东北大学线性代数课件第一章_行列式.doc

Linear Algebra
第一章 行列式
教学基本要求：
1. 1. 了解行列式的定义.
2. 掌握行列式的性质和计算行列式的方法.
3. 会计算简单的n阶行列式.
4. 了解Cramer法则.

一、行列式的定义
1. 定义
称为n阶行列式，记作(或或)，它是n2个数的一个运算结果：
主对角线
，(1.1)
其中，为行列式位于第行且第列的元素，，而为划掉行列式第1行和第列的全部元素后余下的元素组成的阶行列式，即

称为元素的余子式，称为元素的代数余子式.

2. 基本行列式：
(1)一阶行列式 .
例如，，
.
(2)二阶行列式 .
(3)三阶行列式
.
(4)三角形行列式
①对角行列式 .
②下三角行列式 .
③上三角行列式 .
④.
⑤.
⑥.
注意：④、⑤和⑥的结果中均有符号.

3. 行列式的性质
，

性质1.1 . (1.2)

性质1.1的意义：行列式的行所具有的性质列也具有.

下面仅针对行叙述行列式的性质.
性质1.2(行列式的展开性质)
, . (1.3)
例如，行列式
.

一个阶行列式有 个余子式，有 个代数余子式；
一个元素的余子式与代数余子式或 或 .

应该注意到，一个元素的余子式或代数余子式与该元素的 有关，与该元素的 无关.

性质1.3(行列式的公因子性质)
. (1.4)

性质1.3还可以这样表述：用数乘以行列式某一行的每一个元素，等于用数乘以行列式.
例如，.
.
推论 行列式的一行元素全为零，行列式为零.

性质1.4(行列式的拆分性质)
(1.5)

性质1.4可以推广到一行有更多个数相加的情形.

性质1.5 行列式两行元素对应全相等，行列式为零.
推论1 行列式两行元素对应成比例，行列式为零.
推论2 设行列式，则
. (1.6)
这里，为Kronecker符号.

性质1.6(行列式的不变性质)
. (1.7)

性质1.6的意义：任何一个行列式都可化为三角形行列式，从而算出值.

性质1.7(行列式的变号性质)
. (1.8)

总结：利用性质1.6及其它性质与推论，可以更容易地将一个行列式化为“三角形”行列式.步骤如下：

.
例如，.

在实际计算中，往往是“化零”与“展开”结合着进行，需要根据行列式的特点灵活地运用行列式的性质．

二、行列式的计算
行列式的计算过程，大多可以通过如下符号指示：
交换i, j两行(列)：（）；
第i行(列)提取公因子k：（）；
第j行(列)的k倍加到第i行(列)：（）.
例1.1 计算行列式.
解

.
或
.
例1.2 计算行列式.
解 .
或 .
或
.
例1.3 计算行列式.
解 .
例1.4 计算阶行列式

解
例1.5(例1.10 P16) 计算阶行列式.
解 分析：注意到该行列式的特点是，主对角线上的元素是同一个值，主对角线之外的元素都相同，那么运用 ，有

(这时行列式 ，继续)

(这时行列式 ，继续)
．

例1.6(例1.11 P16) 设行列式的阶数为奇数，且，求D．
解 分析：条件表明，
(称为反对称行列式)
(每行提取公因子-1，然后做转置运算，有)

从而D=0．

例1.7(例1.12 P17)　计算n阶行列式
. (三对角行列式)
解 分析：该行列式对角线上的元素全为２，次对角线上的元素全是１，其余元素都是0．由于0元素比较多，所以利用展开性质(也说降阶法)来计算.
将Dn按第１行展开，有
.
注意到，如果再将按第１列展开，即有．于是得到一个递推公式
.
现在考虑数列，由可知，数列是一个等差数列，公差为，首项，从而第项．

降阶法是求三对角行列式的常用方法，但不是唯一的方法.

另解，

.

三对角行列式的一般形式为
. (1.9)

例1.8(例1.13 P17) Vandermonde行列式
. (1.10)

记住Vandermonde行列式的特点、结果，了解证明方法.

