量;
C、A与B都相似于一个对角矩阵；D、对任意常数t，tE-A与tE-B相似。
【9】求下列矩阵的特征值与特征向量：
（1）A
答案：特征值；属于特征值的特征向量，属于特征值的特征向量。

（2）A
答案：特征值；属于特征值5的特征向量，属于特征值-1的特征向量。

（3）A
答案：特征值；属于的特征向量；属于的特征向量；属于特征向量。
【10】求矩阵
A=的特征值与特征向量。问A是否能与对角矩阵相似？如果相似将其化为相似对角矩阵。
答案： A与对角矩阵相似。时，，则
【11】设是矩阵A的特征值，m是正整数，试证是的特征值。
答案：使用数学归纳法。
【12】设是矩阵A的特征值，是x的一个多项式。证明的特征值。
答案：略。
【13】假设是矩阵A分别属于特征值的特征向量，而互不相等，
证明
都不可能是矩阵A的特征向量。阿
答案：略
【14】如果矩阵A与B相似，C与D相似。证明分块矩阵与相似。
答案：略
【15】当。证明矩阵
可以化为对角矩阵。
答案：提示：该矩阵有n个两两不同的特征值，所以它可以相似于对角矩阵。
【16】若A是可逆矩阵，证明它的每个特征值都不为零，而且是的一个特征值。若X是A的属于的一个特征向量，则X也是属于的一个特征向量。
答案：提示：由于矩阵A的所有特征值之积等于A的行列式，故可逆矩阵的所有特征值均不为零。如果列向量是A的属于特征值的特征向量，那么，因为A可逆，用左乘等式两端：。所以是矩阵的特征值，而且也是的属于特征值的特征向量。
【17】（99130）设n阶矩阵A的元素全为1，则A得n各特征值是 。
【18】（94508）4B 设有三个线性无关的特征向量，求和应满足的条件.
满足条件.
【19】（98309，98409） 4B 设向量都是非零向量，且满足条件记阶矩阵求：
（1）
（2）矩阵的特征值和特征向量.
答案与提示：
（1）=0
（2），即矩阵的特征值全为零.
的属于特征值的全部特征向量为

【20】（99108，99309） 4B 设矩阵，其行列式，又的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为求和的值.

【21】（97409） 4B 设矩阵和相似，且
，，
（1） 求的值；
（2） 求可逆矩阵，使
答案与提示：
（1）
（2）
【22】（00409）4B 设矩阵，已知有三个线性无关的特征向量，的二重特征值.试求可逆矩阵，使得为对角矩阵.
答案与提示：

【23】（04321）4B 设阶矩阵
.
(1) 求的特征值和特征向量；
(2) 求可逆矩阵，使得为对角矩阵.
答案与提示：
（1）基础解系为
基础解系为
（2）
【24】（05413） 4B 设为3阶矩阵，是线性无关的3维列向量，且满足

（1） 求矩阵，使得；
（2） 求矩阵的特征值；
（3） 求可逆矩阵，使得为对角矩阵.
答案与提示：
（1）
（2）
（3）
【25】（97310） 4B 设3阶实对称矩阵的特征值是1，2，3；矩阵的属于特征值1，2的特征向量分别是，
（1） 求的属于特征值3的特征向量；
（2） 求矩阵。
答案与提示：
（1）的属于特征值3的特征向量为
（2）=
【26】（04413）4B 设3解实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值，若都是的属于特征值6的特征向量
（1） 求的另一特征值和对应的特征向量；
（2） 求矩阵
答案与提示：
（1）的另一特征值，属于特征值的全部特征向量为
（2）=
【27】（06313，06413）4B 设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量是线性方程组的两个解
（1） 求的特征值与特征向量；
（2） 求正交矩阵和对角矩阵，使得；
（3） 求及，其中为3阶单位矩阵
答案与提示：
（1）是的二重特征值，为的属于特征值0的两个线性无关特征向量；是的一个特征值，为的属于特征值3的特征向量
（2）
为正交矩阵，且
（3）=

第五章
【1】判断下列二次型是否正定：
（2）
【2】设A,B都是n阶正定矩阵，证明A+B是正定矩阵。
【3】用配方法将下列二次型化为标准形，并写出相应的线性替换。
（1）
答案：原式=。
相应的线性变换为

（2）
答案：原式=。
相应的线性变换为

（3）
答案：原式=。
相应的线性变换为
【4】用正交变换将下列二次型化为标准形，并写出相应的正交变换。
（1）
答案：正交变换为

标准形为。

（2）
答案：正交变换为

标准形为。
【5】判定下列二次型是否正定。
（1）
答案：正定
（2）
答案：非正定
（3）
答案：非正定
【6】t取哪些值时，以下二次型是正定的？
（1）
答案：当时，二次型正定。

（2）
答案：当时，二次型正定。
【7】设A是实对称矩阵，且A的任意特征值满足条件，证明2E+A是正定矩阵。
答案：提示：若是A的特征值，则是2E+A的特征值，于是可导出2E+A的全部特征值均大于零。
【8】设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵。
（1）证明；
答案：利用矩阵的行列式等于其特征值的乘积。

（2）t为何值时，A+tE是正定矩阵。
答案：利用定理：正定矩阵全部特征值大于零。
【9】例6.3.11设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，为B的转置矩阵，
试证：AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩。
【10】（99130）设n阶矩阵A的元素全为1，则A得n各特征值是 。
【11】（95410）5B 已知二次型
（1） 写出二次型的矩阵表达式；
（2） 用正交变换把二次型化为标准形，写出相应的正交矩阵
答案与提示：
（1）的矩阵表达式为
（2）
二次型作正交变换二次型可以化为如下标准形
【12】（01308）5B 设为阶实对称矩阵，是中元素的代数余子式，二次型

（1） 记，把写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为；
（2） （2）二次型的规范形是否相同？说明理由。
【13】（99307） 5B 设为实矩阵，为阶单位矩阵，已知矩阵，试证：当时，矩阵为正定矩阵.

【14】（00309） 设有元实二次型

其中为实数，试问：当满足何种条件时，二次型为正定二次型

答案与提示：
当时，二次型为正定二次型
【15】（05313）5B 设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称矩阵，为矩阵
（1） 计算，其中；
（2） 利用（1）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论
答案与提示：
（1）=
（2）为正定矩阵

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