第1章第1节.doc

第一章　第一节

1．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则(　　)
A．M⊆N　　　　 B．N⊆M
C．M∩N＝{2,3}　　　 D．M∪N＝{1,4}
解析：选C　由已知得M∩N＝{2,3}，故选C.
2．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝(　　)
A．{5,8}　　　 B．{7,9}
C．{0,1,3}　　　 D．{2,4,6}
解析：选B　∁UA＝{2,4,6,7,9}，∁UB＝{0,1,3,7,9}，
∴(∁UA)∩(∁UB)＝{7,9}，故选B.
3．(2014·西安一中月考)设全集Q＝{x∈N|x2－2x－3<0}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是(　　)
A．3 B．4　　　　
C．7　　　　 D．8
解析：选D　Q＝{x∈N|(x＋1)(x－3)<0}＝{x∈N|－1<x<3}＝{0,1,2}，所以满足P⊆Q的集合P有23＝8个，选D.
4．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{x∈Z||x|≤a}，则满足AB的实数a的一个值为(　　)
A．0　　　 B．1　　　
C．2　　　 D．3
解析：选D　当a＝0时，B＝{0}；
当a＝1时，B＝{－1,0,1}；
当a＝2时，B＝{－2，－1,0,1,2}；
当a＝3时，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}．
显然只有a＝3时满足条件．
5．(2013·陕西高考)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则∁RM为(　　)
A．[－1,1]　　　 B．(－1,1)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)　　　 D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选D　由1－x2≥0，得－1≤x≤1，故M＝[－1,1]，从而∁RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，因此选D.
6．(2014·湖北重点中学统考)已知全集U＝R，设集合A＝，集合B＝，则(∁UA)∩B为(　　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．∅
解析：选C　∵A＝＝，B＝＝[－1,1]，
∴∁UA＝，所以(∁UA)∩B＝，故选C.
7．(2014·长沙一中模拟)已知集合A＝{y∈R|y＝ln x，x>1}，B＝{x∈N||x|≤2}，则下列结论正确的是(　　)
A．A∩B＝{－2，－1} B．(∁RA)∪B＝(－∞，0]
C．A∪B＝(0，＋∞) D．(∁RA)∩B＝{－2，－1,0}
解析：选D　因为A＝{y|y>0}，所以∁RA＝{y|y≤0}，又B＝{－2，－1,0,1,2}，所以(∁RA)∩B＝{－2，－1,0}，选D.
8．(2014·镇海中学月考)已知集合M＝{x|x2－5x<0}，N＝ {x|p<x<6}，且M∩N＝{x|2<x<q}，则p＋q＝(　　)
A．6　　　 B．7　　　
C．8　　　 D．9
解析：选B　依题意，M＝(0,5)，N＝(p,6)，又M∩N＝{x|2<x<q}，所以q＝5，p＝2，所以p＋q＝7.
9．(2014·成都模拟)已知集合A＝，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)<0}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)　　　 B．[2，＋∞)
C．{1}∪[2，＋∞)　　　 D．(1，＋∞)
解析：选C　由≥1，得≤0，所以A＝{x∈R|－1<x≤4}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)<0}＝{x∈R|2a<x<a2＋1}．若B≠∅，则在数轴上可以看出2a≥4，所以a≥2；若B＝∅，只能a＝1.综上选C.
10．设S＝{x|x<－1，或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是(　　)
A．(－3，－1) B．[－3，－1]
C．(－∞，－3]∪(－1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)
解析：选A　

在数轴上表示两个集合，因为S∪T＝R，由图可得解得－3<a<－1.
11．(2014·荆州质检)设集合A＝，B＝{x|y＝}，则(∁RA)∩B＝(　　)
A．{x|－1≤x≤1}　　　 B．{x|－1<x<1}
C．{－1,1}　　　 D．{1}
解析：选C　选集合A＝＝{x|－1<x<1}，B＝{x|y＝}＝{x|－1≤x≤1}，∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}，(∁RA)∩B＝{－1,1}．
12．(2014·邯郸模拟)设A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝(　　)
A．0　　　 B．－2
C．0或－2　　　 D．0或±2
解析：选D　因为B⊆A，所以，B＝{1，x2}中的任何一个元素均是集合A＝{1,4，x}中的元素，即x2＝4，x＝±2，或x2＝x，x＝0(如果x＝1，与集合的互异性矛盾)，故选D.
13．(2014·长春调研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－|x|)}，则A∩(∁RB)＝(　　)
A．(1,2)　　　 B．[1,2)
C．(－1,1)　　　 D．(1,2]
解析：选B　由x2－x－2<0可得－1<x<2，又y＝ln(1－|x|)中1－|x|>0，则1>|x|，即－1<x<1，则∁RB＝{x|x≤－1或x≥1}，因此A∩(∁RB)＝[1,2)，故选B.
14．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2011∈[1]　②－3∈[3]　③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]　④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”，其中，正确结论的个数是(　　)
A．1　　　 B．2　　　
C．3　　　 D．4
解析：选C　①2 011＝2 010＋1＝402×5＋1∈[1]，正确；由－3＝－5＋2∈[2]可知②不正确；根据题意信息可知③正确；若整数a，b属于同一类，不妨设a，b∈[k]＝{5n＋k|n∈Z}，则a＝5n＋k，b＝5m＋k，n，m为整数，a－b＝5(n－m)＋0∈[0]正确，故①③④正确．

