电磁学第一章习题答案.doc

第一章 静电场习题答案
1-1 氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是5.29×10-11m。已知质子质量mp=1.67×10-27kg，电子质量me=9.11×10-31kg，电荷分别为±e=±1.60×10-19C，万有引力常量G=6.67×10-11N.m2/kg2。（1）求电子所受质子的库仑力和引力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电子的速度。
答：
（1）设电子所受的库仑力为F，根据库仑定律，其大小

设电子所受的万有引力为，根据万有引力定律，其大小

（2）
（3）设电子绕核做圆周运动的速度为，因为，所以可认为向心力就是库仑力，根据得

1-3 答：
（1）它们之间的库仑力为

（2）每个质子所受的重力为：

所以
1-5 答：
设油滴的电量为，它受的电场力和重力分别为和，由=，即，得

考虑到电荷的正负，
1-7 根据经典理论，在正常状态下，氢原子中电子绕核做圆周运动，其轨道半径为，已知质子电荷为，求电子所在处原子核（即质子）的电场强度。
答：根据点电荷的场强公式，电子所在处原子核（即质子）的电场强度大小：

1-10
证明：（1）根据电场强度的叠加原理，取向右为正，P点场强

化简得

（2）根据电势的叠加原理，P点电势

1-12
答：
（1）如下图所示，x轴垂直两导线，根据场强的叠加原理，应用公式得P点场强

（2）两均匀带电的直线中任意一条都在另一条的电场中，所以两线单位长度间的吸引力为：

1-13
答：面积分法

球面元面积
设场强与轴同向，则通过半球面的电通量

若场强与z轴反向，则通过半球面的电通量

1-15

答：（1）设从地面到离地面1.5km高度的大气中电荷的平均体密度为。取垂直于地面，底面积为的圆柱面S为高斯面，S的上、下底面分别在高度为1.5km处和靠近地面处，上、下地面上的场强分别为、，则通过S面的电通量为

S面内的电量

根据高斯定理得

（2）设地面的面电荷密度。由于电荷只分布在地球表面，所以地表下的场为零。取侧面垂直于地面，上、下底面分别在地面上（靠近地面处）和地面下的圆柱面S为高斯面，底面积为。根据高斯定理得：

得：
则
1-21 在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电势差约为100MV，通过的电量约为30C。问一次闪电消耗的能量是多少？如果用这些能量来烧水，能把多少水从0℃加热到100℃？
解：（1）消耗的能量：
（2）设能把mkg的水从0℃加热到100℃，由，得

1-22 已知空气的击穿场强为V/m，测得某次闪电的火花长100cm，求发生这次闪电时两端的电势差。
解：闪电时两端的电势差

1-25

解：如上图所示，环上任一电荷元在P点产生的场强大小为

根据对称性分析，整个圆环在P点产生的场强大小为：

（2）E-x曲线如下图所示：

（3）令，得

即环心左右两边处的场强最大。

（4）环上任一电荷元在P点产生的电势为

整个圆环在P点产生的电势

（5）U-X曲线如下图所示。

1-29 解：
（1）根据高斯定理可得均匀带电球外部空间的电场：

所以球面处的电势为

（2）设质子能达到金属原子和的最近距离为距核心r处，此处的电势

质子具有的电势能

根据能量守恒定律，，则

所以

（3）设粒子能达到金原子核的最近距离为距核心处与（2）同法可得

1-33 解：

（1）选择O点的电势为零，带正电的导线在P点产生的电势为：

带负电的导线在P店产生的电势为：

所以

（2）根据

得

令上式左边为，则得

整理后

这就是空间直角坐标系中的圆柱面方程，该圆柱面的半径为，轴线在处且与两直线共面。
（3）设，则得

即

化简得

此方程在空间直角坐标系中是平面，它与两带电导线平行。
1-36

解：（1）由对称性分析可知，在半径为的同心球面上的场强的大小相等，方向沿径向。根据高斯定理，得

当时，，所以

当时，，所以

当时，，所以

（2）若，同理可知和同前，但在第区域内，由于，则。E-r曲线如下图所示。

（3）设、、分别为I、II、III区域内的任意一点。
当时，
当时

当时，

U-r曲线如图所示。

1-39设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示：

式中，是到轴线的距离，是轴线上的值，是个常量（它是减少到的半径）。
（1）求场强分布；（2）以轴线为电势零点求电势分布。
解：
（1）设距轴处的场强为，取一与等离子圆柱体同轴，且底面垂直于轴，半径为，长度为的封闭圆柱面作为高斯面，此面内的电量：

