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根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系习题
主编：闫老师
[准备知识回顾］：
1、 一元二次方程的求根公式为。
2、 一元二次方程根的判别式为：
（1） 当时,方程有两个不相等的实数根。
（2） 当时,方程有两个相等的实数根。
（3） 当时，方程没有实数根.
反之:方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根,则 ；方程没有实数根,则 .
［韦达定理相关知识］
1若一元二次方程有两个实数根，那么 ， 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理.
2、如果一元二次方程的两个根是，则 ， 。
3、以为根的一元二次方程(二次项系数为1）是
4、在一元二次方程中，有一根为0，则 ；有一根为1，则 ；有一根为，则 ；若两根互为倒数,则 ；若两根互为相反数，则 。
5、二次三项式的因式分解(公式法）
在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求出方程 的两个根，那么．如果方程无根，则此二次三项式不能分解。
［基础运用］
例1:已知方程的一个根是1，则另一个根是 ， .
解：

变式训练：
1、已知是方程的一个根，则另一根和的值分别是多少？
2、方程的两个根都是整数,则的值是多少？

例2：设是方程，的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值：
（1） （2） （3) (4）

变式训练：
1、 已知关于的方程有实数根，求满足下列条件的值：
(1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于2。

2、已知关于的方程。
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。
（2)取何值时，方程有两个正根.
(3）取何值时，方程有两异号根,且负根绝对值较大.
(4）取何值时，方程到少有一根为零？

选用例题：
例3：已知方程的两根之比为1:2，判别式的值为1，则是多少?

例4、已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求的值。

例5、若方程与有一个根相同，求的值.

基础训练：
1．关于的方程中,如果，那么根的情况是( )
(A）有两个相等的实数根 （B)有两个不相等的实数根
（C）没有实数根 （D）不能确定
2．设是方程的两根,则的值是（ ）
（A）15 （B）12 （C）6 (D）3
3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ )
（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2－x+2=0（D）3x2－2x+1=0
4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是( )
（A） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 (D)y2－5y－6=0
5．如果x1,x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1,x22－2x2＝1，
那么x1·x2等于（ ）
（A）2 （B)－2 (C)1 （D）－1
6。关于x的方程ax2－2x＋1＝0中,如果a〈0，那么根的情况是( ）
(A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C)没有实数根 （D）不能确定
7.设x1,x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（ ）
（A)15 （B）12 （C)6 (D）3
8．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝
9．如果关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是
10．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根,则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ,(x1－x2)2＝
11．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2）x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝ .

二、能力训练:
1、 不解方程,判别下列方程根的情况:
(1）x2－x=5 （2)9x2－6+2=0 (3）x2－x+2=0

2、 当m= 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根;
当m= 时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；

3、 已知关于x的方程10x2－（m+3)x+m－7=0,若有一个根为0，则m= , 这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－，则m= ，这时方程的 两个根为 .
4、 已知3－是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。

5、 求证:方程（m2+1)x2－2mx+（m2+4）=0没有实数根.

6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－和1+.

7、 设x1，x2是方程2x2+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
（1) (x1+1）（x2+1) （2）+ 　　　（3）x12+ x1x2+2 x1

8、如果x2－2（m+1）x+m2+5是一个完全平方式,则m= ；

9、方程2x（mx－4）=x2－6没有实数根，则最小的整数m= ;

10、已知方程2（x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等,则m= ；

11、设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为 ；

12、设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程，求下列各式的值：
（1) x12+x22 (2）x1－x2　　（3）　(4）x1x22＋x1

13、实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式的值。

14、已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1－（a2x2－a2－1）=0有无实根？

15、求证：不论k为何实数,关于x的式子(x－1）（x－2)－k2都可以分解成两个一次因式的积。

16、实数K在什么范围取值时,方程有实数正根？

训练（一）
1、 不解方程，请判别下列方程根的情况；
（1）2t2+3t－4=0， ； (2）16x2+9=24x， ；
(3)5(u2+1）－7u=0, ；
2、 若方程x2－（2m－1）x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是 ;
3、 一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+和2－,则p= ，q= ；
4、 已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是 ,m= ;
5、 若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是 ；
6、 m，n是关于x 的方程x2—(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式 mn= 。
7、 已知关于x的方程x2－（k+1）x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;
8、 如果α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系,求作一个一 元二次方程，使它的两个根分别等于α+和β+；
9、 已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2（a+b+c）x+3=0有两个相 等的实数根，求证：这个三角形是正三角形

10。取什么实数时，二次三项式2x2－（4k+1）x+2k2－1可因式分解.

