基本初等函数的图象与性质.doc

年 级
高三
学 科
数学
编稿老师
何喜安
课程标题
基本初等函数的图象与性质
一校
林卉
二校
张琦锋
审核
王百玲

一、考点突破：
基本初等函数主要包括：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等，通过对以上函数的图象和性质的讨论与理解，要明确讨论函数性质的方法和步骤，理解基本初等函数在讨论一般函数时的基础作用。
（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。（2）了解简单的分段函数，并能简单应用。（3）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。（4）会运用函数图象理解和研究函数的性质。了解指数函数模型的实际背景。（5） 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。知道指数函数是一类重要的函数模型。（6）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。知道对数函数是一类重要的函数模型；（7）了解指数函数与对数函数互为反函数。（8）了解幂函数的概念。结合函数的图象，了解它们的变化情况。
基本初等函数是近几年高考命题的重点，主要分两种题型：一是考查初等函数的基本性质的基础题目，主要在选择题和填空题中出现；另一种是函数的综合题，包含函数应用问题和函数本身的综合题。对这两种题型都需予以重视。

二、重难点提示：
（1）要掌握基本初等函数—一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的基本性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等。熟记函数的基本性质。
（2）用数形结合的观点理解的含义，理解为什么关于对称。进一步掌握其变形式与的应用。

一、知识脉络图

二、知识点拨
对于函数的每一条性质都要有全面的理解，下面以函数单调性为例说明：
（1）函数单调性的定义：如果函数对区间D内的任意，当时都有，则在区间D内是增函数；当时都有，则在区间D内是减函数．
（2）设，那么在区间上是增函数；
在区间上是减函数．
（3）复合函数单调性的判断．遵循同增异减的原则
（4）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集．
（5）判断函数的单调性的方法有：定义法；用已知函数的单调性；利用函数的导数；单调函数的性质法；图象法；复合函数的单调性结论（同增异减）等．

能力提升类
例1 若定义在R上的二次函数上是增函数，且，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
一点通：在该题中，函数可写成，二次函数图象的对称轴为，结合条件“在区间上是增函数”，可知二次函数图象开口向下，故，由图象的对称性又，画图可知m的取值范围是。
答案：A
点评：二次函数是基本初等函数的基础，对二次函数问题思维的顺序是：（1）二次项系数，确定图象开口；（2）对称轴，确定极值；（3）单调性。对含参问题的讨论，注意分类讨论的标准，既不重复，又不遗漏。

例2 （丰台一模）函数在区间上的值域是，则点的轨迹是图中的

A. 线段AB、AD B. 线段AB、CD
C. 线段AD、BC D. 线段AC、BD
一点通：在该题中，二次函数的对称轴为，函数的最小值为-1，故；再分和两种情况讨论即可。
答案：A
点评：这是一道涉及二次函数的极值与解析几何中的轨迹问题的综合题，对学生的识图能力和对函数知识的综合运用能力有一定的要求。需要学生把二次函数在闭区间的极值问题与轨迹（满足一定条件的点集）有机结合起来。

综合运用类
例3 （湖南高考）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距米，余下的工程是建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为万元。
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？
一点通：本题中，桥墩数n与相邻两桥墩之间的距离是两个控制变量，要先找出这两个变量之间的关系，然后再根据条件列出函数关系式，进一步解决问题。
解：（Ⅰ）设需要新建个桥墩才能使最小，
所以
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
由，得，所以=64
当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；
当时，>0。 在区间（64，640）内为增函数，
所以在=64处取得最小值，此时，
故需新建9个桥墩才能使最小。
点评：函数应用问题是近几年高考命题的热点，准确理解题意是关键，在准确理解题意的基础上，用正确的初等函数模型表示应用问题中变量的关系是解决此类问题的突破口。

例4 函数．
（Ⅰ）若的定义域为，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若的定义域为，求实数的值．
一点通：的定义域为的条件是的解集为R，注意考虑问题时要全面，要考虑二次项系数为0的情况。而若的定义域为等价于不等式的解集为，由二次不等式的解的情况可分析得出a的取值范围。
解：（Ⅰ）（1）若，
①当时，，定义域为R，适合；
②当时，，定义域不为R，舍去；
（2）若为二次函数，
定义域为R，恒成立，

综合（1）、（2）得a的取值范围为
（Ⅱ）命题等价于不等式的解集为，
显然，、是方程的两根，
，解得a的值为a=2。
点评：函数中求定义域时，要注意：（1）对数函数的真数大于零；（2）偶次方被开方式大于或等于零；（3）分母不为零，求值域时，要注意利用已知初等函数的值域，特别是二次函数在闭区间上的值域．