通过S的电通量

根据高斯定理得

所以

方向垂直于轴线指向等离子圆柱体外。
（2）以轴线为电势零点求电势分布

1-42
证明：（1）因两区域电荷代数和为零，所以区域外场强为零。两区域内的总场强均从左指向右，且垂直于两带电平板。
如图所示，做地面垂直于轴大小为、侧面平行于轴的封闭圆柱面和为高斯面，根据高斯定理，在区有：

所以：
（为负值）
在P区有：

所以

和随变化的曲线如图所示。

（2）令PN结的交界面的电势为零，则在N区的电势分布为

在P区的电势分布为

1-45：

解：（1）根据无限大均匀带电平板的场强公式，A板上的电荷在P点产生的电场强度，方向指向B。
（2）同理，B板上的电荷在P点产生的电场强度，方向指向B。
（3）根据场强叠加原理，，方向由P指向B。
（4）拿走B板，A板表面的电荷将在两侧面上均匀分布，设面电荷密度为，则，两侧面电荷在P点的场强
，方向指向B。
1-51
解:（1）电势分布。取无穷远处为零电势点，则

当时，

当时，

当时，

则导体球壳的电势为：

（2）离球心处的电势为
=300V
（3）把点电荷移开1.0cm，只影响球壳内表面上的电荷分布，不会影响球壳外表面上的电荷分布，因而球壳外的场强和电势分布不会因此而改变，所以导体球壳的电势为：
=120V
1-52 半径为的导体球带有电荷，球外有一个内外半径分别为、的同心导体球壳，壳上带有电荷Q。
（1）求两球的电势和；
（2）求两球的电势差；
（3）以导线把球和壳接在一起后，、和分别是多少？
（4）在情形（1）和（2）中，若外球接地，、和分别是多少？
（5）设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？
解：如图所示。根据静电平衡时电荷分布规则可得：静电平衡时导体球表面将带有电荷，球壳内表面将带电，球壳外表面将带电，并且都是均匀分布。
（1）解法一：
根据叠加原理，任意点处的电势应为这3个带电面在该处产生的电势的代数和，取无限远处为势能零点，则
内球处电势
球壳处电势

解法二：
根据高斯定理可得空间电场的分布

取无穷远处为零势能点，则根据，得
内球处电势

球壳处电势

（2）两球的电势差

（3）用导线把球和球壳连在一起，电荷（Q+q）全部分布在球壳外表面，且球和球壳的电势相等

（4）在（1）、（2）情形中，若外球壳接地，则外球壳的电势=0，两球的电势差不变，

内球电势

（5）内球接地，则内球的带电就不可能再是q，设其带电量为，则球壳表面将带电，外表面将带电，根据叠加原理，内球电势为

球壳处电势

联立以上两式解之得：

1-57
解：AB间电容为AC间电容与BC间电容的串联，设A、C板间的距离为x，则

所以

（2）因为与无关，所以金属片离极板的远近对C无影响。
1-62
解：（1）当给内壳以电量时，因静电感应，各球面带电情况如图所示。和间（导体球壳内）无电场，故

（2）
1-63
解：（1）设内球所带电量为，因静电感应，球壳内层带，外层带，令内球半径、球壳内、外半径分别为，则导体球的电势

导体球壳的电势

此系统储存的电能

带入数据计算得：
J
（2）此时电荷全分布在球壳外表面，且导体球壳的电势，
此系统储存的电能为

带入数据计算得：J。
1-66 解：
（1）；
（2）；