11.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝＋，求ｓ的取值范围。

训练(二）
1、 已知方程x2－3x+1=0的两个根为α，β，则α+β= , αβ= ；
2、 如果关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同,则m的值为 　　　 ;
3、 已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k= ;
4、 若方程x2+（a2－2）x－3=0的两根是1和－3，则a= ;
5、 方程4x2－2(a-b）x－ab=0的根的判别式的值是 ；
6、 若关于x的方程x2+2(m－1）x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数，那么m的值为 ；
7、 已知p<0，q〈0，则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是 ;
8、 以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ；
9、 设x1，x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
（1)x12x2+x1x22 （2) －

10．m取什么值时，方程2x2－（4m+1）x+2m2－1=0
（1） 有两个不相等的实数根，（2)有两个相等的实数根，（3)没有实数根；

11．设方程x2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1,求p，q的值。

12．是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足＝，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由.

一元二次方程根与系数关系专题训练
主编:闫老师

1、如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1、x2，
那么x1+x2= ，x1·x2= 。

2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，
那么：x1+x2= ;x1·x2= ； ；x21+x22= ；（x1+1）（x2+1）= ；|x1－x2|= .

3、以2和3为根的一元二次方程（二次项系数为1)是 。

4、如果关于x的一元二次方程x2+x+a=0的一个根是1－，那么另一个根是 ，a的值为 .

5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2,那么k= 。

6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m= .

7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0）的两根为0和－1，则q∶p= 。

8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数,则m= .

9、已知关于x的一元二次方程（a2－1）x2－（a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= .

10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的两根为x1和x2,且x1+x2=－2，则m= ，（x1+x2)= .
11、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为，那么常数项应改为 。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+（2－αβ）2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1）

14、已知关于x的一元二次方程x2－2（m－1）x+m2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= .

16、已知关于x的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=
17、已知关于x的方程x2－3mx+2（m－1)=0的两根为x1、x2，且，则m= 。
18、关于x的方程2x2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时,方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0.

19、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同,则m= 。

20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为 。
21、一元二次方程2x2－3x+1=0的两根与x2－3x+2=0的两根之间的关系是 。

22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。

23、已知2+是x2－4x+k=0的一根,求另一根和k的值。

24、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+的无理数(A、B均为有理数),
那么另一个根必是A－。

25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?

26、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x31x2+x1x32

27、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（x21－x22）2
29、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值:
x1－x2
30、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:

31、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
x51·x22+x21·x52
32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+和2－.
33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数.

34、造一个方程，使它的根是方程3x2－7x+2=0的根；(1）大3；（2)2倍；（3)相反数；(4）倒数.

35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17.

36、已知关于x的方程2x2－（m－1）x+m+1=0的两根满足关系式x1－x2=1，求m的值及两个根。

37、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足，求m的值.

38、已知一元二次方程8x2－（2m+1）x+m－7=0，根据下列条件,分别求出m的值：
（1)两根互为倒数；
（2）两根互为相反数；
(3)有一根为零；
（4）有一根为1；
(5）两根的平方和为。

39、已知方程x2+mx+4=0和x2－（m－2）x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。

40、已知关于x的二次方程x2－2（a－2）x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，
求a的值。

41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29,求b、c的值。

42、设:3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。

43、试确定使x2+（a－b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值.

44、已知一元二次方程（2k－3）x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求:当k取何整数时，方程有两个整数根.

45、已知：α、β是关于x的方程x2+(m－2）x+1=0的两根,求(1+mα+α2）（1+mβ+β2)的值。

46、已知x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根,求常数p、q的值。

47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2，x2－y2=2，求m、n的值。

48、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2（a+m)x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值.

49、关于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m（m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。

50、已知：α、β是关于x的二次方程：(m－2)x2+2（m－4）x+m－4=0的两个不等实根。
(1）若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；
(2)若α2+β2=6时，求m的值。

51、已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等,方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍.
求证：方程x2－（k+n)x+（k－m)=0一定有实数根.