三、行列式应用
1. 求解特殊的线性方程组
考虑元线性方程组
(1.11)
记 ，，
，，.

定理(Cramer法则) 若线性方程组(1.11)的系数行列式，则该方程组有惟一解：
（）． (1.12)

例1.9(例1.14 P20) 解线性方程组

解 该方程组的系数行列式D及D1、D2和D3分别为
，，
，.
由于，故方程组有唯一解：
，，．

对于齐次线性方程组
(1.13)
有如下结论：
推论 当齐次线性方程组(1.13)的系数行列式不为零时，它只有零解．
该结论也可以表述为：若齐次线性方程组有非零解, 则方程组的系数行列式必为零.

2. 用行列式表示几何图形的面积和体积.
3. 用行列式表示直线、平面方程和判定三点是否共线、四点是否共面.
4. 用行列式解决多项式函数的插值问题.

四、习题(P26-30)
选择题：
1. .

填空题：
5.
.

解答题：
1. 解 .

2. 提示：由A31=-2，求出x，再计算A12.

3.(3) .

(4)

(5)

(6) .

(7)

(8)

(11)

(9)方法一 左端按最后一行展开
方法二 左端按第一列展开，产生递推公式.
方法三 左端产生下三角行列式.从第二列开始，依次将前一列的倍加到后一列上.
方法四 左端从最后一列开始，依次将后一列的倍加到前一列，然后按第一列展开.

(10) 方法一

方法二

(1)
同理，
(2)
由(1)×a, (2)×b得aDn-an+1= bDn-bn+1，所以
Dn=(bn+1-an+1)/(b-a)=.

(12) 设 ，这是一个范德蒙行列式.

7. 提示：x=Dx/D, D=-4 .

8. 提示：，，故三角形ABC的面积为3.

五、计算实践
实践指导：（1）注意到上（下）三角行列式和对角行列式的值等于其对角线上元素的乘积，所以利用行列式的性质应尽可能地把行列式化为三角形行列式；
（2）利用行列式的性质尽把行列式的某一行（列）元素可能多地化为零，然后按行（列）展开，通过降阶的方式达到计算行列式的目的；
（3）利用Laplace展开式；
（4）利用范德蒙行列式；
（5）计算行列式的可使用的方法有定义法、性质法、降阶法、递推法、归纳法、加边升阶法及方阵行列式法等.
例1 计算行列式
解 分析：仔细观察之后发现，第2行为0的元素多且非0元素成整数比关系，因此先利用性质把这一行元素大部分化为0，然后按第2行降阶. 依照此理，接下来又选择了第1行、第3行降阶.
原式

例2 计算三对角行列式
.
解 这类题的一般做法是产生递推公式. 按第n行展开有

令，则是方程的根，代入上式得
.

对于具体的三对角行列式，一般计算会简单些.

例3 计算三对角行列式
.
解 方法一 利用例2得到的递推公式.

（这里递推公式中的x,y显然分别为a,b）

方法二 按第一行拆分，有
①
考虑对称性，也有
. ②
联立①、②，解之得
对称性在本题中起了重要作用. 本题还可以用数学归纳法做.

例4 计算三对角行列式
.
解 分析：把第2至第n+1行依次加到第1行，那么新的第1行元素将只有最后一个元素不为0，然后降阶.
原式
（上三角行列式）

例5 计算行列式

解 分析：注意到本行列式元素的特点，自然想到会要使用范德蒙行列式的结果. 易见如果第1至第n行分别提取公因子，那么可将其化为范德蒙行列式.
原式
.
六、知识扩展
1. 设均为3维列向量,记矩阵,.如果,求. （2005 一） （答案: 2）

2. 已知均为2维列向量, 矩阵. 若, 求. （2006四） （答案: -2）

3.设矩阵, 为2阶单位矩阵, 矩阵满足, 求. （2006 一） （答案: 2）
提示: 方法一

方法二

4. 计算五阶行列式. （1996 四）

5. 设有齐次方程组, 试问取何值时该方程组才能有非零解？ （2004 一 二） （答案: 0或）

6. 已知行列式和齐次线性方程, 证明:都是该方程的解.
提示: .
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