思维拓展类
例5 定义在（-1，1）上的函数，（1）对任意x，（-1，1）都有：；（2）当（-1，0）时，，回答下列问题．
　　（Ⅰ）判断函数在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由．
（Ⅱ）判断函数在（0，1）上的单调性，并说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下解不等式
一点通：本题中，条件：的理解与应用是解题的关键。首先，该条件对任意实数x,y都成立；其次，应考虑如何把函数的单调性和奇偶性结合起来，从而找到解决问题的思路。
解：（Ⅰ）是奇函数．
令，
令y＝-x，则在（-1，1）上是奇函数．
（Ⅱ）设，则，
而，．
即当时，．
∴f（x）在（0，1）上单调递减．
（Ⅲ），
所以需要满足
所以。
点评：抽象函数问题是近几年各类考试的重点，在解答这类问题时，一是要认真观察给出的函数条件的结构，从中发现与已知基本初等函数相一致的性质，如：与指数函数；与对数函数．二是注意在条件中取变量的特殊值，求出函数在一些关键点的函数值，从而帮助求解．

例6 （浙江高考）已知．
（Ⅰ）若，求方程的解；
（Ⅱ）若关于的方程在上有两个解，求的取值范围，并证明．
一点通：本题是一道关于分段函数的综合运用题，（Ⅰ）中分和两种情况求解；（Ⅱ）的解题关键是分析和两种情况下根的情况，找出与k的关系，通过k的取值范围，使得证。
解：（Ⅰ）当k＝2时，
①当时，即或时，方程化为2
解得， ∵ （舍去），
∴ ．
②当时，即－11时，方程化为
解得，
综上，当k＝2时，方程的解为或．
（Ⅱ）不妨设
∵
∴ 在（0,1］上是单调函数，故＝0在（0,1］上至多有一个解，
若，则，不符合题意，则有．
由得，所以；
由得，所以；
∴ 当时，方程在(0，2)上有两个解．
，＝0，消去得，
即，∵ ，∴ ．
点评：分段二次函数是近几年高考命题的热点，可通过对分段控制变量的分类，得到分段函数的具体表达式，再通过对条件的灵活变换来解决问题。解答此类题目时应注意两点：一是要注意转化思想的应用，把给定条件等价转化为可用条件；二是要注意含参问题中对参数范围的完整讨论。

（1）对常见基本初等函数的基本性质要理解并记清，这是解决问题的基础，对
常见抽象函数性质的描述方法要理解记忆，灵活应用．
（2）基本初等函数的许多问题可最终化归为函数的性质的应用，对函数的性质的讨论可以结合导数的方法帮助记忆．
（3）二次函数是基本初等函数问题的重点，结合二次不等式、二次方程讨论二次函数问题是解决问题的关键．要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．
（4）指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．对于幂函数，掌握好考纲中列出的五种常用的幂函数即可．
（5）解决与本讲内容有关的问题时应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．

理解并会应用常见的函数变换：
（1）对称变换：
函数的图象与函数的图象关于轴对称；
函数的图象与函数的图象关于轴对称；
函数的图象与函数的图象关于原点对称；
函数的图象与函数的图象关于直线对称；
函数的图象与函数的图象关于直线对称。
（2）翻折变换：
函数的图象可以通过将函数的图象轴的下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴的下方部分，并保留在轴的上方部分来得到；
函数的图象可以通过将函数的图象的右边沿轴翻折到轴左边，替代原轴的左边部分，并保留在轴的右边部分来得到．
（3）伸缩变换：
函数的图象可以通过保持函数的图象中每一点的横坐标不变、纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍来得到；
函数的图象可以通过保持函数的图象中每一点的纵坐标不变、横坐标伸长或压缩（）为原来的倍来得到．

（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 已知在[0，1]上是关于的减函数，则的取值范围为
A. B. C. D.
2. 设是上的奇函数，，当时，，则等于
A. 0.5 B. -0.5 C. 1.5 D. -1.5
3. 将的图象 ，再作关于直线对称的图形，可得到的图象
A. 先向左平移1个单位 B. 先向右平移1个单位
C. 先向上平移1个单位 D. 先向下平移1个单位
4. 设函数的定义域为，则函数与的图象关于
A. 直线对称 B. 直线对称
C. 直线对称 D. 直线对称
5. 若，则函数的图象不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 若定义在内的函数满足，则的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知：，那么等于
A. B. 8 C. 18 D.
8. 函数的反函数是
A. B.
C. D.
9. 函数是单调函数的充要条件是
A. B. C. D.
10. 函数在上的最大值与最小值的和为3，则等于
A. B. 2 C.4 D.

二、填空题
11. 已知的反函数为，若的图象经过点，则 。
12. 设函数，则满足的值为 。
13. 函数的最大值为 。
*14. 定义在R上的函数为奇函数。现给出下列结论：① 函数的最小正周期是；② 函数的图象关于点（，0）对称；③ 函数的图象关于直线对称；④ 函数的最大值为。其中正确结论的序号是 。（写出所有你认为正确的结论的序号）

三、解答题
*15. 已知不等式的解集为，
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）若函数在区间内的值恒小于1，求的取值范围。
16. 已知二次函数的最大值为3，求实数的值。

一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
D
A
A
D
C
A
B

二、填空题
11. 1； 12. 3； 13. ； 14. ②③

三、解答题
15. 解：（Ⅰ）依题意，方程的解为，所以。
（Ⅱ）令，其对称轴为，
在内单调递增，；
∴时，符合题意；
时，只需；
∴的取值范围是。
16. 解：依题意，。
=，
∴
或（舍去），故。

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