52、关于x的方程=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。
(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；
(2）若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。

53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2（x1≠x2)，在数轴上，
表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1,求p的值。

54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1）x+β2=0与x2+（β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。

55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2（m+3）x+m2+3=0有两个实数根α、β,那么（α－1)2+（β－1）2的最小值是多少?

56、已知方程2x2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x2－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0)。求
证:对任意实数k，方程mx2+(n+k－1）x+k+1=0恒有实数根。

57、(1）方程x2－3x+m=0的一个根是，则另一个根是 。
(2）若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满足 。

58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
x2+3x+1=0;

59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
3x2－2x－1=0；

60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
－2x2+3=0；

61、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积
2x2+5x=0。

62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m的值.

63、已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2,求它的另一个根及t的值。

64、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根,利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1)(x1－4)（x2－4）；
（2)x13x24+x14x23；
（3);
（4)x13+x23。

65、设x1，x2是方程2x2－4x+1=0的两个根，求|x1－x2|的值。

66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7, 求m和n的值。

67、以2,－3为根的一元二次方程是 （ ）
A。x2+x+6=0 B。x2+x－6=0
C。x2－x+6=0 D.x2－x－6=0

68、以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是 （ ）
A.3x2－2x+3=0 B。3x2+2x－3=0
C.3x2－6x－9=0 D.3x2+6x－9=0

69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 （ ）
A。x2+2x－3=0 B.x2－2x+3=0
C.x2+2x+3=0 D.x2－2x－3=0

70、以－3，－2为根的一元二次方程为 ，
以,为根的一元二次方程为 ，
以5，－5为根的一元二次方程为 ,
以4,为根的一元二次方程为 。

71、已知两数之和为－7，两数之积为12,求这两个数。

72、已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是:
(1）a+1.b+1
（2）

73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为cm2，求这个直角三角形斜边的长 。

74、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2.这个方程的根应该是什么？

75、关于x的方程x2－ax－3=0有一个根是1，则a= ，另一个根是 。

76、若分式的值为0，则x的值为 （ )
A.－1 B.3 C.－1或3 D.－3或1

77、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则 （ ）
A.m=0且n≥0 B.n=0且m≥0C。m=0且n≤0 D.n=0且m≤0

78、已知x1,x2是方程2x2+3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）(2x1－3）(2x2－3);

(2）x13x2+x1x23.

79、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求（a－1）（b－1)的值。

80、如果x=1是方程2x2－3mx+1=0的一个根，则m= ，另一个根为 .

81、已知m2+m－4=0，，m,n为实数,且,则= 。

82、两根为3和－5的一元二次方程是 （ )
A.x2－2x－15=0 B。x2－2x+15=0
C.x2+2x－15=0 D.x2+2x+15=0

83、。设x1，x2是方程2x2－2x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)（x12+2）（x22+2）;
（2)(2x1+1）(2x2+1）；
（3)（x1－x2)2。

84、。已知m，n是一元二次方程x2－2x－5=0的两个实数根，求2m2+3n2+2m的值。

85、已知方程x2+5x－7=0，不解方程,求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数.

86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的两根之比为2∶1，求证：2b2=9ac.

87、。已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11,求m的值.

88、已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0。(1)证明：不论a取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根;（2）a为何值时，方程的两根之差的平方等于16？

89、已知一元二次方程x2－10x+21+a=0。（1)当a为何值时，方程有一正、一负两个根？(2）此 方程会有两个负根吗？为什么？

90、已知关于x的方程x2－（2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

91、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1，x2,且4x1+x2=0，又知根的判别式=25，求a，b 的值.

92、已知一元二次方程8y2－(m+1）y+m－5=0。（1)m为何值时，方程的一个根为零？（2)m为何值时 ，方程的两个根互为相反数?(3）证明：不存在实数m，使方程的两个相互为倒数。

93、当m为何值时,方程3x2+2x+m－8=0：（1）有两个大于－2的根?（2）有一个根大于－2，另一个 根小于－2？

94、已知2s2+4s－7=0，7t2－4t－2=0,s，t为实数,且st≠1。求下列各式的值：
(1)；；
（2)。

95、已知x1，x2是一元二次方程x2+x+n=0的两个实数根,且x12+x22+（x1+x2）2=3，
，求m和n的值.