角的角平分线的性质.doc

12.3 角的平分线的性质

教学目标
知识与技能
1.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质．
2.会用尺规作已知角的平分线．
3.能利用角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题．
过程与方法

经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
情感态度价值观
在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神.
教学重点
角平分线画法、性质．
教学难点
角的平分线的性质的探究
教学准备
平分角的仪器(自制)三角尺、多媒体课件等．
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境，导入新课
1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？
2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放在角的顶点处，AB和AD与角的两边重合沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？

复习旧知识，回忆角的平分线的定义
让学生体验利用证明三角形全等的方法来对画法做出说明．
要求学生能说明所作的射线是角平分线的理由．

探索新知，建立模型
探究1.
(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么？求作什么？
【已知：∠AOB ; 求作：∠AOB的平分线】

(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?
【以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.】

(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画
【分别以点M，N为圆心，大于二分之一MN长为半径画弧，两弧在角的内部交于点C. 】
(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?
【是】
(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?
【提示：利用全等的性质】

探究2. 1〉平分平角∠AOB
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
O
A
B
C
D
探究3：（1)在已画好的角的平分线OC上任意找一点P,过P点分别作OA、OB的垂线交OA、OB于M、N, PM、PN的长度是∠AOB的平分线上一点到∠AOB两边的距离。量出它们的长度，你发现了什么？

【探究结果后可得到：PM⊥OA，PN⊥OB，且PM＝PN】
(2)你能归纳角的平分线的性质吗?
【角的平分线上的点到角的两边的距离相等】
(3)你能用三角形全等证明这个性质吗?

选择：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（ ）

从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.

培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.让学生体验成功

在已有成功经验的基础上，继续探究与应用，提升分析解决问题的能力并增进运用数学的情感体验．

在说理的过程中加深对角平分线性质的理解．
解析、应用与拓展
判断：1.∵如图，AD平分∠BAC
∴BD=CD(角的平分线上的点到角的两边的距离相等。)

2.∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴BD=CD(角的平分线上的点到角的两边的距离相等。)

3. ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴BD=CD (角的平分线上的点到角的两边的距离相等。)

思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

问题1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？
2．比例尺为1：20000是什么意思？
结论：
1．应用角平分线的性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．图中1cm表示实际距离200m的意思．
作图如下：
第一步：作∠AOB的平分线OP．
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．
例题讲解：如图：在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB

A
C
D
E
B
F

分析: 要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即
Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.

巩固练习：教材50页练习1,2

发展学生应用数学的意识与能力

通过思考问题，学生体会角平分线的性质在实际问题中的应用。

师生共同分析问题，学生独立完成证明过程，从而培养学生分析问题解决问题的能力。

只要作法合理，均应给予肯定．

小结与作业

小结提高
我们学习了:（1）角平分线的画法
（2）关于角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边的距离相等；
与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等来得出线段相等．
通过小结归纳，完善学生对知识的梳理．
布置作业
1．必做题：51页2题
2．选做题：51页5题

本题是对所学内容的复习.

板书设计
§12．3 角的平分线的性质
一、角平分线仪器的操作原理
二、角平分线的尺规画法：
1．以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
2．分别以M、N为圆心，大于MN长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于C点．
3．连接OC，射线OC即为所求．
三、角平分线的性质．

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