1．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N＝(　　)
A．M　　　 B．N　　　
C．I　　　 D．∅
解析：选A　根据题意，N是M的真子集，所以M∪N＝M，选A.
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x＋a≥0}，N＝{x|log2(x－1)<1}，若M∩(∁UN)＝{x|x＝1，或x≥3}，则(　　)
A．a＝－1　　　 B．a≤1
C．a＝1　　　 D．a≥1
解析：选A　由题意得M＝{x|x≥－a}，N＝{x|1<x<3}，所以∁UN＝{x|x≤1，或x≥3}，又M∩(∁∪N)＝{x|x＝1，或x≥3}，因此－a＝1，a＝－1.
3． (2014·广州三校联考)已知全集U＝R，集合A＝{x||x|≤1，x∈Z}，B＝{x|x2－2x＝0}，则图中的阴影部分表示的集合为(　　)

A．{－1}　　　 B．{2}
C．{1,2}　　　 D．{0,2}
解析：选B　在集合A中，由于x∈Z，且|x|≤1，所以A＝{－1，0,1}集合B中，由x2－2x＝0得x＝0或2，所以B＝{0,2}．图中阴影部分表示在集合B中但不在集合A中的元素的集合，所以是{2}，故选B.
4．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是(　　)
A．(a*b)*a＝a　　　 B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a
C．b*(b*b)＝b　　　　 D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b
解析：选A　在B选项中，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，故B正确；在C选项中，将a*(b*a)＝b中的a换成b，即得b*(b*b)＝b成立，故C正确；在D选项中，令a*b＝c，则c*(b*c)＝b成立，故D正确；只有A选项不能恒成立．
5．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)||x|＋|y|＝λ}，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是______．
解析：[1，]　集合A表示圆x2＋y2＝1上点的集合，集合B表示菱形|x|＋|y|＝λ上点的集合，由λ＝|x|＋|y|≥0知λ表示直线在y轴正半轴上的截距，如图，若A∩B≠∅，则1≤λ≤.
6．(2014·威海模拟)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝{x|－1≤x<1}，B＝{x|x<0}，则A⊕B＝______.
解析：{x|x<－1或0≤x<1}　由题意知A－B＝{x|0≤x<1}，B－A＝{x|x<－1}．
因此A⊕B＝(A－B)∪(B－A)＝{x|0≤x<1或x<－1}．
7．设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝，N＝{(x，y)|y≠x－4}，那么(∁UM)∩(∁UN)＝______.
解析：{(2，－2)}　由题意，知M＝{(x，y)|y＝x－4(x≠2)}，M表示直线y＝x－4上的点集，但是除掉点(2，－2)，∁UM表示直线y＝x－4外的点集，且包含点(2，－2)；N表示直线y＝x－4外的点集，∁UN表示直线y＝x－4上的点集，所以(∁UM)∩(∁UN)＝{(2，－2)}．
8．(2014·广元适应性统考)非空集合G关于运算⊕满足：(1)对任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G，对一切a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“和谐集”，现给出下列集合和运算：①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法；②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法；③G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；④G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法．其中关于运算⊕为“和谐集”的是______(写出所有“和谐集”的序号)．
解析：①③　依题意，对于①，注意到0∈G，且对任意a、b∈G，均有a＋b∈G；0＋a＝a＋0＝a∈G，此时集合G＝{非负整数}关于运算“整数的加法”是“和谐集”．对于②，注意到此时集合G中不存在一个偶数e使得e与任意一个偶数a之积ae仍等于偶数a，因此集合G＝{偶数}关于运算“整数的乘法”不是“和谐集”．对于③，注意到0∈G，且对任意a、b∈G，均有a＋b∈G；0＋a＝a＋0＝a∈G，此时集合G＝{平面向量}关于运算“平面向量的加法”是“和谐集”．对于④，注意到x2－2x＋4∈G，－(x2－2x＋4)∈G，但(x2－2x＋4)－(x2－2x＋4)＝0∉G，因此集合G＝{二次三项式}关于“多项式的加法”不是“和谐集”．综上所述，其中关于运算⊕为“和谐集”的是①③.